2.3 الأنظمة الخطية ثابتة الزمن (Linear Time-Invariant Systems) 

    يُعرّف النظام ثابت الزمن بأنه خطي إذا تحقق لأي زوجين من أزواج الحالة-الدخل-الخرج

    $$ \left.\begin{array}{l}\mathbf {x} _ {i} (0)\\\mathbf {u} _ {i} (t), t \geq 0\end{array}\right\}\rightarrow \mathbf {y} _ {i} (t), \quad t \geq 0 $$

    ولـ $ i = 1,2 $ لدينا

    $$ \left.\begin{array}{l}\mathbf {x} _ {1} (0) + \mathbf {x} _ {2} (0)\\\mathbf {u} _ {1} (t) + \mathbf {u} _ {2} (t), t \geq 0\end{array}\right\}\rightarrow \mathbf {y} _ {1} (t) + \mathbf {y} _ {2} (t), \quad t \geq 0 \quad (\text{additivity}) $$

    و

    $$ \left.\begin{array}{l}\alpha \mathbf {x} _ {1} (0)\\\alpha \mathbf {u} _ {1} (t), t \geq 0\end{array}\right\}\rightarrow \alpha \mathbf {y} _ {1} (t), \quad t \geq 0 \quad (\text{homogeneity}) $$

    لأي ثابت حقيقي $ \alpha $ ، حيث افترضنا $ t_0 = 0 $ . الخاصية الأولى تسمى خاصية الإضافية (additivity)، والثانية خاصية التجانس (homogeneity). ويمكن دمج هاتين الخاصيتين كما يلي

    $$ \begin{array}{l}\alpha_ {1} \mathbf {x} _ {1} (0) + \alpha_ {2} \mathbf {x} _ {2} (0)\\\alpha_ {1} \mathbf {u} _ {1} (t) + \alpha_ {2} \mathbf {u} _ {2} (t), \quad t \geq 0\end{array}\Big | \rightarrow \alpha_ {1} \mathbf {y} _ {1} (t) + \alpha_ {2} \mathbf {y} _ {2} (t), \quad t \geq 0 $$

    لأي ثوابت حقيقية $ \alpha_{1} $ و $ \alpha_{2} $ وتسمى خاصية التراكب (superposition). يسمى النظام نظامًا غير خطي (nonlinear system) إذا لم تتحقق خاصية التراكب.

    إذا كان الدخل $ \mathbf{u}(t) $ يساوي الصفر تمامًا لـ $ t \geq t_0 = 0 $ ، فإن الخرج سيُثار حصريًا بالحالة الابتدائية $ \mathbf{x}(0) $ . يسمى هذا الخرج استجابة صفر الدخل (zero-input response) ويُرمز لها بـ $ \mathbf{y}_{zi} $ أو

    $$ \left.\begin{array}{l}\mathbf {x} (0)\\\mathbf {u} (t) \equiv \mathbf {0}, t \geq 0\end{array}\right\}\rightarrow \mathbf {y} _ {z i} (t), \quad t \geq 0 $$

    إذا كانت الحالة الابتدائية $ \mathbf{x}(0) $ صفراً، فإن الخرج سيُثار حصريًا بالدخل. يسمى هذا الخرج استجابة صفر الحالة (zero-state response) ويُرمز لها بـ $ \mathbf{y}_{zs} $ أو

    $$ \left.\begin{array}{l}\mathbf {x} (0) = \mathbf {0}\\\mathbf {u} (t), t \geq 0\end{array}\right\}\rightarrow \mathbf {y} _ {z s} (t), \quad t \geq 0 $$

    تستلزم خاصية الإضافية

    $$ \begin{array}{l} \text{Output} \left\{ \begin{array}{l} \mathbf {x} (0) \\ \mathbf {u} (t), t \geq 0 \end{array} = \text{output} \right. \text{excited by} \left\{ \begin{array}{l} \mathbf {x} (0) \\ \mathbf {u} (t) \equiv \mathbf {0}, t \geq 0 \end{array} \right. \\ + \text{output excited by} \left\{ \begin{array}{l} \mathbf {x} (0) = \mathbf {0} \\ \mathbf {u} (t), \quad t \geq 0 \end{array} \right. \\ \end{array} $$

