2.8 الأنظمة الخطية ثابتة الزمن المتقطعة (Discrete-Time Linear Time-Invariant Systems) 

    يطور هذا القسم النظير المتقطع للأنظمة المستمرة الزمن. ولأن معظم المفاهيم في الأنظمة المستمرة يمكن تطبيقها مباشرة على الحالة المتقطعة، ستكون المناقشة موجزة.

    سنفترض أن دخل وخرج كل نظام زمن متقطع (discrete-time, DT) لهما نفس فترة أخذ العينات $ T $ ويُرمز لهما بـ $ u[k] := u(kT) $ و $ y[k] := y(kT) $ ، حيث إن $ k $ (يسمى فهرس الزمن time index) عدد صحيح يتراوح من $ -\infty $ إلى $ +\infty $ . النظام المتقطع سببي إذا كان الخرج الحالي يعتمد على المدخلات الحالية والماضية. الحالة عند الزمن $ k_0 $ ، ويرمز لها بـ $ \mathbf{x}[k_0] $ ، هي المعلومات عند اللحظة الزمنية $ k_0 $ والتي، مع $ u[k] $ لـ $ k \geq k_0 $ ، تحدد بصورة فريدة الخرج $ y[k] $ لـ $ k \geq k_0 $ . تُسمّى مكونات $ \mathbf{x} $ متغيرات الحالة. إذا كان عدد متغيرات الحالة محدودًا، فإن النظام المتقطع مجمّع (lumped)؛ وإلا فهو موزع (distributed). كل نظام مستمر الزمن يتضمن تأخيرًا زمنيًا، مثل المثالين 2.3.1 و2.3.2، هو نظام موزع. في النظام المتقطع، إذا كان التأخير الزمني مضاعفًا صحيحًا لفترة أخذ العينات $ T $ ، فإن النظام المتقطع يكون مجمّعًا.

    النظام المتقطع ثابت الزمن (time-invariant) إذا كانت خصائصه لا تتغير مع الزمن. لمثل هذا النظام، بغض النظر عن اللحظة الزمنية التي نطبق فيها دخلاً، يكون تسلسل الخرج دائمًا نفسه. لذا يمكننا افتراض $ k_{0} = 0 $ كزمن ابتدائي. اللحظة $ k_{0} = 0 $ نسبية ويختارها المستخدم. بالنسبة للأنظمة المتقطعة ثابتة الزمن، يُقيَّد فهرس الزمن $ k $ عادة بـ $ k \geq 0 $ .

    النظام المتقطع ثابت الزمن خطي إذا تحققت خاصيتا الإضافية والتجانس. يمكن تحليل استجابة كل نظام DT LTI إلى

    $$ \text{Response} = \text{zero-state response} + \text{zero-input response} $$

    وتحقق استجابات صفر الحالة خاصية التراكب. وكذلك استجابات صفر الدخل. قبل المتابعة نقدم مفهوم متتاليات النبضات.

    لتكن $ \delta_d[k] $ متتالية نبضة (impulse sequence) معرفة كما يلي

    $$ \delta_ {d} [ k - m ] = \left\{ \begin{array}{l l} 1 & \text{if} k = m \\ 0 & \text{if} k \neq m \end{array} \right. $$

    حيث إن $ k $ هو فهرس الزمن و $ m $ عدد صحيح ثابت. وبالتالي لدينا $ \delta_d[0] = 0 $ ، و $ \delta_d[4] = 0 $ ، و $ \delta_d[56] = 0 $ . متتالية النبضة هي النظير المتقطع للنبضة $ \delta(t - t_1) $ . نبضة $ \delta(t - t_1) $ لها عرض صفري وارتفاع لا نهائي ولا يمكن توليدها عمليًا، بينما متتالية النبضة $ \delta_d[k - m] $ يمكن توليدها بسهولة.

    اعتبر متتالية $ u[k] $ . قيمتها عند $ k = m $ تساوي $ u[m] $ أو $ u[m]\delta_d[k - m] $ لكل $ k $ . لذلك يمكن التعبير عن $ u[k] $ كمجموع لمتتاليات نبضات كما يلي

    $$ u [ k ] = \sum_ {m = - \infty} ^ {\infty} u [ m ] \delta_ {d} [ k - m ] $$

    على سبيل المثال، إذا كان $ k = 10 $ ، فإن جميع حدود المجموع اللانهائي تساوي صفرًا باستثناء $ m = 10 $ ، وبذلك يختزل إلى $ u[10] $ . هذه المعادلة هي النظير المتقطع للمعادلة (2.2).

