2.5 دوائر RLC - مقارنات بين أوصاف مختلفة (RLC Circuits-Comparisons of Various Descriptions) 

في هذا القسم نناقش كيفية تطوير معادلة فضاء الحالة (state-space equation)، ومعادلة تفاضلية عالية الرتبة (high-order differential equation)، ودالة تحويل (transfer function)، والتفاف (convolution) لوصف دائرة RLC. كما نقارن بين الأوصاف الأربعة. قبل المتابعة، نشير إلى أن معظم الأنظمة تُبنى بربط عدد من المكونات. إذا كان كل مكوّن خطيًا وثابت الزمن، فالنظام الكلي كذلك. ومع ذلك، لا يوجد مكوّن فيزيائي خطي وثابت الزمن بالمعنى الرياضي. على سبيل المثال، المقاومة (resistor) ذات المقاومة $ R $ ليست خطية لأن المقاومة قد تحترق إذا كان الجهد المطبق كبيرًا جدًا. ومع ذلك، ضمن حد القدرة، تكون المقاومة التي يربط جهدها $ \nu(t) $ وتيارها $ i(t) $ بعلاقة $ \nu(t) = Ri(t) $ عنصرًا خطيًا. وبالمثل، بإهمال التشبع، الشحنة $ Q(t) $ المخزنة في المكثف ترتبط بالجهد المطبق $ \nu(t) $ بالعلاقة $ Q(t) = C\nu(t) $ ، حيث $ C $ هي السعة (capacitance)، ما يستلزم $ i(t) = Cd\nu(t)/dt $ ؛ والتدفق $ F(t) $ الناتج عن الملف يرتبط بتياره $ i(t) $ بالعلاقة $ F(t) = Li(t) $ ، حيث $ L $ هي المحاثة (inductance)، ما يستلزم $ \nu(t) = Ldi(t)/dt =: Li(t) $ . وهذه عناصر خطية. المقاومة $ R $ والسعة $ C $ والمحاثة $ L $ ربما تتغير قيمها بعد 100 سنة، لذا فهي ليست ثابتة الزمن. لكن قيمها ستبقى ثابتة خلال عدد من السنوات. لذا يمكن اعتبارها خطية وثابتة الزمن. إذا تم نمذجة جميع المقاومات والمكثفات والمحاثات في دوائر RLC مثل تلك في الشكل 2.6(a) بهذه الطريقة، تكون الدوائر خطية وثابتة الزمن. في هذا القسم سنطوّر أربعة أنواع من المعادلات لوصف الدائرة في الشكل 2.6(a).

معادلة فضاء الحالة (State-space equation) 

اعتبر دائرة RLC المبينة في الشكل 2.6(a) مع مصدر جهد كدخل وجهد المكثف كخرج. تتكون من مقاومة واحدة مقدارها 3 أوم $ (\Omega) $ ، وملفين بمحاثتين 5 و4 هنري (H)، ومكثف واحد بسعة 2 فاراد (F). لتطوير معادلة فضاء الحالة، يجب أولًا اختيار متغيرات الحالة. في دوائر RLC ترتبط متغيرات الحالة بعناصر تخزين الطاقة. المقاومة عنصر عديم الذاكرة ولا يمكنه تخزين الطاقة؛ لذلك لا يمكن اختيار متغيره (تيار أو جهد) كمتغير حالة. المكثف يمكنه تخزين الطاقة في المجال الكهربائي، ويمكن اختيار متغيره كمتغير حالة. إذا اخترنا

الشكل 2.6 (a) دائرة RLC. (b) عناصر خطية (Linear elements).

جهد المكثف $ \nu(t) $ كمتغير حالة، فإن تياره هو $ C d\nu(t)/d t=: C \dot{\nu}(t) $ كما هو موضح في الشكل 2.6(b). وإذا اخترنا تيار المكثف كمتغير حالة، فإن جهده يصبح تكاملًا ولا يُستخدم. الملف يمكنه تخزين الطاقة في المجال المغناطيسي، ويمكن اختيار متغيره كمتغير حالة. إذا اخترنا تيار الملف $ i(t) $ كمتغير حالة، فإن جهده هو $ L d i(t)/d t=L i(t) $ كما في الشكل 2.6(b). في التعيين، من المهم تحديد قطبية الجهد واتجاه التيار، وإلا فإن التعيين غير مكتمل.