    أو

    $$ \text{Response} = \text{zero-input response} + \text{zero-state response} $$

    وهكذا يمكن تحليل استجابة كل نظام خطي ثابت الزمن إلى استجابة صفر الحالة واستجابة صفر الدخل. علاوة على ذلك يمكن دراسة الاستجابتين كلٌّ على حدة، ويعطي مجموعهما الاستجابة الكلية. أما في الأنظمة غير الخطية ثابتة الزمن، فقد تختلف الاستجابة الكلية كثيرًا عن مجموع استجابة صفر الدخل واستجابة صفر الحالة. لذلك لا يمكن فصل استجابة صفر الدخل واستجابة صفر الحالة عند دراسة الأنظمة غير الخطية ثابتة الزمن.

    إذا كان النظام ثابت الزمن خطيًا، فإن خاصيتي الإضافية والتجانس تنطبقان على استجابات صفر الحالة. وبشكل أكثر تحديدًا، إذا كانت $ \mathbf{x}(0) = \mathbf{0} $ ، فإن الخرج سيُثار حصريًا بالدخل ويمكن تبسيط معادلة الحالة-الدخل-الخرج إلى $ \{u_i(t) \to y_i(t)\} $ . إذا كان النظام ثابت الزمن، فإن $ \{u_i(t - t_1) \to y_i(t - t_1)\} $ لأي $ t_1 $ . وإذا كان النظام خطيًا، فإن لدينا $ \{u_1 + u_2 \to y_1 + y_2\} $ و $ \{\alpha u_i \to \alpha y_i\} $ لكل $ \alpha $ ولكل $ u_i $ . وينطبق تعليق مشابه على استجابات صفر الدخل لأي نظام خطي ثابت الزمن.

    الالتفاف (Convolution) 

    نطوّر معادلة رياضية لوصف استجابات صفر الحالة للأنظمة الخطية ثابتة الزمن. في هذه الدراسة نفترض أن الحالة الابتدائية $ \mathbf{x}(0) $ تساوي صفرًا، وأن الخرج $ y(t) $ لـ $ t\geq 0 $ يُثار حصريًا بالدخل $ u(t) $ لـ $ t\geq 0 $ . إذا كانت $ \mathbf{x}(0) = \mathbf{0} $ فيقال إن النظام في حالة استرخاء ابتدائي (initially relaxed) عند $ t = 0 $ . لاحظ أنه إذا كان $ u(t) = 0 $ لكل $ t < 0 $ ، فإن النظام يكون في حالة استرخاء ابتدائي عند $ t = 0 $ .

    اعتبر دخلًا $ u(t) $ مطبقًا من $ t = 0 $ فصاعدًا. عندها يمكن تقريب هذا الدخل بـ

    $$ u (t) \approx \sum_ {i = 0} ^ {\infty} u \left(t _ {i}\right) \delta_ {\Delta} \left(t - t _ {i}\right) \Delta $$

    كما نوقش في الفقرة السابقة. ليكن $ g_{\Delta}(t) $ هو الخرج عند الزمن $ t $ الناتج عن نبضة $ u(t) = \delta_{\Delta}(t - 0) = \delta_{\Delta}(t) $ المطبقة عند الزمن $ t_0 = 0 $ . عندها نحصل على

    $$ \delta_ {\Delta} (t) \rightarrow g _ {\Delta} (t) \quad (\text{definition}) $$
    $$ \delta_ {\Delta} \left(t - t _ {i}\right)\rightarrow g _ {\Delta} \left(t - t _ {i}\right) \quad \text{(time shifting)} $$
    $$ \delta_ {\Delta} \left(t - t _ {i}\right) u \left(t _ {i}\right) \Delta \rightarrow g _ {\Delta} \left(t - t _ {i}\right) u \left(t _ {i}\right) \Delta \quad (\text{homogeneity}) $$
    $$ \sum_ {i = 0} ^ {\infty} \delta_ {\Delta} (t - t _ {i}) u (t _ {i}) \Delta \rightarrow \sum_ {i = 0} ^ {\infty} g _ {\Delta} (t - t _ {i}) u (t _ {i}) \Delta \quad (\text{additivity}) $$

