1.2 نظرة عامة (Overview) 

    تتكون دراسة الأنظمة (systems) من أربعة أجزاء: النمذجة (modeling)، إعداد المعادلات الرياضية (setting up mathematical equations)، التحليل (analysis)، والتصميم (design). يتطلب تطوير نماذج للأنظمة الفيزيائية (physical systems) معرفة بالمجال المعني وبعض أجهزة القياس (measuring devices). فعلى سبيل المثال، يتطلب تطوير نماذج للترانزستورات (transistors) معرفة بفيزياء الكم (quantum physics) وبعض التجهيزات المخبرية (laboratory setup). ويتطلب تطوير نماذج لأنظمة تعليق السيارات (automobile suspension systems) اختبارات وقياسات فعلية؛ ولا يمكن تحقيق ذلك بالقلم والورق. تساعد المحاكاة الحاسوبية (computer simulation) بالتأكيد لكنها لا يمكن أن تحل محل القياسات الفعلية. لذلك ينبغي دراسة مشكلة النمذجة بالتلازم مع المجال المحدد ولا يمكن تغطيتها على نحو مناسب في هذا النص. في هذا النص سنفترض أن نماذج الأنظمة الفيزيائية متاحة لنا.

    الأنظمة التي ستُدرس في هذا النص تقتصر غالبًا على الخطية (linear, L)، وثابتة الزمن (time-invariant, TI)، والمجمعة (lumped). يمكن وصف هذه الفئة من الأنظمة ذات الدخل $ u(t) $ والمخرج $ y(t) $ بما يلي:

    1. الالتفاف (Convolution):
    $$ y (t) = \int_ {\tau = 0} ^ {t} g (t - \tau) u (\tau) d \tau \qquad\text{(1.1)} $$

    حيث تُسمّى $ g(t) $ استجابة النبضة (impulse response).

    1. دالة التحويل (transfer function):
    $$ \hat {y} (s) = \hat {g} (s) \hat {u} (s) \qquad\text{(1.2)} $$

    حيث إن المتغير ذي القبعة هو تحويل Laplace (Laplace transform) للمتغير. وتُسمّى الدالة $ \hat{g}(s) $ دالة تحويل (transfer function) وهي دالة كسرية (rational function) في $ s $ مثل

    $$ \hat {g} (s) = \frac {3 s ^ {2} - 2 s + 5}{s ^ {3} + 4 s ^ {2} + 2 . 5 s + 3} $$
    1. معادلة تفاضلية عالية الرتبة (high-order differential equation) مثل
    $$ y ^ {(3)} + 4 \ddot {y} (t) + 2. 5 \dot {y} (t) + 3 y (t) = 3 \ddot {u} (t) - 2 \dot {u} (t) + 5 u (t) \qquad\text{(1.3)} $$

    حيث إن $ y^{(3)}(t) \coloneqq d^3 y(t) / dt^3 $ ، و $ \ddot{y}(t) \coloneqq d^2 y(t) / dt^2 $ ، و $ \dot{y}(t) \coloneqq dy(t) / dt $ .1 وهي معادلة تفاضلية خطية (linear differential equation) من الرتبة الثالثة ذات معاملات ثابتة (constant coefficients).

    1. معادلة فضاء الحالة (state-space equation):
    $$ \begin{array}{l} \dot {\mathbf {x}} (t) = \mathbf {A} \mathbf {x} (t) + \mathbf {b} u (t) \\\ y (t) = \mathbf {c x} (t) + d u (t) \qquad\text{(1.4)} \\\ \end{array} $$

    حيث إن $ \mathbf{x}(t) $ متجه عمودي (column vector) يُسمّى الحالة (state)، و $ \mathbf{A} $ و $ \mathbf{b} $ و $ \mathbf{c} $ و $ d $ مصفوفات ثابتة (constant matrices) ذات مراتب متوافقة.

    لأن جميع المتغيرات دوال في الزمن، تُسمّى المعادلات (1.1) و(1.3) و(1.4) أوصاف المجال الزمني (time-domain descriptions)، بينما تُسمّى (1.2) وصف المجال التحويلي (transform-domain description). وتُسمّى الثلاثة الأولى أوصاف الدخل-الخرج (input-output) أو الأوصاف الخارجية (external descriptions) لأنها تربط فقط الدخل $ u $ والمخرج $ y $. وتُسمّى معادلة فضاء الحالة الوصف الداخلي (internal description) لأنها تصف أيضًا المتغيرات الداخلية (internal variables) $ \mathbf{x} $ للنظام. يمكن استخدام هذه الأنواع الأربعة من المعادلات لوصف النظام نفسه.

    سيبدأ هذا النص بتقديم الالتفاف (convolution) لأنه يبيّن صراحةً استخدام مفهومي الخطية (linearity) وثبات الزمن (time invariance). وسيُستخدم الالتفاف لتطوير دوال التحويل (transfer functions) وشرط للاستقرار (stability condition). لكنه، كما سنناقش في النص، لن يُستخدم في التحليل (analysis) والتصميم (design). لذا فإن مناقشته ليست شاملة. وسنُظهر أيضًا لماذا لا تتم دراسة المعادلة التفاضلية (differential equation) في هذا النص. ثم نركّز على دالة التحويل (transfer function)، بوصفها وصفًا خارجيًا (external description)، وعلى معادلة فضاء الحالة، بوصفها وصفًا داخليًا (internal description). نناقش حلولها (solutions) وخصائصها (properties) وعلاقاتها (relationships). ونستخدمها أيضًا لإجراء التصميم في أنظمة التغذية الراجعة (feedback systems). نناقش أولًا أنظمة أحادية المدخل أحادية المخرج (single-input single-output, SISO) ثم أنظمة متعددة المدخلات متعددة المخرجات (multi-input multi-output, MIMO). ونبدأ بحالة الزمن المستمر (continuous-time, CT) لأن معظم الأنظمة الفيزيائية زمنها مستمر، ثم نناقش نظيراتها ذات الزمن المتقطع (discrete-time, DT).

    وسنتطرق أيضًا إلى الأنظمة الموزعة خطية ثابتة الزمن (LTI distributed systems) الموصوفة بدوال تحويل لاجذرية (irrational transfer functions)، وكذلك الأنظمة الخطية والمجمعة (linear and lumped systems) الموصوفة بمعادلات فضاء حالة متغيرة الزمن (time-varying state-space equations). ونبيّن أن بعض النتائج الخاصة بالأنظمة الخطية ثابتة الزمن والمجمعة (LTI lumped systems) قد لا تنطبق على الأنظمة الخطية متغيرة الزمن (linear time-varying) أو الأنظمة الموزعة (distributed systems). لذلك فإن دراستها أكثر تعقيدًا بكثير. إن دراسة الأنظمة غير الخطية (nonlinear systems) أعقد من ذلك. ومع ذلك، فإن هذا النص سيقدم أساسًا (foundation) ومعيارًا (benchmark) لدراستها.