2.4.1 الخطية التقريبية (Linearization) 

معظم الأنظمة الفيزيائية غير خطية (nonlinear) ومتغيرة الزمن. يمكن وصف بعض منها بالمعادلة التفاضلية غير الخطية من الشكل

$$ \dot {\mathbf {x}} (t) = \mathbf {h} (\mathbf {x} (t), \mathbf {u} (t), t) \tag {2.19} $$

$$ \mathbf {y} (t) = \mathbf {f} (\mathbf {x} (t), \mathbf {u} (t), t) $$

حيث إن $ \mathbf{h} $ و $ \mathbf{f} $ دوال غير خطية. يمكن أن يكون سلوك مثل هذه المعادلات معقدًا جدًا، ودراستها خارج نطاق هذا النص.

بعض المعادلات غير الخطية يمكن تقريبها بمعادلات خطية تحت شروط معينة. افترض أنه لمدخل معين $ \mathbf{u}_o(t) $ وحالة ابتدائية معينة، فإن $ \mathbf{x}_o(t) $ هو حل (2.19)، أي

$$ \dot {\mathbf {x}} _ {o} (t) = \mathbf {h} \left(\mathbf {x} _ {o} (t), \mathbf {u} _ {o} (t), t\right) \tag {2.20} $$

الآن افترض أن الدخل اضطراب قليلًا ليصبح $ \mathbf{u}_o(t) + \bar{\mathbf{u}}(t) $ وأن الحالة الابتدائية اضطربت قليلًا أيضًا. في بعض المعادلات غير الخطية، قد يختلف الحل الموافق عن $ \mathbf{x}_o(t) $ قليلًا فقط. في هذه الحالة يمكن كتابة الحل على صورة $ \mathbf{x}_o(t) + \bar{\mathbf{x}}(t) $ بحيث تكون $ \bar{\mathbf{x}}(t) $ صغيرة لكل $ t $ .² تحت هذا الافتراض، يمكننا توسيع (2.19) كما يلي

$$ \begin{array}{l} \dot {\mathbf {x}} _ {o} (t) + \dot {\bar {\mathbf {x}}} (\mathbf {t}) = \mathbf {h} \left(\mathbf {x} _ {o} (t) + \bar {\mathbf {x}} (t), \mathbf {u} _ {o} (t) + \bar {\mathbf {u}} (t), t\right) \\ = \mathbf {h} \left(\mathbf {x} _ {o} (t), \mathbf {u} _ {o} (t), t\right) + \frac {\partial \mathbf {h}}{\partial \mathbf {x}} \bar {\mathbf {x}} (t) + \frac {\partial \mathbf {h}}{\partial \mathbf {u}} \bar {\mathbf {u}} (t) + \dots \tag {2.21} \\ \end{array} $$

حيث إنه لـ $ \mathbf{h} = [h_1 h_2 h_3]' $ ، و $ \mathbf{x} = [x_1 x_2 x_3]' $ ، و $ \mathbf{u} = [u_1 u_2]' $ ، نحصل على

$$ \mathbf {A} (t) := \frac {\partial \mathbf {h}}{\partial \mathbf {x}} := \left[ \begin{array}{l l l} \partial h _ {1} / \partial x _ {1} & \partial h _ {1} / \partial x _ {2} & \partial h _ {1} / \partial x _ {3} \\ \partial h _ {2} / \partial x _ {1} & \partial h _ {2} / \partial x _ {2} & \partial h _ {2} / \partial x _ {3} \\ \partial h _ {3} / \partial x _ {1} & \partial h _ {3} / \partial x _ {2} & \partial h _ {3} / \partial x _ {3} \end{array} \right] $$

$$ \mathbf {B} (t) := \frac {\partial \mathbf {h}}{\partial \mathbf {u}} := \left[ \begin{array}{l l} \partial h _ {1} / \partial u _ {1} & \partial h _ {1} / \partial u _ {2} \\ \partial h _ {2} / \partial u _ {1} & \partial h _ {2} / \partial u _ {2} \\ \partial h _ {3} / \partial u _ {1} & \partial h _ {3} / \partial u _ {2} \end{array} \right] $$

وتُسمى مصفوفات Jocobians. وبما أن $ \mathbf{A} $ و $ \mathbf{B} $ تُحسبان على طول الدالتين الزمنيتين $ \mathbf{x}_o(t) $ و $ \mathbf{u}_o(t) $ ، فإنهما عمومًا دوال في $ t $ . باستخدام (2.20) وإهمال الحدود ذات الرتب الأعلى من $ \bar{\mathbf{x}} $ و $ \bar{\mathbf{u}} $ ، يمكننا اختزال (2.21) إلى

$$ \dot {\bar {\mathbf {x}}} (t) = \mathbf {A} (t) \bar {\mathbf {x}} (t) + \mathbf {B} (t) \bar {\mathbf {u}} (t) $$

وهذه معادلة حالة خطية متغيرة الزمن (linear time-varying state equation). ويمكن خطّيّة المعادلة $ \mathbf{y}(t) = \mathbf{f}(\mathbf{x}(t),\mathbf{u}(t),t) $ بطريقة مماثلة. تُستخدم هذه التقنية في الخطية التقريبية كثيرًا في التطبيق للحصول على معادلات خطية.