    ومن ثم يمكن تقريب الخرج $ y(t) $ ، لـ $ t \geq 0 $ ، الناتج عن الدخل $ u(t) $ ، لـ $ t \geq 0 $ ، كما يلي

    $$ y (t) \approx \sum_ {i = 0} ^ {\infty} g _ {\Delta} \left(t - t _ {i}\right) u \left(t _ {i}\right) \Delta \tag {2.3} $$

    عندما تقترب $ \Delta $ من الصفر، تصبح النبضة $ \delta_{\Delta}(t) $ نبضة مثالية عند $ t = 0 $ ويصبح $ g_{\Delta}(t) $ مساويًا لـ $ g(t) $ ، وهو الخرج الناتج عن نبضة مثالية مطبقة عند $ t = 0 $ . نسمي $ g(t) $ استجابة النبضة (impulse response). عندما تقترب $ \Delta $ من الصفر، يصبح التقريب في (2.3) مساواة، ويتحول الجمع إلى تكامل، ويصبح $ t_i $ متغيرًا مستمرًا نرمز له بـ $ \tau $ ، ويمكن كتابة $ \Delta $ على أنها $ d\tau $ . وبالتالي تتحول (2.3) عندما $ \Delta \to 0 $ إلى

    $$ y (t) = \int_ {\tau = 0} ^ {\infty} g (t - \tau) u (\tau) d \tau \tag {2.4} $$

    وهذا يصف استجابة صفر الحالة لنظام LTI.

    إذا كان النظام سببيًا، فلن يظهر الخرج قبل تطبيق الدخل. استجابة النبضة هي الخرج الناتج عن $ \delta(t) $ التي تساوي صفرًا لكل $ t < 0 $ . لذا نحصل على

    $$ \text{causal} \Longleftrightarrow g (t) = 0 \quad \text{for all } t < 0 $$

    وهذا في الحقيقة الشرط اللازم والكافي لكي يكون النظام سببيًا. إذا كان $ g(t) = 0 $ لكل $ t < 0 $ ، فإن $ g(t - \tau) = 0 $ لكل $ \tau > t $ . لذلك إذا كان النظام سببيًا، يمكن استبدال الحد الأعلى $ \infty $ في تكامل (2.4) بـ $ t $ وتصبح (2.4)

    $$ y (t) = \int_ {\tau = 0} ^ {t} g (t - \tau) u (\tau) d \tau $$

    وهذا يسمى الالتفاف التكاملي (integral convolution). نطوّر صيغة أخرى. عرّف متغير التكامل الجديد $ \bar{\tau} $ بـ $ \bar{\tau} := t - \tau $ ، حيث $ t $ ثابت. عندها $ d\tau = -d\bar{\tau} $ ونحصل على

    $$ y (t) = \int_ {\bar {\tau} = t} ^ {0} g (\bar {\tau}) u (t - \bar {\tau}) (- d \bar {\tau}) = \int_ {\bar {\tau} = 0} ^ {t} g (\bar {\tau}) u (t - \bar {\tau}) (d \bar {\tau}) $$

    وبإعادة تسمية المتغير الصوري $ \bar{\tau} $ إلى $ \tau $ ، نحصل على

    $$ y (t) = \int_ {\tau = 0} ^ {t} g (t - \tau) u (\tau) d \tau = \int_ {\tau = 0} ^ {t} g (\tau) u (t - \tau) d \tau \tag {2.5} $$

    وهكذا للالتفاف التكاملي شكلان أو خاصية تبادلية (commutative property) يمكن فيها تبادل دوري $ g $ و $ u $ . يمكن وصف كل نظام خطي ثابت الزمن (LTI) سببي بهذه المعادلة، لكنها تصف فقط استجابة صفر الحالة. وبعبارة أخرى، عند استخدام (2.5) يجب أن يكون النظام في حالة استرخاء ابتدائي.

