2.2 السببية (Causality)، التجمّع (Lumpedness)، وثبات الزمن (Time Invariance) 

    يُسمّى النظام عديم الذاكرة (memoryless) إذا كان خرجه $ \mathbf{y}(t_0) $ يعتمد فقط على الدخل المطبق عند $ t_0 $ ؛ وهو مستقل عن الدخل المطبق قبل $ t_0 $ أو بعده. يمكن صياغة ذلك باختصار: الخرج الحالي لنظام عديم الذاكرة يعتمد فقط على الدخل الحالي؛ وهو مستقل عن المدخلات الماضية والمستقبلية. الدائرة التي تتكون من مقاومات فقط هي نظام عديم الذاكرة. غالبًا ما تُنمذج المضخمات التشغيلية (operational amplifiers) كنظم عديمة الذاكرة. انظر المرجع 10.

    معظم الأنظمة، مع ذلك، تمتلك ذاكرة. نعني بذلك أن الخرج عند $ t_0 $ يعتمد على $ \mathbf{u}(t) $ لـ $ t < t_0 $ ، و $ t = t_0 $ ، و $ t > t_0 $ . أي إن الخرج الحالي لنظام ذي ذاكرة قد يعتمد على المدخلات الماضية والحالية والمستقبلية.

    يُسمّى النظام سببيًا (causal) أو غير متنبئ (nonanticipatory) إذا كان خرجه الحالي يعتمد على المدخلات الماضية والحالية وليس على المدخلات المستقبلية. إذا لم يكن النظام سببيًا، فإن خرجه الحالي سيعتمد على مدخلات مستقبلية. بعبارة أخرى، يمكن للنظام غير السببي أن يتنبأ بما سيُطبق في المستقبل. لا يملك أي نظام فيزيائي هذه القدرة. لذلك فإن كل نظام فيزيائي سببي، والسببية شرط لازم لبناء النظام أو تنفيذه في العالم الحقيقي. يدرس هذا النص الأنظمة السببية فقط.

    يتأثر الخرج الحالي لنظام سببي بالمدخلات الماضية. إلى أي مدى يعود تأثير المدخل الماضي؟ عمومًا ينبغي أن يعود الزمن إلى سالب ما لا نهاية. بمعنى آخر، للمدخل من $ -\infty $ إلى الزمن $ t_0 $ تأثير على $ \mathbf{y}(t_0) $ . تتبع $ \mathbf{u}(t) $ من $ t = -\infty $ فصاعدًا صعب جدًا إن لم يكن مستحيلًا. مفهوم الحالة (state) يمكنه التعامل مع هذه المشكلة.

    تعريف 2.1 حالة (state) النظام $ \mathbf{x}(t_0) $ عند الزمن $ t_0 $ هي المعلومات عند $ t_0 $ التي، مع الدخل $ \mathbf{u}(t) $ لـ $ t \geq t_0 $ ، تحدد بصورة فريدة الخرج $ \mathbf{y}(t) $ لكل $ t \geq t_0 $ .

    بحسب التعريف، إذا عرفنا الحالة عند $ t_0 $ ، فلا حاجة لمعرفة الدخل $ \mathbf{u}(t) $ المطبق قبل $ t_0 $ عند تحديد الخرج $ \mathbf{y}(t) $ بعد $ t_0 $ . لذا فإن الحالة، بمعنى ما، تلخص أثر الدخل الماضي على الخرج المستقبلي. بالنسبة للدائرة في الشكل 2.2، إذا عرفنا الجهود $ x_1(t_0) $ و $ x_2(t_0) $ عبر المكثفين والتيار $ x_3(t_0) $ المار في الملف، فحينئذ لأي دخل مطبق عند أو بعد $ t_0 $


    الشكل 2.2 دائرة بثلاثة متغيرات حالة (state variables).

    يمكننا تحديد الخرج بدقة لكل $ t \geq t_0 $ . إذن حالة الدائرة عند الزمن $ t_0 $ هي

    $$ \mathbf {x} (t _ {0}) = \left[ \begin{array}{l} x _ {1} (t _ {0}) \\ x _ {2} (t _ {0}) \\ x _ {3} (t _ {0}) \end{array} \right] $$

    إنه متجه $ 3 \times 1 $ . تُسمّى مكونات $ \mathbf{x} $ متغيرات الحالة (state variables). وهكذا، بشكل عام، يمكن النظر إلى الحالة على أنها مجموعة من الشروط الابتدائية (initial conditions). نسمي $ \mathbf{x}(t_0) $ الحالة الابتدائية (initial state).

    باستخدام الحالة الابتدائية عند $ t_0 $ ، يمكننا التعبير عن دخل وخرج النظام كما يلي

    $$ \left.\begin{array}{l}\mathbf {x} \left(t _ {0}\right)\\\mathbf {u} (t), t \geq t _ {0}\end{array}\right\}\rightarrow \mathbf {y} (t), \quad t \geq t _ {0} \tag {2.1} $$

    ويعني ذلك أن الخرج يُثار جزئيًا بالحالة الابتدائية عند $ t_0 $ وجزئيًا بالدخل المطبق عند وبعد $ t_0 $ . عند استخدام (2.1) لا تعود هناك حاجة لمعرفة الدخل المطبق قبل $ t_0 $ حتى $ -\infty $ . لذا فإن (2.1) أسهل في التتبع وسنسميها زوج حالة-دخل-خرج (state-input-output pair).

