2.4 الأنظمة الخطية متغيرة الزمن (Linear Time-Varying Systems) 

    نعدّل الآن (2.5) بحيث يمكن تطبيقها على الأنظمة الخطية السببية لكنها متغيرة الزمن. في النظام ثابت الزمن، إذا عرفنا الاستجابة الناتجة عن نبضة مطبقة عند الزمن 0، فإننا نعرف الاستجابة الناتجة عن نبضة مطبقة عند أي زمن $ t $ . هذا ليس هو الحال في الأنظمة متغيرة الزمن. فالاستجابة الناتجة عن نبضة مطبقة عند الزمن $ t_1 $ تختلف عمومًا عن الاستجابة الناتجة عن نبضة مطبقة عند $ t_2 \neq t_1 $ . لذلك يجب أن تكون استجابة النبضة لنظام متغير الزمن دالة في متغيرين. ليكن $ g(t, \tau) $ هو الخرج عند الزمن $ t $ الناتج عن نبضة مطبقة عند الزمن $ \tau $ لنظام خطي متغير الزمن. إذا كان النظام سببيًا، فإن $ g(t, \tau) = 0 $ لكل $ t < \tau $ . عندها يمكن وصف النظام ذي الدخل $ u(t) $ والخرج $ y(t) $ بـ

    $$ y (t) = \int_ {\tau = t _ {(1)}} ^ {t} g (t, \tau) u (\tau) d \tau $$

    بافتراض أن النظام في حالة استرخاء ابتدائي عند $ t_0 $ . لاحظ أنه لم يعد بإمكاننا افتراض $ t_0 = 0 $ . وللنظام الخطي متغير الزمن من نوع MIMO نحصل على

    $$ \mathbf {y} (t) = \int_ {\tau = t _ {0}} ^ {t} \mathbf {G} (t, \tau) \mathbf {u} (\tau) d \tau \tag {2.17} $$

    حيث إن $ g_{ij}(t,\tau) $ ، وهو العنصر $ ij $ من $ \mathbf{G} $ ، هو استجابة النبضة بين طرف الدخل رقم $ j $ وطرف الخرج رقم $ i $ .

    تعديل (2.15) لوصف نظام مجمّع خطي متغير الزمن أمر بسيط نسبيًا. باستبدال المصفوفات الثابتة بمصفوفات متغيرة الزمن نحصل على

    $$ \dot {\mathbf {x}} (t) = \mathbf {A} (t) \mathbf {x} (t) + \mathbf {B} (t) \mathbf {u} (t) \tag {2.18} $$
    $$ \mathbf {y} (t) = \mathbf {C} (t) \mathbf {x} (t) + \mathbf {D} (t) \mathbf {u} (t) $$

    وبالتالي فإن استخدام معادلات فضاء الحالة لدراسة الأنظمة متغيرة الزمن أبسط بكثير من استخدام الالتفافات.

    تحويل Laplace أداة مهمة في دراسة الأنظمة ثابتة الزمن لكنه لا يُستخدم في دراسة الأنظمة متغيرة الزمن. فـتحويل Laplace لـ $ g(t, \tau) $ هو دالة في متغيرين و $ \mathcal{L}[\mathbf{A}(t)\mathbf{x}(t)]\neq \mathcal{L}[\mathbf{A}(t)]\mathcal{L}[\mathbf{x}(t)] $ ، لذا لا يقدم تحويل Laplace أي ميزة ولا يُستخدم في دراسة الأنظمة متغيرة الزمن.