2.6 الأنظمة الميكانيكية والهيدروليكية (Mechanical and Hydraulic Systems)
في هذا القسم نعطي أمثلة إضافية لتطوير دوال التحويل ومعادلات فضاء الحالة لأنظمة فيزيائية.
مثال 2.6.1 اعتبر النظام الميكانيكي المبين في الشكل 2.10. يتكون من كتلة ذات كتلة $ m $ متصلة بالجدار عبر نابض. نعتبر القوة المطبقة $ u $ هي الدخل، والإزاحة $ y $ عن موضع الاتزان هي الخرج. يتكون الاحتكاك بين الأرض والكتلة عادة من ثلاثة أجزاء مميزة: الاحتكاك الساكن (static friction)، واحتكاك Coulomb، والاحتكاك اللزج (viscous friction)، كما في الشكل 2.11. لاحظ أن الإحداثي الأفقي هو السرعة $ \dot{y} = dy/dt $ . ومن الواضح أن الاحتكاك ليس دالة خطية في السرعة. لتبسيط التحليل، نهمل الاحتكاك الساكن واحتكاك Coulomb ونعتبر فقط الاحتكاك اللزج. عندها يصبح الاحتكاك خطيًا ويمكن التعبير عنه بـ $ k_{1}\dot{y}(t) $ ، حيث $ k_{1} $ هو معامل الاحتكاك اللزج. وتظهر خاصية النابض في الشكل 2.12؛ وهي غير خطية. لكن إذا كانت الإزاحة محصورة في $ (y_{1}, y_{2}) $ كما هو موضح، فيمكن اعتبار النابض خطيًا وتكون قوة النابض مساوية لـ $ k_{2}y $ ، حيث $ k_{2} $ ثابت النابض. وبالتالي يمكن نمذجة النظام الميكانيكي كنظام LTI تحت الخطية التقريبية والتبسيط.
نطبق قانون Newton لتطوير معادلة تصف النظام. يجب أن تتغلب القوة المطبقة $ u $ على الاحتكاك وقوة النابض. والباقي يُستخدم لتسريع الكتلة. لذا نحصل على
$$ m \ddot {y} (t) = u (t) - k _ {1} \dot {y} (t) - k _ {2} y (t) \tag {2.41} $$
الشكل 2.10 نظام ميكانيكي.
(a)
(b)
الشكل 2.11 (a) الاحتكاك الساكن واحتكاك Coulomb. (b) الاحتكاك اللزج.
الشكل 2.12 خاصية النابض.
حيث إن $ \ddot{y} = d^{2}y(t) / dt^{2} $ و $ \dot{y} = dy(t) / dt $ . بتطبيق تحويل Laplace وبافتراض شروط ابتدائية صفرية نحصل على
$$ m s ^ {2} \hat {y} (s) = \hat {u} (s) - k _ {1} s \hat {y} (s) - k _ {2} \hat {y} (s) $$
ما يستلزم
$$ \hat {y} (s) = \frac {1}{m s ^ {2} + k _ {1} s + k _ {2}} \hat {u} (s) $$
وبالتالي فإن دالة التحويل للنظام هي $ 1 / (ms^2 + k_1s + k_2) $ .
بعد ذلك نطوّر معادلة فضاء الحالة لوصف النظام. لنختر الإزاحة وسرعة الكتلة كمتغيرات حالة؛ أي $ x_{1}(t) = y(t) $ ، و $ x_{2}(t) = \dot{y}(t) $ . عندها نحصل، باستخدام (2.41)، على
$$ \dot {x} _ {1} (t) = x _ {2} (t), \quad m \dot {x} _ {2} (t) = u (t) - k _ {1} x _ {2} (t) - k _ {2} x _ {1} (t) $$
ويمكن التعبير عنهما بصيغة مصفوفية كما يلي
$$ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} \dot {x} _ {1} (t) \\ \dot {x} _ {2} (t) \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c c} 0 & 1 \\ - k _ {2} / m & - k _ {1} / m \end{array} \right] \left[ \begin{array}{l} x _ {1} (t) \\ x _ {2} (t) \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{l} 0 \\ 1 / m \end{array} \right] u (t) \\ y (t) = [ 1 \quad 0 ] \left[ \begin{array}{l} x _ {1} (t) \\ x _ {2} (t) \end{array} \right] \\ \end{array} $$
وهو ما يصف النظام.