إجراء تطوير معادلات فضاء الحالة لدوائر RLC 

عيّن جميع جهود المكثفات وجميع تيارات الملفات كمتغيرات حالة. إذا عُين جهد مكثف سعته $ C $ على أنه $ x_{i}(t) $ ، فإن تياره هو $ C\dot{x}_i(t) $ . وإذا عُين تيار ملف محاثته $ L $ على أنه $ x_{j}(t) $ ، فإن جهده هو $ L\dot{x}_j(t) $ .
استخدم قانون Kirchhoff للتيار أو الجهد للتعبير عن تيار أو جهد كل مقاومة بدلالة متغيرات الحالة (وليس مشتقاتها) وإذا لزم الأمر بدلالة الدخل. إذا كانت العبارة لتيار (جهد)، فإن ضربها (أو قسمتها) في المقاومة يعطي الجهد (التيار).
استخدم قانون Kirchhoff للتيار أو الجهد للتعبير عن كل $ \dot{x}_i(t) $ بدلالة متغيرات الحالة والدخل.

بالنسبة للدائرة المبينة في الشكل 2.6(a)، نعيّن تيار الملف 5-H على أنه $ x_{1}(t) $ . عندها جهده هو $ 5\dot{x}_{1}(t) $ كما هو موضح. بعد ذلك نعيّن تيار الملف 4-H على أنه $ x_{2}(t) $ . عندها جهده هو $ 4\dot{x}_{2}(t) $ . وأخيرًا نعيّن جهد المكثف 2-F على أنه $ x_{3}(t) $ . عندها تياره هو $ 2\dot{x}_{3}(t) $ . وهكذا تحتوي الشبكة على ثلاثة متغيرات حالة. بعد ذلك نُعبّر عن جهد أو تيار المقاومة 3-Ic بدلالة متغيرات الحالة. لأن المقاومة في اتصال على التوالي مع الملف 4-H، فإن تيارها هو $ x_{2}(t) $ . وبالتالي فإن الجهد عبر المقاومة 3-Ic هو $ 3x_{2}(t) $ . لاحظ أن إيجاد الجهد عبر المقاومة أولًا سيكون أكثر تعقيدًا. بهذا نكون قد أتممنا الخطوتين الأوليين من الإجراء.

بعد ذلك، بتطبيق قانون Kirchhoff للجهد على الحلقة الخارجية للدائرة نحصل على

$$ 5 \dot {x} _ {1} (t) + x _ {3} (t) - u (t) = 0 $$

ما يستلزم

$$ \dot {x} _ {1} (t) = - 0. 2 x _ {3} (t) + 0. 2 u (t) \tag {2.22} $$

وبتطبيق قانون Kirchhoff للجهد على الحلقة اليمنى نحصل على

$$ x _ {3} (t) - 4 \dot {x} _ {2} (t) - 3 x _ {2} (t) = 0 $$

ما يستلزم

$$ \dot {x} _ {2} (t) = - 0. 7 5 x _ {2} (t) + 0. 2 5 x _ {3} (t) \tag {2.23} $$

وأخيرًا بتطبيق قانون Kirchhoff للتيار على العقدة المرموز لها بـ A نحصل على

$$ x _ {1} (t) - x _ {2} (t) - 2 \dot {x} _ {3} (t) = 0 $$

ما يستلزم

$$ \dot {x} _ {3} (t) = 0. 5 x _ {1} (t) - 0. 5 x _ {2} (t) \tag {2.24} $$

ومن الشكل 2.6(a) لدينا

$$ y (t) = x _ {3} (t) \tag {2.25} $$

يمكن ترتيب المعادلات من (2.22) إلى (2.25) في صيغة مصفوفية كما يلي

$$ \left[ \begin{array}{l} \dot {x} _ {1} (t) \\ \dot {x} _ {2} (t) \\ \dot {x} _ {3} (t) \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c c c} 0 & 0 & - 0. 2 \\ 0 & - 0. 7 5 & 0. 2 5 \\ 0. 5 & - 0. 5 & 0 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{l} x _ {1} (t) \\ x _ {2} (t) \\ x _ {3} (t) \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{l} 0. 2 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right] u (t) \tag {2.26} $$