    يقال إن النظام مجمّع (lumped) إذا كان عدد متغيرات الحالة محدودًا أو إذا كانت الحالة متجهًا محدودًا. الدائرة في الشكل 2.2 هي نظام مجمّع بوضوح؛ حالته تتكون من ثلاثة أعداد. يسمى النظام موزعًا (distributed) إذا كانت حالته تحتوي على عدد لا نهائي من متغيرات الحالة. خط الإرسال (transmission line) هو أشهر نظام موزع. نعطي مثالًا آخر.

    مثال 2.2.1 اعتبر نظام تأخير بزمن وحدة (unit-time delay) معرفة بـ

    $$ y (t) = u (t - 1) $$

    الخرج هو ببساطة الدخل مؤخرًا بمقدار ثانية واحدة. لتحديد $ \{y(t), t \geq t_0\} $ من $ \{u(t), t \geq t_0\} $ ، نحتاج إلى المعلومات $ \{u(t), t_0 - 1 \leq t < t_0\} $ . لذلك فإن الحالة الابتدائية للنظام هي $ \{u(t), t_0 - 1 \leq t < t_0\} $ . توجد نقاط لا نهائية في $ \{t_0 - 1 \leq t < t_0\} $ . لذا فإن نظام التأخير بزمن وحدة هو نظام موزع (distributed system).

    يقال إن النظام ثابت الزمن (time invariant) إذا كانت خصائصه لا تتغير مع الزمن. على سبيل المثال، تكون الدائرة في الشكل 2.2 ثابتة الزمن إذا كانت $ R_{i} $ و $ C_{i} $ و $ L_{i} $ ثوابت مستقلة عن الزمن. لمثل هذا النظام، بغض النظر عن الزمن الذي نطبق فيه دخلاً، سيكون شكل موجة الخرج دائمًا هو نفسه. يمكن التعبير عن هذه الخاصية باستخدام أزواج الحالة-الدخل-الخرج كما يلي. ليكن

    $$ \left.\begin{array}{l}\mathbf {x} (t _ {0})\\\mathbf {u} (t), t \geq t _ {0}\end{array}\right\}\rightarrow \mathbf {y} (t), \quad t \geq t _ {0} $$

    أي زوج لنظام. إذا كان النظام ثابت الزمن، فإننا نحصل لأي $ t_1 $ على

    $$ \begin{array}{l}\mathbf {x} (t _ {0} + t _ {1})\\\mathbf {u} (t - t _ {1}), t \geq t _ {0} + t _ {1}\end{array}\left\{\begin{array}{l l}\rightarrow \mathbf {y} (t - t _ {1}),&t \geq t _ {0} + t _ {1}\end{array}\right. \quad \text{(time shifting)} $$

    حيث إن $ \mathbf{u}(t - t_1) $ و $ \mathbf{y}(t - t_1) $ هما إزاحتان، على التوالي، لـ $ \mathbf{u}(t) $ و $ \mathbf{y}(t) $ من $ t_0 $ إلى $ t_0 + t_1 $ . تعني المعادلة أنه إذا أُزيحت الحالة الابتدائية إلى الزمن $ t_0 + t_1 $ وطُبق شكل الموجة نفسه للدخل بدءًا من $ t_0 + t_1 $ بدلًا من $ t_0 $ ، فإن شكل موجة الخرج سيكون نفسه عدا أنه يبدأ بالظهور من الزمن $ t_0 + t_1 $ . بعبارة أخرى، إذا كانت الحالة الابتدائية والدخل متطابقين، فبغض النظر عن الزمن الذي يُطبقان فيه، سيكون شكل موجة الخرج دائمًا نفسه. لذلك، للأنظمة ثابتة الزمن يمكننا دائمًا أن نفترض، دون فقدان للعمومية، أن $ t_0 = 0 $ . لاحظ أن الزمن الابتدائي $ t_0 = 0 $ ليس مطلقًا؛ يمكننا اختياره. قد يكون اللحظة التي نبدأ فيها دراسة نظام. إذا اخترنا $ t_0 = 0 $ ، ففترة الزمن محل الاهتمام ستكون $ [0,\infty) $ . إذا لم يكن النظام ثابت الزمن، فيقال إنه متغير الزمن (time varying).

    يجب نمذجة بعض الأنظمة الفيزيائية كنظم متغيرة الزمن. على سبيل المثال، الصاروخ المحترق نظام متغير الزمن لأن كتلته تنقص سريعًا مع الزمن. وعلى الرغم من أن أداء السيارة أو جهاز التلفاز قد يتدهور على مدى فترة طويلة، فإن خصائصه لا تتغير بشكل ملحوظ في أول سنتين. لذا يمكن نمذجة عدد كبير من الأنظمة الفيزيائية على أنها ثابتة الزمن ضمن فترة زمنية محدودة.