مثال 2.6.2 اعتبر النظام المبين في الشكل 2.13. يتكون من كتلتين بكتلتين $ m_1 $ و $ m_2 $ ، متصلتين بثلاثة نوابض بثوابت نابض $ k_i $ ، حيث $ i = 1, 2, 3 $ . لتبسيط المناقشة نفترض عدم وجود احتكاك بين الكتل والأرض. يجب أن تتغلب القوة المطبقة $ u_1 $ على قوى النوابض، والباقي يُستخدم لتسريع الكتلة؛ لذا نحصل على
$$ u _ {1} (t) - k _ {1} y _ {1} (t) - k _ {2} \left(y _ {1} (t) - y _ {2} (t)\right) = m _ {1} \ddot {y} _ {1} (t) $$
أو
$$ m _ {1} \ddot {y} _ {1} (t) + \left(k _ {1} + k _ {2}\right) y _ {1} (t) - k _ {2} y _ {2} (t) = u _ {1} (t) \tag {2.42} $$
بالنسبة للكتلة الثانية نحصل على
$$ m _ {2} \ddot {y} _ {2} (t) - k _ {2} y _ {1} (t) + \left(k _ {1} + k _ {2}\right) y _ {2} (t) = u _ {2} (t) \tag {2.43} $$
ويمكن دمجهما على الشكل
$$ \left[ \begin{array}{l l} m _ {1} & 0 \\ 0 & m _ {2} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{l} \ddot {y} _ {1} (t) \\ \ddot {y} _ {2} (t) \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{c c} k _ {1} + k _ {2} & - k _ {2} \\ - k _ {2} & k _ {1} + k _ {2} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{l} y _ {1} (t) \\ y _ {2} (t) \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l} u _ {1} (t) \\ u _ {2} (t) \end{array} \right] $$
وهذه معادلة قياسية في دراسة الاهتزازات وتسمى الصيغة العادية (normal form). انظر المرجع 21. لنعرّف
$$ x _ {1} (t) := y _ {1} (t), \quad x _ {2} (t) := \dot {y} _ {1} (t), \quad x _ {3} (t) := y _ {2} (t), \quad x _ {4} (t) := \dot {y} _ {2} (t) $$
الشكل 2.13 نظام كتلة-نابض (spring-mass).
عندها نحصل بسهولة على
$$ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} \dot {x} _ {1} (t) \\ \dot {x} _ {2} (t) \\ \dot {x} _ {3} (t) \\ \dot {x} _ {4} (t) \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c c c c} 0 & 1 & 0 & 0 \\ \frac {- (k _ {1} + k _ {2})}{m _ {1}} & 0 & \frac {k _ {2}}{m _ {1}} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \frac {k _ {2}}{m _ {2}} & 0 & \frac {- (k _ {1} + k _ {2})}{m _ {1}} & 0 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{l} x _ {1} (t) \\ x _ {2} (t) \\ x _ {3} (t) \\ x _ {4} (t) \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{c c} 0 & 0 \\ \frac {1}{m _ {1}} & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & \frac {1}{m _ {2}} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{l} u _ {1} (t) \\ u _ {2} (t) \end{array} \right] \\ \mathbf {y} (t) := \left[ \begin{array}{l} y _ {1} (t) \\ y _ {2} (t) \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l l l l} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array} \right] \mathbf {x} (t) \\ \end{array} $$
هذه معادلة فضاء حالة ثنائية الدخل ثنائية الخرج تصف النظام في الشكل 2.13.
لتطوير وصف الدخل-الخرج، نطبق تحويل Laplace على (2.42) و(2.43) ونفترض شروط ابتدائية صفرية لنحصل على
$$ \begin{array}{l} m _ {1} s ^ {2} \hat {y} _ {1} (s) + (k _ {1} + k _ {2}) \hat {y} _ {1} (s) - k _ {2} \hat {y} _ {2} (s) = \hat {u} _ {1} (s) \\ m _ {2} s ^ {2} \hat {y} _ {2} (s) - k _ {2} \hat {y} _ {1} (s) + (k _ {1} + k _ {2}) \hat {y} _ {2} (s) = \hat {u} _ {2} (s) \\ \end{array} $$
ومن هاتين المعادلتين يمكننا الحصول على
$$ \left[ \begin{array}{l} \hat {y} _ {1} (s) \\ \hat {y} _ {2} (s) \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c c} \frac {m _ {2} s ^ {2} + k _ {1} + k _ {2}}{d (s)} & \frac {k _ {2}}{d (s)} \\ \frac {k _ {2}}{d (s)} & \frac {m _ {1} s ^ {2} + k _ {1} + k _ {2}}{d (s)} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{l} \hat {u} _ {1} (s) \\ \hat {u} _ {2} (s) \end{array} \right] $$
حيث
$$ d (s) := \left(m _ {1} s ^ {2} + k _ {1} + k _ {2}\right) \left(m _ {2} s ^ {2} + k _ {1} + k _ {2}\right) - k _ {2} ^ {2} $$
وهذا هو وصف مصفوفة التحويل (transfer-matrix) للنظام. وبالتالي فإن ما سنناقشه في هذا النص يمكن تطبيقه مباشرة لدراسة الاهتزازات.