$$ y (t) = \left[ \begin{array}{l l l} 0 & 0 & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} x _ {1} (t) \\ x _ {2} (t) \\ x _ {3} (t) \end{array} \right] + 0 \times u (t) \tag {2.27} $$

أو باستخدام رموز المصفوفات،

$$ \dot {\mathbf {x}} (t) = \mathbf {A} \mathbf {x} (t) + \mathbf {b} u (t) \tag {2.28} $$

$$ y (t) = \mathbf {c x} (t) + d u (t) \tag {2.29} $$

مع $ \mathbf{x} = [x_1 x_2 x_3]' $ و

$$ \mathbf {A} = \left[ \begin{array}{r r r} 0 & 0 & - 0. 2 \\ 0 & - 0. 7 5 & 0. 2 5 \\ 0. 5 & - 0. 5 & 0 \end{array} \right], \quad \mathbf {b} = \left[ \begin{array}{r} 0. 2 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right] $$

$$ \mathbf {c} = \left[ \begin{array}{l l l} 0 & 0 & 1 \end{array} \right], \quad d = 0 $$

هذه المعادلة ذات البعد 3 في فضاء الحالة تصف الدائرة في الشكل 2.6(a).

المعادلة التفاضلية عالية الرتبة (High-order differential equation) 

اعتبر الدائرة في الشكل 2.6(a) والتي أعيد رسمها في الشكل 2.7. ليكن التيار المار في المكثف 2-F يرمز له بـ $ i_1(t) $ ، وليكن التيار المار عبر الوصلة المتسلسلة للمقاومة 3-Ic والملف 4-H يرمز له بـ $ i_2(t) $ . عندها لدينا

$$ i _ {1} (t) = 2 \dot {y} (t) \tag {2.30} $$

$$ y (t) = 3 i _ {2} (t) + 4 \dot {i} _ {2} (t) \tag {2.31} $$

التيار المار في الملف 5-H هو $ i_1(t) + i_2(t) $ . وبالتالي يكون الجهد عبر الملف $ 5i_1(t) + 5i_2(t) $ . وبالاعتماد على قانون Kirchhoff للجهد حول الحلقة الخارجية

الشكل 2.7 دائرة RLC.

في الشكل 2.7 نحصل على

$$ 5 \dot {i} _ {1} (t) + 5 \dot {i} _ {2} (t) + y (t) - u (t) = 0 \tag {2.32} $$

لتطوير معادلة تفاضلية تربط $ u(t) $ و $ y(t) $ ، يجب التخلص من $ i_1(t) $ و $ i_2(t) $ في (2.30) إلى (2.32). أولًا نعوض (2.30) في (2.32) لنحصل على

$$ 1 0 \ddot {y} (t) + 5 \dot {i} _ {2} (t) + y (t) = u (t) \tag {2.33} $$

حيث إن $ \ddot{y}(t) := d^2 y(t) / dt^2 $ ، ثم نشتقها لنحصل على

$$ 1 0 y ^ {(3)} (t) + 5 \ddot {i} _ {2} (t) + \dot {y} (t) = \dot {u} (t) \tag {2.34} $$

حيث إن $ y^{(3)}(t) \coloneqq d^3 y(t) / dt^3 $ . مجموع (2.33) مضروبة في 3 و(2.34) مضروبة في 4 يعطي

$$ 4 0 y ^ {(3)} (t) + 5 \left(4 i _ {2} (t) + 3 i _ {2} (t)\right) + 3 0 y (t) + 4 y (t) + 3 y (t) = 4 u (t) + 3 u (t) $$

والتي تصبح، بعد التعويض بمشتقة (2.31)،

$$ 4 0 y ^ {(3)} (t) + 3 0 \ddot {y} (t) + 9 \dot {y} (t) + 3 y (t) = 4 \dot {u} (t) + 3 u (t) \tag {2.35} $$

وهذه معادلة تفاضلية خطية من الرتبة الثالثة بمعاملات ثابتة. وهي تصف الدائرة في الشكل 2.7 أو 2.6(a). لاحظ أن (2.35) يمكن أيضًا تطويرها باستخدام طريقة مختلفة كما سنناقش لاحقًا.