    الالتفاف (Convolution) 

    اعتبر نظامًا DT LTI له متتالية دخل $ u[k] $ ومتتالية خرج $ y[k] $ . نطوّر معادلة لوصف استجابات صفر الحالة؛ أي الخرج الناتج عن متتالية دخل مطبقة من $ k_0 = 0 $ فصاعدًا مع كون النظام في حالة استرخاء ابتدائي عند $ k_0 = 0 $ . إذا كان $ u[k] = 0 $ لكل $ k < 0 $ ، فإن النظام يكون في حالة استرخاء ابتدائي.

    اعتبر دخلًا $ u[k] $ مطبقًا من $ k = 0 $ فصاعدًا. عندها يمكن التعبير عنه كما يلي

    $$ u [ k ] = \sum_ {m = 0} ^ {\infty} u [ m ] \delta_ {d} [ k - m ] $$

    كما نوقش سابقًا. ليكن $ g[k] $ هو الخرج عند اللحظة الزمنية $ k $ الناتج عن متتالية النبضة المطبقة عند اللحظة الزمنية $ k_0 = 0 $ . عندها لدينا

    $$ \delta_ {d} [ k ] \rightarrow g [ k ] \quad (\text{definition}) $$
    $$ \delta_ {d} [ k - m ] \rightarrow g [ k - m ] \quad \text{(time shifting)} $$
    $$ \delta_ {d} [ k - m ] u [ m ] \rightarrow g [ k - m ] u [ m ] \quad (\text{homogeneity}) $$
    $$ \sum_ {m} \delta_ {d} [ k - m ] u [ m ] \rightarrow \sum_ {m} g [ k - m ] u [ m ] \quad (\text{additivity}) $$

    وبالتالي فإن الخرج $ y[k] $ الناتج عن الدخل $ u[k] $ ، لـ $ k \geq 0 $ ، يساوي

    $$ y [ k ] = \sum_ {m = 0} ^ {\infty} g [ k - m ] u [ m ] \tag {2.50} $$

    لـ $ k \geq 0 $ . وإذا كان النظام سببيًا أيضًا، فإن

    $$ g [ k ] = 0 \quad \text{forall} k < 0 $$

    ما يستلزم أن $ g[k - m] = 0 $ لكل $ m > k $ . وبالتالي يمكن تغيير الحد الأعلى للجمع في (2.50) من $ \infty $ إلى $ k $ ، وتختزل (2.50) إلى

    $$ y [ k ] = \sum_ {m = 0} ^ {k} g [ k - m ] u [ m ] = \sum_ {m = 0} ^ {k} g [ m ] u [ k - m ] \tag {2.51} $$

    وهذا يسمى الالتفاف المتقطع (discrete convolution). تُستحصل المعادلة الثانية من الأولى بتعريف $ \bar{m} \coloneqq k - m $ ثم إعادة تسمية $ \bar{m} $ إلى $ m $ . وهي النظير المتقطع للمعادلة (2.5). إلا أن اشتقاقها أبسط بكثير لأنها لا تتضمن أي تقريب أو عملية حدية. المتتالية $ g[k] $ تسمى متتالية استجابة النبضة (impulse response sequence).

    دالة التحويل (Transfer function) 

    تحويل $ z $ أداة مهمة في دراسة أنظمة DT LTI. لتكن $ \hat{y}(z) $ هي تحويل $ z $ لـ $ y[k] $ والمعرّف بـ

    $$ \hat {y} (z) := \mathcal {Z} [ y [ k ] ] := \sum_ {k = 0} ^ {\infty} y [ k ] z ^ {- k} \tag {2.52} $$

    بالتعويض من (2.50) وتبديل ترتيب الجمع نحصل على

    $$ \begin{array}{l} \hat {y} (z) = \sum_ {k = 0} ^ {\infty} \left(\sum_ {m = 0} ^ {\infty} g [ k - m ] u [ m ]\right) z ^ {- (k - m)} z ^ {- m} \\ = \sum_ {m = 0} ^ {\infty} \left(\sum_ {k = 0} ^ {\infty} g [ k - m ] z ^ {- (k - m)}\right) u [ m ] z ^ {- m} \\ \end{array} $$

    والتي تصبح، بعد إدخال المتغير الجديد $ l = k - m $ للجمع الداخلي حيث يكون $ m $ ثابتًا،

    $$ \hat {g} (z) = \sum_ {m = 0} ^ {\infty} \left(\sum_ {l = - m} ^ {\infty} g [ l ] z ^ {- l}\right) u [ m ] z ^ {- m} $$

    وباستخدام شرط السببية $ g[l] = 0 $ لـ $ l < 0 $ لاستبدال الحد الأدنى للجمع من $ -m $ إلى 0، يصبح الجمع الداخلي مستقلًا عن $ m $ ويصبح الجمع المزدوج

    $$ \hat {y} (z) = \left(\sum_ {l = 0} ^ {\infty} g [ l ] z ^ {- l}\right) \left(\sum_ {m = 0} ^ {\infty} u [ m ] z ^ {- m}\right) $$