مثال 2.6.3 اعتبر عربة مع بندول مقلوب مفصّل على قمتها كما في الشكل 2.14. للتبسيط، نفترض أن العربة والبندول يتحركان في اتجاه واحد فقط، وأن الاحتكاك وكتلة القضيب وهبة الرياح مهملة. المشكلة هي الحفاظ على البندول في الوضع العمودي. على سبيل المثال، إذا كان البندول المقلوب يسقط في الاتجاه المبين، تتحرك العربة
الشكل 2.14 عربة مع بندول مقلوب.
إلى اليمين وتؤثر بقوة عبر المفصل لدفع البندول عائدًا إلى الوضع العمودي. يمكن استخدام هذه الآلية البسيطة كنموذج لمركبة فضائية عند الإقلاع.
ليكن $ H $ و $ V $ هما، على الترتيب، القوتان الأفقية والرأسية اللتان تؤثر بهما العربة على البندول كما هو موضح. تطبيق قانون Newton على الحركة الخطية يعطي
$$ \begin{array}{l} M \frac {d ^ {2} y}{d t ^ {2}} = u - H \\ H = m \frac {d ^ {2}}{d t ^ {2}} (y + l \sin \theta) = m \ddot {y} + m l \ddot {\theta} \cos \theta - m l (\dot {\theta}) ^ {2} \sin \theta \\ m g - V = m \frac {d ^ {2}}{d t ^ {2}} (l \cos \theta) = m l \left[ - \ddot {\theta} \sin \theta - (\dot {\theta}) ^ {2} \cos \theta \right] \\ \end{array} $$
وتطبيق قانون Newton على الحركة الدورانية للبندول حول المفصل يعطي
$$ m g l \sin \theta = m l \ddot {\theta} \cdot l + m \ddot {y} l \cos \theta $$
وهذه معادلات غير خطية. لأن هدف التصميم هو الحفاظ على البندول في الوضع العمودي، فمن المعقول افتراض أن $ \theta $ و $ \dot{\theta} $ صغيرتان. تحت هذا الافتراض يمكن استخدام التقريب $ \sin \theta = \theta $ و $ \cos \theta = 1 $ . بالاحتفاظ فقط بالحدود الخطية في $ \theta $ و $ \dot{\theta} $ أو، بشكل مكافئ، بإهمال الحدود التي تحتوي على $ \theta^2 $ و $ (\dot{\theta})^2 $ و $ \theta \ddot{\theta} $ و $ \theta \ddot{\theta} $ ، نحصل على $ V = mg $ و
$$ \begin{array}{l} M \ddot {y} = u - m \ddot {y} - m l \ddot {\theta} \\ g \theta = l \ddot {\theta} + \ddot {y} \\ \end{array} $$
ما يستلزم
$$ \begin{array}{l} M \ddot {y} = u - m g \theta (2.44) \\ M l \ddot {\theta} = (M + m) g \theta - u (2.45) \\ \end{array} $$
باستخدام هذه المعادلات الخطية التقريبية يمكننا الآن تطوير وصف الدخل-الخرج ووصف فضاء الحالة. بتطبيق تحويل Laplace على (2.44) و(2.45) وبافتراض شروط ابتدائية صفرية نحصل على
$$ \begin{array}{l} M s ^ {2} \hat {y} (s) = \hat {u} (s) - m g \hat {\theta} (s) \\ M l s ^ {2} \hat {\theta} (s) = (M + m) g \hat {\theta} (s) - \hat {u} (s) \\ \end{array} $$
ومن هذه المعادلات يمكننا بسهولة حساب دالة التحويل $ \hat{g}_{yu}(s) $ من $ u $ إلى $ y $ ودالة التحويل $ \hat{g}_{\theta u}(s) $ من $ u $ إلى $ \theta $ كما يلي
$$ \hat {g} _ {y u} (s) = \frac {s ^ {2} - g}{s ^ {2} [ M s ^ {2} - (M + m) g ]} $$
$$ \hat {g} _ {\theta u} (s) = \frac {- 1}{M s ^ {2} - (M + m) g} $$
لتطوير معادلة فضاء الحالة، نختار متغيرات الحالة على أنها $ x_{1}(t) = y(t) $ ، و $ x_{2}(t) = \dot{y}(t) $ ، و $ x_{3}(t) = \theta(t) $ ، و $ x_{4}(t) = \dot{\theta}(t) $ . عندها يمكننا، من هذا الاختيار ومن (2.44) و(2.45)، الحصول على
$$ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} \dot {x} _ {1} (t) \\ \dot {x} _ {2} (t) \\ \dot {x} _ {3} (t) \\ \dot {x} _ {4} (t) \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l l l l} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - m g / M & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & (M + m) g / M l & 0 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{l} x _ {1} (t) \\ x _ {2} (t) \\ x _ {3} (t) \\ x _ {4} (t) \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{l} 0 \\ 1 / M \\ 0 \\ - 1 / M l \end{array} \right] u (t) \\ y (t) = \left[ \begin{array}{l l l l} 1 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right] \mathbf {x} (t) \tag {2.46} \\ \end{array} $$
هذه معادلة فضاء حالة ذات بعد 4 تصف النظام عندما تكون $ \theta $ و $ \dot{\theta} $ صغيرتين جدًا.