    في اشتقاق (2.5)، لا يُستخدم شرط التجمّع (lumpedness). لذلك فإن أي نظام LTI مجمّع أو موزع له مثل هذا الوصف. وهذا الوصف يعتمد فقط على خواص الإزاحة الزمنية والإضافية والتجانس؛ لذلك فإن كل نظام LTI - سواء كان نظامًا كهربائيًا أو ميكانيكيًا أو عملية كيميائية أو أي نظام آخر - له مثل هذا الوصف.

    مثال 2.3.1 اعتبر نظام تأخير بزمن وحدة الذي دُرس في المثال 2.2.1. إنه ثابت الزمن وخطي. لذا يمكن وصفه بالتفاف. إذا طبقنا $ u(t) = \delta(t) $ على النظام، فإن الخرج هو $ \delta(t - 1) $ . ومن ثم فإن استجابة النبضة للنظام هي $ g(t) = \delta(t - 1) $ ويمكن وصف النظام بـ

    $$ y (t) = \int_ {\tau = 0} ^ {t} g (t - \tau) u (\tau) d \tau = \int_ {\tau = 0} ^ {t} \delta (t - 1 - \tau) u (\tau) d \tau $$

    والتي تختزل، باستخدام خاصية الغربلة للنبضات، إلى

    $$ y (t) = u (\tau) | _ {t - \tau - 1 = 0} = u (\tau) | _ {\tau = t - 1} = u (t - 1) $$

    وهكذا يختزل وصف الالتفاف إلى تعريف النظام نفسه. تذكّر أن الالتفاف يصف فقط استجابات صفر الحالة. حالة نظام التأخير بزمن وحدة عند $ t = 0 $ هي، كما نوقش في المثال 2.2.1، $ u(t) $ لكل $ t $ في $ [-1,0) $ . لذلك يكون النظام في حالة استرخاء ابتدائي عند $ t = 0 $ إذا كان $ u(t) = 0 $ لكل $ t $ في $ [-1,0) $ . لاحظ أن الدخل $ u(t) $ لـ $ t < -1 $ غير ذي صلة؛ يمكن أن يكون صفرًا أو غير صفر. وللتسهيل، عند استخدام التفاف يمكننا ببساطة أن نفترض $ u(t) = 0 $ لكل $ t < 0 $ .

    مثال 2.3.2 اعتبر نظام التغذية الراجعة الوحدوية المبين في الشكل 2.5(a). يتكون من مضاعف بكسب $ a $ وعنصر تأخير بزمن وحدة. وهو نظام SISO. ليكن $ r(t) $ ، ويسمى دخل المرجع (reference input)، هو دخل نظام التغذية الراجعة. إذا كان $ r(t) = \delta(t) $ ، فإن الخرج هو استجابة النبضة لنظام التغذية الراجعة وتساوي

    $$ g _ {f} (t) = a \delta (t - 1) + a ^ {2} \delta (t - 2) + a ^ {3} \delta (t - 3) + \dots = \sum_ {i = 1} ^ {\infty} a ^ {i} \delta (t - i) \tag {2.6} $$


    الشكل 2.5 أنظمة تغذية راجعة موجبة وسالبة.

