2.3.1 حالة متعدد الدخل متعدد الخرج (Multi-input Multi-output Case) 

    نوسّع المناقشة في القسم السابق لحالة أحادي الدخل أحادي الخرج (SISO) إلى حالة متعدد الدخل متعدد الخرج (MIMO). إذا كان لنظام LTI عدد $ p $ من أطراف الدخل و $ q $ من أطراف الخرج، فإن (2.5) تمتد إلى

    $$ \mathbf {y} (t) = \int_ {\tau = 0} ^ {t} \mathbf {G} (t - \tau) \mathbf {u} (\tau) d \tau \tag {2.13} $$

    حيث إن $ \mathbf{y}(t) $ متجه خرج $ q\times 1 $ ، و $ \mathbf{u}(t) $ متجه دخل $ p\times 1 $ ، و

    $$ \mathbf {G} (t) = \left[ \begin{array}{c c c c} g _ {1 1} (t) & g _ {1 2} (t) & \dots & g _ {1 p} (t) \\ g _ {2 1} (t) & g _ {2 2} (t) & \dots & g _ {2 p} (t) \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ g _ {q 1} (t) & g _ {q 2} (t) & \dots & g _ {q p} (t) \end{array} \right] $$

    الدالة $ g_{ij}(t) $ هي الاستجابة عند الزمن $ t $ في طرف الخرج رقم $ i $ الناتجة عن نبضة مطبقة عند الزمن 0 على طرف الدخل رقم $ j $ ، مع كون المدخلات في الأطراف الأخرى مساوية للصفر. أي إن $ g_{ij}(t) $ هي استجابة النبضة بين طرف الدخل رقم $ j $ وطرف الخرج رقم $ i $ . لذا تسمى $ \mathbf{G} $ مصفوفة استجابة النبضة (impulse response matrix) للنظام. ونؤكد مرة أخرى أنه إذا وُصف نظام بالمعادلة (2.13)، فإن النظام خطي وثابت الزمن وسببي وفي حالة استرخاء ابتدائي عند $ t_0 = 0 $ .

    يؤدي تطبيق تحويل Laplace على (2.13) إلى

    $$ \hat {\mathbf {y}} (s) = \hat {\mathbf {G}} (s) \hat {\mathbf {u}} (s) \tag {2.14} $$

    أو

    $$ \left[ \begin{array}{c} \hat {y} _ {1} (s) \\ \hat {y} _ {2} (s) \\ \vdots \\ \hat {y} _ {q} (s) \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c c c c} \hat {g} _ {1 1} (s) & \hat {g} _ {1 2} (s) & \dots & \hat {g} _ {1 p} (s) \\ \hat {g} _ {2 1} (s) & \hat {g} _ {2 2} (s) & \dots & \hat {g} _ {2 p} (s) \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \hat {g} _ {q 1} (s) & \hat {g} _ {q 2} (s) & \dots & \hat {g} _ {q p} (s) \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} \hat {u} _ {1} (s) \\ \hat {u} _ {2} (s) \\ \vdots \\ \hat {u} _ {p} (s) \end{array} \right] $$

    حيث إن $ \hat{g}_{ij}(s) $ هي دالة التحويل من الدخل رقم $ j $ إلى الخرج رقم $ i $ . المصفوفة $ \hat{\mathbf{G}}(s) $ ذات الأبعاد $ q \times p $ تسمى مصفوفة دالة التحويل (transfer-function matrix) أو ببساطة مصفوفة التحويل (transfer matrix) للنظام.

    المعادلتان (2.13) و(2.14) تنطبقان على أي نظام LTI مجمّع أو موزع. وإذا كان النظام مجمّعًا أيضًا، فيمكن وصفه بمعادلة فضاء حالة من الشكل

    $$ \dot {\mathbf {x}} (t) = \mathbf {A} \mathbf {x} (t) + \mathbf {B} \mathbf {u} (t) $$
    $$ \mathbf {y} (t) = \mathbf {C x} (t) + \mathbf {D u} (t) \tag {2.15} $$

    لنظام له $ p $ مداخل، و $ q $ مخارج، و $ n $ من متغيرات الحالة، تكون A و B و C و D على الترتيب مصفوفات ثابتة بالأبعاد $ n \times n $ ، و $ n \times p $ ، و $ q \times n $ ، و $ q \times p $ .

    حالة MIMO من (2.12) هي

    $$ \hat {\mathbf {G}} (s) = \mathbf {C} (s \mathbf {I} - \mathbf {A}) ^ {- 1} \mathbf {B} + \mathbf {D} \tag {2.16} $$

    اشتقاقها مطابق لحالة SISO ولذلك تم حذفه.