مثال 2.6.4 يظهر قمر صناعي للاتصالات كتلته $ m $ يدور حول الأرض في الشكل 2.15. يحدد الارتفاع بواسطة $ r(t) $ و $ \theta(t) $ و $ \phi(t) $ كما هو موضح. يمكن التحكم في المدار بواسطة ثلاثة دفوع متعامدة؛ $ u_r(t) $ و $ u_\theta(t) $ و $ u_\phi(t) $ . يتم اختيار الحالة والدخل والخرج للنظام على النحو التالي
الشكل 2.15 قمر صناعي في مدار.
$$ \mathbf {x} (t) = \left[ \begin{array}{l} r (t) \\ \dot {r} (t) \\ \theta (t) \\ \dot {\theta} (t) \\ \phi (t) \\ \dot {\phi} (t) \end{array} \right], \quad \mathbf {u} (t) = \left[ \begin{array}{l} u _ {r} (t) \\ u _ {\theta} (t) \\ u _ {\phi} (t) \end{array} \right], \quad \mathbf {y} (t) = \left[ \begin{array}{l} r (t) \\ \theta (t) \\ \phi (t) \end{array} \right] $$
عندها يمكن إظهار أن النظام يوصف بـ
$$ \dot {\mathbf {x}} = \mathbf {h} (\mathbf {x}, \mathbf {u}) = \left[ \begin{array}{l} \dot {r} \\ r \dot {\theta} ^ {2} \cos^ {2} \phi + r \dot {\phi} ^ {2} - k / r ^ {2} + u _ {r} / m \\ \dot {\theta} \\ - 2 \dot {r} \dot {\theta} / r + 2 \dot {\theta} \dot {\phi} \sin \phi / \cos \phi + u _ {\theta} / m r \cos \phi \\ \dot {\phi} \\ - \dot {\theta} ^ {2} \cos \phi \sin \phi - 2 \dot {r} \dot {\phi} / r + u _ {\phi} / m r \end{array} \right] \tag {2.47} $$
أحد الحلول الموافق لمدار استوائي دائري يُعطى بـ
$$ \mathbf {x} _ {o} (t) = \left[ r _ {o} 0 \omega_ {o} t \omega_ {o} 0 0 \right], \quad b u _ {o} \equiv \mathbf {0} $$
مع $ r_o^3\omega_o^2 = k $ ، وهو ثابت فيزيائي معروف. بمجرد أن يصل القمر الصناعي إلى المدار، سيبقى فيه ما دامت لا توجد اضطرابات. إذا انحرف القمر الصناعي عن المدار، يجب تطبيق دفوع لإعادته إلى المدار. عرّف
$$ \mathbf {x} (t) = \mathbf {x} _ {o} (t) + \bar {\mathbf {x}} (t) \quad b u (t) = \mathbf {u} _ {o} (t) + \bar {\mathbf {u}} (t) \quad b y (t) = \mathbf {y} _ {o} + \bar {\mathbf {y}} (t) $$
إذا كانت الاضطرابات صغيرة جدًا، يمكن خطّيّة (2.47) لتصبح
$$ \dot {\bar {\mathbf {x}}} (t) = \left[ \begin{array}{c c c c c c c} 0 & 1 & 0 & 0 & \vdots & 0 & 0 \\ 3 \omega_ {o} ^ {2} & 0 & 0 & 2 \omega_ {o} r _ {o} & \vdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \vdots & 0 & 0 \\ 0 & \frac {- 2 \omega_ {o}}{r _ {o}} & 0 & 0 & \vdots & 0 & 0 \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \vdots & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \vdots & - \omega_ {o} ^ {2} & 0 \end{array} \right] \bar {\mathbf {x}} (t) $$
$$ + \left[ \begin{array}{c c c c} 0 & 0 & \vdots & 0 \\ \frac {1}{m} & 0 & \vdots & 0 \\ 0 & 0 & \vdots & 0 \\ 0 & \frac {1}{m r _ {o}} & \vdots & 0 \\ \dots & \dots & \dots \\ 0 & 0 & \vdots & 0 \\ 0 & 0 & \vdots & \frac {1}{m r _ {o}} \end{array} \right] \bar {\mathbf {u}} (t) $$
