2.7 دوال التحويل الكسرية الصحيحة (Proper Rational Transfer Functions) 

    دوال التحويل التي ظهرت في المثالين 2.3.3 و2.3.4 هي دوال غير جبرية (irrational) في $ s $ . أما الباقي فهي دوال جبرية (rational) في $ s $ . في الواقع يمكننا أيضًا استخدام دوال التحويل لتعريف ما إذا كان النظام مجمّعًا أو موزعًا. يُعد النظام مجمّعًا إذا كانت دالة تحويله دالة جبرية في $ s $ ، ويُعد موزعًا إذا لم تكن كذلك. بعبارة أخرى، دالة تحويل النظام الموزع هي دالة غير جبرية في $ s $ أو لا يمكن التعبير عنها بصيغة مغلقة. ندرس في الغالب الأنظمة المجمّعة، لذا فإن دوال التحويل التي سنصادفها غالبًا ستكون دوال جبرية في $ s $ .

    يمكن التعبير عن كل دالة تحويل جبرية على أنها $ \hat{g}(s) = N(s) / D(s) $ حيث $ N(s) $ و $ D(s) $ كثيرات حدود في $ s $ . لنستخدم deg للدلالة على درجة كثير الحدود. عندها يمكن تصنيف $ \hat{g}(s) $ كما يلي:

    • $ \hat{g}(s) $ صحيحة (proper) $ \iff \deg D(s) \geq \deg N(s) \iff \hat{g}(\infty) = \text{zero or nonzero constant} $ .
    • $ \hat{g}(s) $ صحيحة تمامًا (strictly proper) $ \Longleftrightarrow \deg D(s) > \deg N(s) \Longleftrightarrow \hat{g}(\infty) = 0 $
    • $ \hat{g}(s) $ ثنائية الصحيحة (biproper) $ \Longleftrightarrow \deg D(s) = \deg N(s) \Longleftrightarrow \hat{g}(\infty) = \text{nonzero constant} $
    • $ \hat{g}(s) $ غير صحيحة (improper) $ \Longleftrightarrow \deg D(s) < \deg N(s) \Longleftrightarrow |\hat{g}(\infty)| = \infty $

    على سبيل المثال، الدوال الجبرية

    $$ \frac {s ^ {3} - 2 s - 5}{s ^ {2} + 1}, \quad s ^ {2} + 2 s + 1 = \frac {s ^ {2} + 2 s + 1}{1} $$

    غير صحيحة، والدوال الجبرية

    $$ \frac {s ^ {2} + 1}{s ^ {3} - 2 s - 5}, \quad \frac {s + 1}{s ^ {1 0}}, \quad \frac {s ^ {2} + 1}{2 s ^ {2} + s - 5}, \quad 1 0 = \frac {1 0}{1} $$

    صحيحة. الأوليان صحيحتان تمامًا والأخيران ثنائيتا الصحيحة. لذا فإن الصحيحة تشمل الصحيحة تمامًا والثنائية الصحيحة. لاحظ أنه إذا كانت $ \hat{g}(s) $ ثنائية الصحيحة، فإن $ 1 / \hat{g}(s) $ ثنائية الصحيحة أيضًا. دوال التحويل الجبرية غير الصحيحة ستضخم ضوضاء التردد العالي التي غالبًا ما توجد في العالم الحقيقي، وخاصة في الأنظمة الكهربائية؛ لذلك نادرًا ما تظهر دوال التحويل غير الصحيحة في الأنظمة الكهربائية. في هذا النص ندرس فقط دوال التحويل الجبرية الصحيحة.

    تُعرّف جذور كثير الحدود $ D(s) $ بأنها كل الحلول لمعادلة كثير الحدود $ D(s) = 0 $ . إذا كانت درجة $ D(s) $ هي $ m $ ، فإن $ D(s) $ له $ m $ جذور حقيقية أو مركبة. إذا كان لـ $ D(s) $ معاملات حقيقية فقط، فيجب أن تظهر الجذور المركبة المترافقة في أزواج. يمكن حساب جذور كثير الحدود في MATLAB باستخدام الدالة roots. يُمثَّل كثير الحدود في MATLAB على هيئة متجه صفّي تكون مداخله معاملات القوى التنازلية، مفصولة بفواصل أو مسافات، ومحاطة بقوسين. على سبيل المثال، لكثير الحدود

    $$ D (s) = s ^ {5} + 6 s ^ {4} + 2 9. 2 5 s ^ {3} + 9 3. 2 5 s ^ {2} + 1 3 4 s + 6 5 \tag {2.49} $$

