2.2.1 النبضات (Impulses) 

    نحتاج إلى مفهوم النبضات (impulses) لتطوير بعض المعادلات الرياضية. اعتبر النبضة المعرفة بـ

    $$ \delta_ {d} (t - t _ {1}) := \left\{ \begin{array}{l l} 1 / \Delta & t _ {1} \leq t < t _ {0} + \Delta \\ 0 & t < t _ {1} \text{and} t \geq t _ {1} + \Delta \end{array} \right. $$

    والمبيّنة في الشكل 2.3. تقع عند الزمن $ t_1 $ ولها عرض $ \Delta $ وارتفاع $ 1 / \Delta $ . مساحتها أو أي تكامل يغطي النبضة يساوي 1 لأي $ \Delta > 0 $ . النبضة عند $ t = t_1 $ هي


    الشكل 2.3 نبضة عند $ t_1 $ .

    ثم تُعرّف على أنها

    $$ \delta (t - t _ {1}) := \lim _ {\Delta \rightarrow 0} \delta_ {\Delta} (t - t _ {1}) $$

    وهي تساوي 0 لكل $ t \neq t_1 $ و $ \infty $ عند $ t = t_1 $ . مساحتها أو أي تكامل يغطي النبضة يساوي 1 مثل

    $$ \int_ {t = - \infty} ^ {\infty} \delta (t - t _ {1}) d t = \int_ {t = t _ {1}} ^ {t _ {1} +} \delta (t - t _ {1}) d t = \int_ {t = t _ {1}} ^ {t _ {1}} \delta (t - t _ {1}) d t = 1 $$

    حيث إن $ t_1 + $ أكبر قليلًا جدًا من $ t_1 $ . وللتسهيل، نُسقط استخدام $ t_1 + $ كما في التكامل الأخير ونفترض أنه كلما لمس التكامل نبضة فإنه يغطي النبضة كاملة. لاحظ أنه إذا لم تغطِّ فترة التكامل النبضة أو تلامسها فإن التكامل يساوي صفرًا مثل

    $$ \int_ {t = - \infty} ^ {2} \delta (t - 2. 5) d t = 0 \quad \text{and} \quad \int_ {t = 2. 5 0 1} ^ {\infty} \delta (t - 2. 5) d t = 0 $$

    حيث تقع النبضة عند $ t = 2.5 $ . للنبضة خاصية الغربلة (sifting property) التالية

    $$ \begin{array}{l} \int_ {t = - \infty} ^ {\infty} f (t) \delta \left(t - t _ {1}\right) d t = \int_ {t = t _ {1}} ^ {t _ {1}} f (t) \delta \left(t - t _ {1}\right) d t \\ = f (t) | _ {t - t _ {1} = 0} = f (t) | _ {t = t _ {1}} = f \left(t _ {1}\right) \\ \end{array} $$

    لأي دالة $ f(t) $ متصلة عند $ t_1 $ . النبضة عند $ t_1 $ تُغربل قيمة $ f(t) $ عند $ t = t_1 $ . وبشكل عام، كلما ضُربت دالة في نبضة داخل تكامل، ننقل الدالة خارج التكامل ثم نستبدل متغير التكامل بالمتغير الناتج عن مساواة حجة النبضة بالصفر.

    نناقش تطبيقًا. اعتبر الإشارة المبينة في الشكل 2.4. يمكن تقريبها بدالة سُلّمية (staircase function) مكوّنة من تتابع نبضات كما هو موضح. نسمي $ \Delta $ حجم الخطوة (step size). النبضة في الشكل 2.3 لها ارتفاع $ 1 / \Delta $ ؛ وضربها في $ \Delta $ أو $ \delta_{\Delta}(t - t_i)\Delta $ يعطي ارتفاعًا يساوي 1. النبضة في أقصى اليسار في الشكل 2.4 لها ارتفاع $ u(t_i) $ ، لذا يمكن التعبير عنها بـ


    الشكل 2.4 تقريب إشارة الدخل.

    $ u(t_{i})\delta_{\Delta}(t - t_{i})\Delta $ . وبالتالي يمكن تقريب الدخل $ \pmb {u}(t) $ على أنه

    $$ u (t) \approx \sum_ {i} u (t _ {i}) \delta_ {\Delta} (t - t _ {i}) \Delta $$

    حيث يمثل الجمع وصفًا دقيقًا للدالة السُلّمية. عندما $ \Delta \to 0 $ ، تصبح النبضة $ \delta_{\Delta}(t - t_i) $ نبضة مثالية، وتصبح $ t_i $ متغيرًا مستمرًا وسيُرمز له بـ $ \tau $ ، ويمكن كتابة $ \Delta $ على أنها $ d\tau $ . علاوة على ذلك يتحول الجمع إلى تكامل ويتحول التقريب إلى مساواة. لذا، عندما $ \Delta \to 0 $ ، نحصل على

    $$ u (t) = \int_ {\tau = - \infty} ^ {\infty} u (\tau) \delta (t - \tau) d \tau \tag {2.2} $$

    وهذا في الواقع هو نفس خاصية الغربلة التي نوقشت سابقًا. لذلك تصبح الدالة السُلّمية هي الدالة الأصلية عندما $ \Delta \to 0 $ ، وهي تقريب رياضي سليم لـ $ u(t) $ .