    ليكن $ r(t) $ أي دخل بحيث $ r(t) = 0 $ لكل $ t < 0 $ ، عندها يُعطى الخرج بـ

    $$ \begin{array}{l} y (t) = \int_ {0} ^ {t} g _ {f} (t - \tau) r (\tau) d \tau = \sum_ {i = 1} ^ {\infty} a ^ {i} \int_ {0} ^ {t} \delta (t - \tau - i) r (\tau) d \tau \\ = \sum_ {i = 1} ^ {\infty} a ^ {i} r (\tau) \Bigg | _ {\tau = t - i} = \sum_ {i = 1} ^ {\infty} a ^ {i} r (t - i) \\ \end{array} $$

    ولأن نظام التأخير بزمن وحدة نظام موزع، فإن نظام التغذية الراجعة أيضًا موزع.

    دالة التحويل (Transfer function) 

    تحويل Laplace أداة مهمة في دراسة الأنظمة الخطية ثابتة الزمن (LTI). ليكن $ \hat{y}(s) $ تحويل Laplace لـ $ y(t) $ ، أي

    $$ \hat {y} (s) := \mathcal {L} [ y (t) ] := \int_ {0} ^ {\infty} y (t) e ^ {- s t} d t $$

    في هذا النص نستخدم متغيرًا مع قبعة للدلالة على تحويل Laplace لذلك المتغير. بالتعويض من (2.4) وتبديل ترتيب التكاملات نحصل على

    $$ \begin{array}{l} \hat {y} (s) = \int_ {t = 0} ^ {\infty} \left(\int_ {\tau = 0} ^ {\infty} g (t - \tau) u (\tau) d \tau\right) e ^ {- s (t - \tau)} e ^ {- s \tau} d t \\ = \int_ {\tau = 0} ^ {\infty} \left(\int_ {t = 0} ^ {\infty} g (t - \tau) e ^ {- s (t - \tau)} d t\right) u (\tau) e ^ {- s \tau} d \tau \\ \end{array} $$

    والتي تصبح، بعد إدخال المتغير الجديد $ \nu := t - \tau $ لتكامل الداخل حيث تكون $ \tau $ ثابتة،

    $$ \hat {y} (s) = \int_ {\tau = 0} ^ {\infty} \left(\int_ {v = - \tau} ^ {\infty} g (\nu) e ^ {- s \nu} d \nu\right) u (\tau) e ^ {- s \tau} d \tau $$

    وباستخدام شرط السببية لاستبدال الحد الأدنى للتكامل داخل الأقواس من $ \nu = -\tau $ إلى $ \nu = 0 $ ، يصبح التكامل مستقلًا عن $ \tau $ ويصبح التكامل المزدوج

    $$ \hat {y} (s) = \left(\int_ {\nu = 0} ^ {\infty} g (\nu) e ^ {- s \nu} d \nu\right) \left(\int_ {\tau = 0} ^ {\infty} u (\tau) e ^ {- s \tau} d \tau\right) $$

    أو

    $$ \hat {y} (s) = \hat {g} (s) \hat {u} (s) \tag {2.7} $$

    حيث

    $$ \hat {g} (s) = \mathcal {L} [ g (t) ] = \int_ {0} ^ {\infty} g (t) e ^ {- s t} d t $$

    تسمى دالة التحويل (transfer function) للنظام. وهكذا فإن دالة التحويل هي تحويل Laplace لاستجابة النبضة، وبالعكس فإن استجابة النبضة هي تحويل Laplace العكسي لدالة التحويل. نرى أن تحويل Laplace يحول الالتفاف التكاملي إلى المعادلة الجبرية في (2.7).

    تُعرّف دالة التحويل على أنها تحويل Laplace لاستجابة النبضة. وباستخدام (2.7) يمكننا أيضًا تعريفها على أنها

    $$ \hat {g} (s) = \frac {\hat {y} (s)}{\hat {u} (s)} = \left. \frac {\mathcal {L} [ \text{output} ]}{\mathcal {L} [ \text{input} ]} \right| _ {\text{initially relaxed}} \tag {2.8} $$

    سيتم حساب معظم دوال التحويل باستخدام هذا التعريف.