    فإن إدخال الأمر التالي في نافذة أوامر MATLAB

    $$ d = [ 1 6 2 9. 2 5 9 3. 2 5 1 3 4 6 5 ]; \text{roots} (d) $$

    يعطي جذوره الخمسة على أنها

    $$ - 0. 5 + 4 \mathrm {i} - 0. 5 - 4 \mathrm {i} - 2 + 0 \mathrm {i} - 2 - 0 \mathrm {i} - 1 $$

    وله زوج من الجذور المركبة المترافقة عند $ -0.5 \pm 4i $ وثلاثة جذور حقيقية $ -2, -2, -1 $ . الجذور المركبة و $ -1 $ تُسمّى جذورًا بسيطة (simple roots)، و $ -2 $ يُسمّى جذرًا مكررًا أو جذرًا بتعددية 2. لاحظ أنه في MATLAB يدل كل من $ i $ و $ j $ على $ \sqrt{-1} $ .

    معامل أعلى قوة في كثير الحدود يسمى معامل القيادة (leading coefficient). يسمى كثير الحدود أحاديًا (monic) إذا كان معامل القيادة 1. على سبيل المثال، $ D(s) $ في (2.49) أحادي لكن

    $$ D _ {1} (s) = - 3 s ^ {3} - 1 2 s ^ {2} - 3 9 s + 1 5 0 $$

    ليس كذلك. كثير الحدود الأحادي له هو $ D_{2}(s) \coloneqq D_{1}(s) / (-3) = s^{3} + 4s^{2} + 13s - 50 $ . إدخال roots ([-3 -12 -39 150]) و roots ([1 4 13 -50]) سيعطي الجذور الثلاثة نفسها 2 و $ -3 \pm j4 $ . بالتعريف، جذور $ D_{1}(s) $ هي حلول المعادلة $ D_{1}(s) = 0 $ . لذا فإن $ kD_{1}(s) $ لأي عدد غير صفري $ k $ لها مجموعة الجذور نفسها. وبالتالي، عند تحليل $ D_{1}(s) $ يجب إدراج معامل قيادته كما يلي

    $$ D _ {1} (s) = - 3 s ^ {3} - 1 2 s ^ {2} - 3 9 s + 1 5 0 = - 3 (s - 2) (s + 3 - j 4) (s + 3 + j 4) $$

    يسمى العدد الحقيقي أو المركب $ \lambda $ قطبًا (pole) لدالة التحويل الصحيحة $ \hat{g}(s) = N(s) / D(s) $ إذا كان $ \hat{g}(\lambda) = \infty $ أو $ -\infty $ ؛ ويسمى صفراً (zero) إذا كان $ \hat{g}(\lambda) = 0 $ . يُعرّف كثيرتا الحدود $ N(s) $ و $ D(s) $ على أنهما متباينان أوليًا (coprime) إذا لم يكن لهما جذر مشترك. إذا لم يكونا متباينين أوليًا أو لهما جذر مشترك $ a $ ، فإن $ \hat{g}(a) = N(a) / D(a) = 0 / 0 $ ، وهو غير معرّف. إذا كان $ N(s) $ و $ D(s) $ متباينين أوليًا وكان $ D(a) = 0 $ ، فإن $ N(a) \neq 0 $ . في هذه الحالة $ \hat{g}(a) = N(a) / D(a) = N(a) / 0 $ وهو $ \infty $ أو $ -\infty $ و $ a $ قطب لـ $ \hat{g}(s) $ . وبالمثل إذا كان $ N(b) = 0 $ ، فإن $ D(b) \neq 0 $ و $ \hat{g}(b) = 0 / D(b) = 0 $ و $ b $ صفر. خلاصة القول: إذا كان $ N(s) $ و $ D(s) $ متباينين أوليًا، فإن كل جذر لـ $ N(s) $ هو صفر لـ $ \hat{g}(s) $ ، وكل جذر لـ $ D(s) $ هو قطب لـ $ \hat{g}(s) $ . وبمصطلحات الأقطاب والأصفار يمكن التعبير عن دالة التحويل كما يلي

    $$ \hat {g} (s) = k \frac {(s - z _ {1}) (s - z _ {2}) \cdots (s - z _ {m})}{(s - p _ {1}) (s - p _ {2}) \cdots (s - p _ {n})} $$