نقارن الآن بين المعادلات التفاضلية عالية الرتبة ومعادلات فضاء الحالة:

بالنسبة لنظام بسيط له متغيرا حالة أو أقل، لا يوجد فرق كبير بين تطوير معادلة تفاضلية أو معادلة فضاء حالة لوصفه. ولكن بالنسبة لنظام له ثلاثة متغيرات حالة أو أكثر، يكون من الأسهل عادةً تطوير معادلة فضاء حالة من معادلة تفاضلية عالية الرتبة، لأن الأخيرة تتطلب التخلص من متغيرات وسيطة كما في المثال السابق. علاوة على ذلك، صيغة معادلات فضاء الحالة أكثر إحكامًا من صيغة المعادلات التفاضلية.
المعادلة التفاضلية عالية الرتبة هي وصف خارجي (external description). معادلة فضاء الحالة هي وصف داخلي (internal description). فهي لا تصف العلاقة بين الدخل والخرج فقط، بل تصف أيضًا المتغيرات الداخلية.
المعادلات التفاضلية عالية الرتبة غير مناسبة للحساب بالحاسوب بسبب صعوبات تقطيع مشتقات الرتبة الثانية والثالثة وما فوق. معادلات فضاء الحالة تتضمن فقط تقطيع المشتقة الأولى،

لذا فهي أكثر ملاءمة للحساب بالحاسوب، كما سنناقش في القسم 4.3.

يمكن تمديد معادلات فضاء الحالة بسهولة أكبر من المعادلات التفاضلية عالية الرتبة لوصف الأنظمة غير الخطية ومتغيرة الزمن.

وبناءً على الأسباب السابقة، لا يبدو أن هناك سببًا لتطوير ودراسة المعادلات التفاضلية عالية الرتبة في هذا النص.

دالة التحويل (Transfer function) 

يمكن الحصول على دالة تحويل الدائرة في الشكل 2.6(a)، باستخدام (2.12)، من معادلة فضاء الحالة في (2.26) و(2.27). ومع ذلك، من المفيد والأسهل تطوير دالة التحويل مباشرة باستخدام مفهوم الممانعات (impedances) كما نناقش الآن.

يرتبط الجهد $ \nu(t) $ والتيار $ i(t) $ لمقاومة ذات مقاومة $ R $ ، ومكثف بسعة $ C $ ، وملف بمحاثة $ L $ ، على الترتيب، بالعلاقات

$$ v (t) = R i (t), \quad i (t) = C \frac {d v (t)}{d t}, \quad v (t) = L \frac {d i (t)}{d t} $$

كما هو موضح في الشكل 2.6(b). بتطبيق تحويل Laplace وبافتراض شروط ابتدائية صفرية نحصل على

$$ \hat {v} (s) = R \hat {i} (s), \quad \hat {i} (s) = C s \hat {v} (s), \quad \hat {v} (s) = L s \hat {i} (s) \tag {2.36} $$

حيث إن $ \hat{\nu}(s) $ و $ \hat{i}(s) $ هما تحويلا Laplace للجهد $ \nu(t) $ والتيار $ i(t) $ . إذا اعتبرنا التيار دخلًا والجهد الناتج خرجًا، فإن دوال التحويل لـ $ R $ و $ C $ و $ L $ هي $ R $ ، و $ 1/Cs $ ، و $ Ls $ على الترتيب. وتسمى ممانعات تحويل (transform impedances) أو ببساطة ممانعات (impedances). وإذا اعتبرنا الجهد دخلًا والتيار خرجًا، فتُسمّى دوال التحويل موصليات (admittances).