$$ \bar {\mathbf {y}} (t) = \left[ \begin{array}{c c c c c c c} 1 & 0 & 0 & 0 & \vdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \vdots & 0 & 0 \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \vdots & 1 & 0 \end{array} \right] \bar {\mathbf {x}} (t) \tag {2.48} $$
هذه معادلة فضاء حالة ذات بعد 6 تصف النظام. في هذه المعادلة تكون $ \mathbf{A} $ و $ \mathbf{B} $ و $ \mathbf{C} $ ثوابت. إذا كان المدار بيضويًا فستكون متغيرة الزمن. نلاحظ أن المصفوفات الثلاث كلها كتلية قطرية (block diagonal). لذلك يمكن تفكيك المعادلة إلى جزأين غير مقترنين: أحدهما يتعلق بـ $ r $ و $ \theta $ ، والآخر يتعلق بـ $ \phi $ . دراسة هذين الجزأين على حدة يمكن أن تُبسّط التحليل والتصميم.
مثال 2.6.5 في المصانع الكيميائية يكون من الضروري غالبًا الحفاظ على مستويات السوائل. يظهر نموذج مبسط لوصلة خزانين في الشكل 2.16. يُفترض أنه في التشغيل العادي تكون تدفقات الدخول والخروج في كلا الخزانين مساوية لـ $ Q $ وأن مستويات السائل تساوي $ H_{1} $ و $ H_{2} $ . ليكن $ u $ اضطراب التدفق الداخل للخزان الأول، والذي يسبب تغيرات في مستوى السائل $ x_{1} $ وتغيرًا في التدفق الخارج $ y_{1} $ كما هو موضح. هذه التغيرات تسبب تغيرًا في المستوى $ x_{2} $ وتغيرًا في التدفق الخارج $ y $ في الخزان الثاني. يُفترض أن
$$ y _ {1} = \frac {x _ {1} - x _ {2}}{R _ {1}} \quad \text{and} \quad y = \frac {x _ {2}}{R _ {2}} $$
الشكل 2.16 خزانات هيدروليكية (Hydraulic tanks).
حيث $ R_{i} $ هي مقاومات التدفق وتعتمد على الارتفاعات الاسمية $ H_{1} $ و $ H_{2} $ . ويمكن التحكم فيها أيضًا بواسطة الصمامات. تحكم تغيرات مستويات السائل بالمعادلات
$$ A _ {1} d x _ {1} = (u - y _ {1}) d t \quad \text{and} \quad A _ {2} d x _ {2} = (y _ {1} - y) d t $$
حيث $ A_{i} $ هي مساحات مقاطع الخزانات. ومن هذه المعادلات يمكننا بسهولة الحصول على
$$ \dot {x} _ {1} = \frac {u}{A _ {1}} - \frac {x _ {1} - x _ {2}}{A _ {1} R _ {1}} $$
$$ \dot {x} _ {2} = \frac {x _ {1} - x _ {2}}{A _ {2} R _ {1}} - \frac {x _ {2}}{A _ {2} R _ {2}} $$
وبالتالي فإن وصف فضاء الحالة للنظام يُعطى بـ
$$ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} \dot {x} _ {1} (t) \\ \dot {x} _ {2} (t) \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c c} - 1 / A _ {1} R _ {1} & 1 / A _ {1} R _ {1} \\ 1 / A _ {2} R _ {1} & - (1 / A _ {2} R _ {1} + 1 / A _ {2} R _ {2}) \end{array} \right] \left[ \begin{array}{l} x _ {1} (t) \\ x _ {2} (t) \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{c} 1 / A _ {1} \\ 0 \end{array} \right] u (t) \\ y (t) = [ 0 \quad 1 / R _ {2} ] \mathbf {x} (t) \\ \end{array} $$
ويمكن حساب دالة التحويل الخاصة به على أنها
$$ \hat {g} (s) = \frac {1}{A _ {1} A _ {2} R _ {1} R _ {2} s ^ {2} + \left(A _ {1} R _ {1} + A _ {1} R _ {2} + A _ {2} R _ {2}\right) s + 1} $$