    وهذا يسمى صيغة الكسب-الأصفار-الأقطاب (zero-pole-gain form). في MATLAB يمكن الحصول على هذه الصيغة من دالة التحويل باستدعاء $ [z,p,k] = tf2zp $ (num, den). على سبيل المثال، اعتبر

    $$ \hat {g} (s) = \frac {4 s ^ {4} - 1 6 s ^ {3} + 8 s ^ {2} - 4 8 s + 1 8 0}{s ^ {5} + 6 s ^ {4} + 2 9 . 2 5 s ^ {3} + 9 3 . 2 5 s ^ {2} + 1 3 4 s + 6 5} $$

    كتابة الأمر في نافذة أوامر MATLAB

    $$ \begin{array}{l} n = \left[ \begin{array}{l l l l l} 4 & - 1 6 & 8 & - 4 8 & 1 8 0 \end{array} \right]; d = \left[ \begin{array}{l l l l l l} 1 & 6 & 2 9. 2 5 & 9 3. 2 5 & 1 3 4 & 6 5 \end{array} \right]; \\ [ z, p, k ] = t f 2 z p (n, d) \\ \end{array} $$

    يعطي $ z = \left[ \begin{array}{rrrr} -1 + 2i & -1 - 2i & 3 & 3 \end{array} \right] $ ؛ $ p = \left[ \begin{array}{rrrr} -0.5 + 4i & -0.5 - 4i & -2 + 0i & -2 - 0i \end{array} \right] $ ؛ $ k = 4 $ . أي إن دالة التحويل يمكن التعبير عنها على أنها

    $$ H (s) = \frac {4 (s + 1 - 2 j) (s + 1 + 2 j) (s - 3) ^ {2}}{(s + 0 . 5 - 4 j) (s + 0 . 5 + 4 j) (s + 2) ^ {2} (s + 1)} $$

    ولها الأصفار والأقطاب المبينة والكسب 4. لاحظ أن الأصفار والأقطاب لا تحدد دالة التحويل بشكل فريد؛ يجب أيضًا تحديد الكسب $ k $ .

    تسمى المصفوفة الجبرية $ \hat{\mathbf{G}}(s) $ صحيحة (proper) إذا كان كل عنصر فيها صحيحًا أو إذا كانت $ \hat{\mathbf{G}}(\infty) $ مصفوفة صفرية أو ثابتة غير صفرية. وتسمى صحيحة تمامًا (strictly proper) إذا كان كل عنصر فيها صحيحًا تمامًا أو إذا كانت $ \hat{\mathbf{G}}(\infty) $ مصفوفة صفرية. إذا كانت المصفوفة الجبرية $ \hat{\mathbf{G}}(s) $ مربعة، وكان كل من $ \hat{\mathbf{G}}(s) $ و $ \hat{\mathbf{G}}^{-1}(s) $ صحيحتين، فإن $ \hat{\mathbf{G}}(s) $ تُسمى ثنائية الصحيحة (biproper). نسمي $ \lambda $ قطبًا لـ $ \hat{\mathbf{G}}(s) $ إذا كان قطبًا لأي عنصر من عناصر $ \hat{\mathbf{G}}(s) $ . وبالتالي فإن كل قطب لأي عنصر هو قطب لـ $ \hat{\mathbf{G}}(s) $ . توجد عدة طرق لتعريف الأصفار لـ $ \hat{\mathbf{G}}(s) $ . نسمي $ \lambda $ صفراً حاجزًا (blocking zero) إذا كان صفراً لكل عنصر غير صفري من $ \hat{\mathbf{G}}(s) $ . تعريف أكثر فائدة هو الصفر الانتقالي (transmission zero)، الذي سيتم تقديمه في الفصل 9.