باستخدام الممانعات، يمكن كتابة جهد وتيار كل عنصر في الدائرة على صورة $ \hat{\nu}(s) = Z(s)\hat{i}(s) $ حيث $ Z(s) = R $ للمقاومات، و $ Z(s) = 1 / Cs $ للمكثفات، و $ Z(s) = Ls $ للملفات. وهي علاقات تتضمن الضرب فقط. بعبارة أخرى، علاقة الدخل والخرج لعنصر دائرة هي جبرية في مجال التحويل (Laplace)، بينما هي تفاضل/تكامل في المجال الزمني. لذا فالأولى أبسط بكثير. وبناءً عليه فإن التعامل مع الممانعات يشبه التعامل مع المقاومات. فمثلًا، مقاومة التوصيل على التوالي لـ $ R_{1} $ و $ R_{2} $ هي $ R_{1} + R_{2} $ . ومقاومة التوصيل على التوازي لـ $ R_{1} $ و $ R_{2} $ هي $ R_{1}R_{2} / (R_{1} + R_{2}) $ . وبالمثل، ممانعة التوصيل على التوالي لـ $ Z_{1}(s) $ و $ Z_{2}(s) $ هي $ Z_{1}(s) + Z_{2}(s) $ . وممانعة التوصيل على التوازي لـ $ Z_{1}(s) $ و $ Z_{2}(s) $ هي

$$ \frac {Z _ {1} (s) Z _ {2} (s)}{Z _ {1} (s) + Z _ {2} (s)} $$

وباستخدام هاتين القاعدتين البسيطتين يمكننا بسهولة الحصول على دالة التحويل للدائرة في الشكل 2.6(a). قبل المتابعة، نرسم الدائرة في الشكل 2.8(a) في مجال تحويل Laplace أو، بشكل مكافئ، باستخدام الممانعات. ممانعة التوصيل على التوالي للمقاومة ذات الممانعة 3 والملف ذو الممانعة $ 4s $ هي $ 3 + 4s $ . الممانعة $ Z_{AB}(s) $ بين العقدتين $ A $ و $ B $ في الشكل 2.8(a) هي التوصيل

الشكل 2.8 (a) دائرة RLC في مجال التحويل. (b) دائرة مكافئة.

على التوازي لـ $ (4s + 3) $ والمكثف ذي الممانعة $ 1 / 2s $ أو

$$ Z _ {A B} (s) = \frac {(4 s + 3) (1 / 2 s)}{4 s + 3 + 1 / 2 s} = \frac {4 s + 3}{8 s ^ {2} + 6 s + 1} $$

وباستخدام $ Z_{AB}(s) $ ، يمكن تبسيط الدائرة في الشكل 2.8(a) كما في الشكل 2.8(b). التيار $ \hat{i}(s) $ حول الحلقة يُعطى بـ

$$ \hat {i} (s) = \frac {\hat {u} (s)}{5 s + Z _ {A B} (s)} $$

إذًا يكون الجهد $ \hat{y}(s) $ عبر $ Z_{AB}(s) $ هو

$$ \hat {y} (s) = Z _ {A B} (s) \hat {i} (s) = \frac {Z _ {A B} (s)}{5 s + Z _ {A B} (s)} \hat {u} (s) $$

ودالة التحويل من $ u(t) $ إلى $ y(t) $ هي

$$ \hat {g} (s) = \frac {\hat {y} (s)}{\hat {u} (s)} = \frac {Z _ {A B} (s)}{5 s + Z _ {A B} (s)} $$

أو

$$ \begin{array}{l} \hat {g} (s) = \frac {\frac {4 s + 3}{8 s ^ {2} + 6 s + 1}}{5 s + \frac {4 s + 3}{8 s ^ {2} + 6 s + 1}} = \frac {4 s + 3}{5 s \left(8 s ^ {2} + 6 s + 1\right) + 4 s + 3} \\ = \frac {4 s + 3}{4 0 s ^ {3} + 3 0 s ^ {2} + 9 s + 3} \tag {2.37} \\ \end{array} $$

تصف دالة التحويل هذه الدائرة في الشكل 2.6(a). وهي نسبة بين كثيري حدود وتسمى دالة تحويل كسرية (rational transfer function).