    مثال 2.3.3 اعتبر نظام التأخير بزمن وحدة الذي دُرس في المثال 2.2.1. استجابة النبضة له هي $ \delta(t - 1) $ . لذلك فإن دالة التحويل له هي

    $$ \hat {g} (s) = \mathcal {L} [ \delta (t - 1) ] = \int_ {0} ^ {\infty} \delta (t - 1) e ^ {- s t} d t = e ^ {- s t} \big | _ {t = i} = e ^ {- s} $$

    هذه الدالة التحويلية دالة غير جبرية (irrational) في $ s $ . في مجال تحويل Laplace، يرتبط الدخل والخرج بـ $ \hat{y}(s) = \hat{g}(s)\hat{u}(s) = e^{-s}\hat{u}(s) $ .

    مثال 2.3.4 اعتبر نظام التغذية الراجعة المبين في الشكل 2.5(a). حُسبت استجابة النبضة له في (2.6) على أنها

    $$ g _ {f} (t) = \sum_ {i = 1} ^ {\infty} a ^ {i} \delta (t - i) $$

    وبما أن $ \mathcal{L}[\delta(t - i)] = e^{-is} $ ، فإن تحويل Laplace لـ $ g_f(t) $ هو

    $$ \hat {g} _ {f} (s) = \mathcal {L} [ g _ {f} (t) ] = \sum_ {i = 1} ^ {\infty} a ^ {i} e ^ {- i s} = a e ^ {- s} \sum_ {i = 0} ^ {\infty} (a e ^ {- s}) ^ {i} $$

    وباستخدام $ \sum_{i=0}^{\infty} b^{i} = 1 / (1 - b) $ ، عندما $ |b| < 1 $ ، يمكننا كتابة المتسلسلة اللانهائية بصيغة مغلقة كما يلي

    $$ \hat {g} _ {f} (s) = \frac {a e ^ {- s}}{1 - a e ^ {- s}} $$

    بعد ذلك نستخدم (2.8) لحساب دالة التحويل. من الشكل 2.5(a) لدينا في مجال تحويل Laplace

    $$ \hat {u} (s) = a (\hat {r} (s) + \hat {y} (s)) = a \hat {r} (s) + a e ^ {- s} \hat {u} (s) $$

    حيث استخدمنا $ \hat{y}(s) = e^{-s}\hat{u}(s) $ . تؤدي معالجة بسيطة إلى

    $$ \hat {u} (s) = \frac {a}{1 - a e ^ {- s}} \hat {r} (s) $$

    و

    $$ \hat {y} (s) = e ^ {- s} \hat {u} (s) = \frac {a e ^ {- s}}{1 - a e ^ {- s}} \hat {r} (s) $$

    وبالتالي فإن دالة التحويل من $ r $ إلى $ y $ في نظام التغذية الراجعة هي

    $$ \hat {g} _ {f} (s) = \frac {\hat {y} (s)}{\hat {r} (s)} = \frac {a e ^ {- s}}{1 - a e ^ {- s}} $$

    وهي نفسها التي حُسبت سابقًا.

    معادلة فضاء الحالة (State-space equation) 

    يمكن وصف كل نظام LTI مجمّع بمدخل $ u(t) $ ومخرج $ y(t) $ بمجموعة معادلات على الشكل

    $$ \dot {\mathbf {x}} (t) = \mathbf {A} \mathbf {x} (t) + \mathbf {b} u (t) \tag {2.9} $$
    $$ y (t) = \mathbf {c x} (t) + d u (t) \tag {2.10} $$