نذكر أنه بمجرد حصولنا على دالة تحويل لنظام ما، يمكننا بسهولة الحصول على معادلته التفاضلية. تذكر أنه إذا كانت $ \hat{y}(s) = \mathcal{L}[y(t)] $ ، فإن $ \mathcal{L}[\hat{y}(t)] = s\hat{y}(s) - y(0) $ ، و $ \mathcal{L}[\ddot{y}(t)] = s^2\hat{y}(s) - sy(0) - \dot{y}(0) $ ، وهكذا. إذا كانت جميع الشروط الابتدائية صفرًا، نحصل على $ \mathcal{L}[\hat{y}(t)] = s\hat{y}(s) $ ، و $ \mathcal{L}[\ddot{y}(t)] = s^2\hat{y}(s) $ ، وهكذا. نرى أن اشتقاقًا واحدًا في المجال الزمني يكافئ الضرب في $ s $ واحد في مجال التحويل،

وأن المشتقة من الرتبة $ k $ في المجال الزمني تكافئ الضرب في $ s^k $ في مجال التحويل، أي

$$ s ^ {k} \longleftrightarrow \frac {d ^ {k}}{d t ^ {k}} \tag {2.38} $$

لـ $ k = 1,2,\ldots $ . باستخدام ذلك يمكننا تحويل دالة التحويل إلى معادلة تفاضلية والعكس.

اعتبر دالة التحويل في (2.37). نكتبها على الصورة

$$ (4 0 s ^ {3} + 3 0 s ^ {2} + 9 s + 3) \hat {y} (s) = (4 s + 3) \hat {u} (s) $$

أو

$$ 4 0 s ^ {3} \hat {y} (s) + 3 0 s ^ {2} \hat {y} (s) + 9 s \hat {y} (s) + 3 \hat {y} (s) = 4 s \hat {u} (s) + 3 \hat {u} (s) $$

والتي تصبح في المجال الزمني

$$ 4 0 y ^ {(3)} (t) + 3 0 \ddot {y} (t) + 9 \dot {y} (t) + 3 y (t) = 4 \dot {u} (t) + 3 u (t) $$

وهذه هي المعادلة التفاضلية في (2.35). وهكذا بمجرد الحصول على دالة تحويل يمكننا بسهولة الحصول على معادلتها التفاضلية. وبالعكس، يمكننا أيضًا الحصول على دالة تحويل من معادلة تفاضلية.

تحتوي MATLAB على الدالتين ss2tf و tf2ss. الأولى تحول معادلة فضاء الحالة (ss) إلى دالة تحويل (tf)، والثانية تقوم بالعكس. على سبيل المثال، لمعادلة فضاء الحالة في (2.26) و(2.27)، فإن إدخال الأمر التالي في MATLAB

$$ \begin{array}{l} a = \left[ 0 0 - 0. 2; 0 - 0. 7 5 0. 2 5; 0. 5 - 0. 5 0 \right]; \\ b = [ 0. 2; 0; 0 ]; c = [ 0 0 1 ]; d = 0; \\ [ n, d e ] = s s 2 t f (a, b, c, d) \\ \end{array} $$

يعطي

$$ \begin{array}{l} n = 0 - 0. 0 0 0 0 0. 1 0 0 0 0. 0 7 5 0 \\ d e = 1. 0 0 0 0 \quad 0. 7 5 0 0 \quad 0. 2 2 5 0 \quad 0. 0 7 5 0 \\ \end{array} $$

أو

$$ \hat {g} (s) = \frac {0 . 1 s + 0 . 0 7 5}{s ^ {3} + 0 . 7 5 s ^ {2} + 0 . 2 2 5 s + 0 . 0 7 5} $$

وهو نفسه دالة التحويل في (2.37).

لتحويل دالة التحويل في (2.37) إلى معادلة فضاء حالة، نكتب في MATLAB

$$ n = \left[ \begin{array}{l l} 4 & 3 \end{array} \right]; d e = \left[ \begin{array}{l l l l} 4 0 & 3 0 & 9 & 3 \end{array} \right]; [ a, b, c, d ] = t f 2 s s (n, d e) $$

فيعطي

$$ \begin{array}{r l} & - 0. 7 5 0 0 \quad - 0. 2 2 5 0 \quad - 0. 0 7 5 0 \\ a = & 1. 0 0 0 0 \quad 0 \quad 0 \\ & 0 \quad 1. 0 0 0 0 \quad 0 \\ & 1 \\ b = & 0 \\ & 0 \\ c = & 0 \quad 0. 1 0 0 0 0 \quad 0. 0 7 5 0 \\ d = & 0 \end{array} $$

أو

$$ \begin{array}{l} \dot {\mathbf {x}} (t) = \left[ \begin{array}{c c c} - 0. 7 5 & - 0. 2 2 5 & - 0. 0 7 5 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{array} \right] \mathbf {x} (t) + \left[ \begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right] u (t) \\ y (t) = \left[ \begin{array}{l l l} 0 & 0. 1 & 0. 0 7 5 \end{array} \right] \mathbf {x} (t) + 0 \times u (t) \tag {2.39} \\ \end{array} $$

هذه المعادلة لفضاء الحالة تختلف عن تلك في (2.26) و(2.27). وذلك لأن العديد من معادلات فضاء الحالة المختلفة يمكن أن تمتلك دوال تحويل متطابقة، كما سنناقش في الفصل 4.

الالتفاف (Convolution) 

نطور الآن التفافًا لوصف الدائرة في الشكل 2.6(a). للقيام بذلك يجب أولًا إيجاد استجابة النبضة. على الرغم من أنه من الممكن نظريًا الحصول على استجابة نبضة بالقياس، إلا أنه غير ممكن عمليًا. لذلك نحسبها تحليليًا. وهي تحويل Laplace العكسي لدالة التحويل في (2.37). باستخدام دالة MATLAB المسماة residue يمكننا توسيع $ \hat{g}(s) $ في (2.37) كما يلي

$$ \hat {g} (s) = \frac {0 . 0 4}{s + 0 . 5 8} + \frac {- 0 . 0 2 - 0 . 1 8 j}{s + 0 . 0 8 - 0 . 3 5 j} + \frac {- 0 . 0 2 + 0 . 1 8 j}{s + 0 . 0 8 + 0 . 3 5 j} $$

إذًا تكون استجابة النبضة للدائرة، باستخدام $ \mathcal{L}^{-1}[1/(s + a)] = e^{-at} $ لأي $ a $ حقيقي أو مركب،

$$ g (t) = 0. 0 4 e ^ {- 0. 5 8 t} + (- 0. 0 2 - 0 1 8 j) e ^ {(- 0. 0 8 + 0. 3 5 j) t} + (- 0. 0 2 - 0. 1 8 j) e ^ {(- 0. 0 8 - 0. 3 5 j) t} $$

لـ $ t \geq 0 $ . وبالتالي فإن وصف الالتفاف للدائرة هو

$$ \begin{array}{l} y (t) = \int_ {\tau = 0} ^ {t} \left[ 0. 0 4 e ^ {- 0. 5 8 (t - \tau)} + (- 0. 0 2 - 0 1 8 j) e ^ {(- 0. 0 8 + 0. 3 5 j) (t - \tau)} \right. \\ \left. + (- 0. 0 2 - 0. 1 8 j) e ^ {(- 0. 0 8 - 0. 3 5 j) (t - \tau)} \right] u (\tau) d \tau \\ \end{array} $$

وهو تعبير معقد جدًا. وحتى إذا بُسّط بدمج الدالتين المركبتين في دالة حقيقية واحدة، فإنه يبقى أعقد بكثير من الأوصاف الثلاثة الأخرى. علاوة على ذلك فإن حسابه بالحاسوب

الشكل 2.9 دائرة مع دايود نفق (tunnel diode).