    حيث $ \dot{\mathbf{x}}(t) := d\mathbf{x}(t)/dt $ . إذا كان للنظام $ n $ من متغيرات الحالة، فإن $ \mathbf{x} $ متجه $ n \times 1 $ . ولكي تكون المصفوفات في (2.9) و(2.10) متوافقة، يجب أن تكون $ \mathbf{A} $ و $ \mathbf{b} $ و $ \mathbf{c} $ و $ d $ مصفوفات $ n \times n $ ، و $ n \times 1 $ ، و $ 1 \times n $ ، و $ 1 \times 1 $ على التوالي. جميع عناصر المصفوفات الأربع أعداد حقيقية مستقلة عن الزمن. المعادلة (2.9)، التي تسمى معادلة الحالة (state equation)، تتكون فعليًا من مجموعة من $ n $ معادلات تفاضلية من الرتبة الأولى. المعادلة (2.10)، التي تسمى معادلة الخرج (output equation)، هي معادلة جبرية. الثابت $ d $ يسمى جزء الانتقال المباشر (direct transmission part). يُسمّى الزوج من المعادلتين معادلة فضاء حالة (state-space, ss) من البعد $ n $ . الأنظمة LTI الموزعة التي لها عدد لا نهائي من متغيرات الحالة لا يمكن وصفها بمعادلة فضاء حالة بالشكل المعروض.

    تم تطوير وصف الالتفاف من شروط ثبات الزمن والخطية. أما تطوير معادلة فضاء الحالة من الشروط فليس بسيطًا ولن نحاول القيام به. سنقبله ببساطة كحقيقة.

    يؤدي تطبيق تحويل Laplace على (2.9) و(2.10) إلى1

    $$ s \hat {\mathbf {x}} (s) - \mathbf {x} (0) = \mathbf {A} \hat {\mathbf {x}} (s) + \mathbf {b} \hat {u} (s) $$
    $$ \hat {y} (s) = \mathbf {c} \hat {\mathbf {x}} (s) + d \hat {u} (s) $$

    ومنها

    $$ s \hat {\mathbf {x}} (s) - \mathbf {A} \hat {\mathbf {x}} (s) = (s \mathbf {I} - \mathbf {A}) \hat {\mathbf {x}} (s) = \mathbf {x} (0) + \mathbf {b} \hat {u} (s) $$

    حيث $ \mathbf{I} $ هي مصفوفة الوحدة من نفس رتبة $ \mathbf{A} $ ولها الخاصية $ \hat{\mathbf{x}}(s) = \mathbf{I}\hat{\mathbf{x}}(s) $ . من دون إدخال $ \mathbf{I} $ لا يكون التعبير $ (s - \mathbf{A}) $ معرّفًا. ضرب الطرفين يسارًا بـ $ (s\mathbf{I} - \mathbf{A})^{-1} $ يعطي

    $$ \hat {\mathbf {x}} (s) = (s \mathbf {I} - \mathbf {A}) ^ {- 1} \mathbf {x} (0) + (s \mathbf {I} - \mathbf {A}) ^ {- 1} \mathbf {b} \hat {\boldsymbol {u}} (s) $$

    و

    $$ \hat {y} (s) = \mathbf {c} \hat {\mathbf {x}} (s) + d \hat {u} (s) = \mathbf {c} (s \mathbf {I} - \mathbf {A}) ^ {- 1} \mathbf {x} (0) + \mathbf {c} (s \mathbf {I} - \mathbf {A}) ^ {- 1} \mathbf {b} \hat {u} (s) + d \hat {u} (s) \tag {2.11} $$

    وهما معادلتان جبريتان. تكشف المعادلة (2.11) أن استجابة نظام LTI يمكن تحليلها إلى استجابة صفر الحالة واستجابة صفر الدخل. إذا كانت الحالة الابتدائية $ \mathbf{x}(0) $ صفرًا، فإن (2.11) تختزل إلى

    $$ \hat {y} (s) = [ \mathbf {c} (s \mathbf {I} - \mathbf {A}) ^ {- 1} \mathbf {b} + d ] \hat {u} (s) $$

    وبالمقارنة مع (2.7) نحصل على

    $$ \hat {g} (s) = \mathbf {c} (s \mathbf {I} - \mathbf {A}) ^ {- 1} \mathbf {b} + d \tag {2.12} $$

    وهذا يربط بين دالة التحويل (وصف خارجي) ومعادلة فضاء الحالة (وصف داخلي).