يتطلب عددًا كبيرًا جدًا من العمليات. انظر المرجع 10. لذلك ندرس في بقية هذا النص غالبًا دوال التحويل ومعادلات فضاء الحالة.

يوضح المثال التالي عملية الخطية التقريبية.

مثال 2.5.1 اعتبر الدائرة المبينة في الشكل 2.9(a)، حيث $ T $ هو دايود نفق (tunnel diode) ذو الخاصية المبينة في الشكل 2.9(b). ليكن $ x_{1} $ هو الجهد عبر المكثف و $ x_{2} $ هو التيار عبر الملف. عندها لدينا $ \nu = x_{1} $ و

$$ x _ {2} (t) = C \dot {x} _ {1} (t) + i (t) = C \dot {x} _ {1} (t) + h (x _ {1} (t)) $$

$$ L \dot {x} _ {2} (t) = E - R x _ {2} (t) - x _ {1} (t) $$

ويمكن ترتيبها على شكل

$$ \dot {x} _ {1} (t) = \frac {- h \left(x _ {1} (t)\right)}{C} + \frac {x _ {2} (t)}{C} $$

$$ \dot {x} _ {2} (t) = \frac {- x _ {1} (t) - R x _ {2} (t)}{L} + \frac {E}{L} \tag {2.40} $$

هذه المجموعة من المعادلات غير الخطية تصف الدائرة. الآن إذا كان $ x_{1}(t) $ معروفًا بأنه يقع فقط ضمن المجال $ (a, b) $ المبين في الشكل 2.9(b)، فإن $ h(x_{1}(t)) $ يمكن تقريبها بـ $ h(x_{1}(t)) = x_{1}(t) / R_{1} $ . في هذه الحالة يمكن اختزال الدائرة إلى تلك المبينة في الشكل 2.9(c) ويمكن وصفها بـ

$$ \left[ \begin{array}{l} \dot {x} _ {1} (t) \\ \dot {x} _ {2} (t) \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c c} - 1 / C R _ {1} & 1 / C \\ - 1 / L & - R / L \end{array} \right] \left[ \begin{array}{l} x _ {1} (t) \\ x _ {2} (t) \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{l} 0 \\ 1 / L \end{array} \right] E $$

وهذه معادلة حالة LTI. الآن إذا كان $ x_{1}(t) $ معروفًا بأنه يقع فقط ضمن المجال $ (c,d) $ المبين في الشكل 2.9(b)، فيمكننا تقديم المتغيرين $ \bar{x}_{1}(t) = x_{1}(t) - v_{o}, \bar{x}_{2}(t) = x_{2}(t) - i_{o} $ وتقريب $ h(x_{1}(t)) $ على أنها $ i_{o} - \bar{x}_{1}(t) / R_{2} $ . بالتعويض في (2.40) نحصل على

$$ \left[ \begin{array}{l} \dot {\bar {x}} _ {1} (t) \\ \dot {\bar {x}} _ {2} (t) \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c c} 1 / C R _ {2} & 1 / C \\ - 1 / L & - R / L \end{array} \right] \left[ \begin{array}{l} \bar {x} _ {1} (t) \\ \bar {x} _ {2} (t) \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{l} 0 \\ 1 / L \end{array} \right] \bar {E} $$

حيث $ \bar{E} = E - v_{o} - Ri_{o} $ . تُستحصل هذه المعادلة بإزاحة نقطة التشغيل من $ (0,0) $ إلى $ (v_{o},i_{o}) $ وبالخطية التقريبية عند $ (v_{o},i_{o}) $ . وبما أن المعادلتين الخطيّتين المتحصل عليهما متماثلتان إذا استُبدلت $ -R_{2} $ بـ $ R_{1} $ و $ \bar{E} $ بـ $ E $ ، فيمكننا بسهولة الحصول على الدائرة المكافئة المبينة في الشكل 2.9(d). لاحظ أنه ليس من الواضح كيف يمكن الحصول على الدائرة المكافئة من الدائرة الأصلية دون تطوير معادلة الحالة أولًا.