    أو

    $$ \hat {y} (z) = \hat {g} (z) \hat {u} (z) \tag {2.53} $$

    حيث

    $$ \hat {g} (z) := \mathcal {Z} [ g [ k ] ] = \sum_ {k = 0} ^ {\infty} g [ k ] z ^ {- k} $$

    تسمى دالة التحويل المتقطعة (discrete transfer function). وهي تحويل $ z $ لمتتالية استجابة النبضة. باستخدام (2.53) يمكننا أيضًا تعريف دالة التحويل المتقطعة على أنها

    $$ \hat {g} (z) = \frac {\hat {y} (z)}{\hat {u} (z)} = \left. \frac {\mathcal {Z} [ \text{output} ]}{\mathcal {Z} [ \text{input} ]} \right| _ {\text{initially relaxed}} $$

    وهذا هو النظير المتقطع للمعادلة (2.8). نؤكد مرة أخرى أن الالتفاف المتقطع ودالة التحويل يصفان فقط استجابات صفر الحالة. وهما ينطبقان على الأنظمة LTI المجمّعة والموزعة.

    مثال 2.8.1 اعتبر نظام تأخير بفترة أخذ عينات واحدة معرف بـ

    $$ y [ k ] = u [ k - 1 ] $$

    الخرج يساوي الدخل مؤخرًا بفترة أخذ عينات واحدة. متتالية استجابة النبضة هي $ g[k] = \delta_d[k - 1] $ ودالة التحويل المتقطعة هي

    $$ \hat {g} (z) = \mathcal {Z} [ \delta_ {d} [ k - 1 ] ] = z ^ {- 1} = \frac {1}{z} $$

    وهي دالة جبرية في $ z $ . لاحظ أن كل نظام مستمر الزمن يتضمن تأخيرًا زمنيًا هو نظام موزع. هذا ليس صحيحًا في الأنظمة المتقطعة.

    باستخدام دالة التحويل، يرتبط الدخل والخرج بـ $ \hat{y}(z) = \hat{g}(z)\hat{u}(z) = \hat{y}(z) = z^{-1}\hat{u}(z) $ . وبالتالي فإن تأخير فترة أخذ عينات واحدة يكافئ الضرب بـ $ z^{-1} $ في مجال تحويل $ z $ . لذلك يُسمّى $ z^{-1} $ غالبًا عامل التأخير بفترة أخذ عينات واحدة (unit-sampling-period delay operator). لذا إذا كان $ x[k] = 0 $ لكل $ k < 0 $ ، وإذا كان $ \hat{x}(z) = \mathcal{Z}[x[n]] $ ، فإننا نحصل على

    $$ \mathcal {Z} [ x [ k - m ] ] = z ^ {- m} \hat {x} (z) $$

    لأي عدد صحيح موجب $ m $ .

    مثال 2.8.2 اعتبر نظام التغذية الراجعة المتقطع المبين في الشكل 2.17(a). وهو النظير المتقطع للشكل 2.5(a). متتالية استجابة النبضة له هي، كما في (2.6)،

    $$ g _ {f} [ k ] = a \delta_ {d} [ k - 1 ] + a ^ {2} \delta_ {d} [ k - 2 ] + \dots = \sum_ {m = 1} ^ {\infty} a ^ {m} \delta_ {d} [ k - m ] $$

    تحويل $ z $ لـ $ \delta_d[k - m] $ هو $ z^{-m} $ . لذا فإن دالة التحويل لنظام التغذية الراجعة هي

    $$ \begin{array}{l} \hat {g} _ {f} (z) = \mathcal {Z} [ g _ {f} [ k ] ] = a z ^ {- 1} + a ^ {2} z ^ {- 2} + a ^ {3} z ^ {- 3} + \dots \\ = a z ^ {- 1} \sum_ {m = 0} ^ {\infty} (a z ^ {- 1}) ^ {m} = \frac {a z ^ {- 1}}{1 - a z ^ {- 1}} \\ \end{array} $$

    وهي دالة جبرية في $ z $ ، بخلاف دالة التحويل المستمرة غير الجبرية في المثال 2.3.4.

    إذا استُبدل عنصر التأخير لفترة أخذ عينات واحدة بدالة تحويله $ z^{-1} $ ، يصبح مخطط الكتل كما في الشكل 2.17(b). باستخدام الطريقة الجبرية كما في المثال 2.3.4، يمكننا حساب دالة التحويل من $ r $ إلى $ y $ على أنها

    $$ \hat {g} (z) = \frac {\hat {y} (z)}{\hat {r} (z)} = \frac {a z ^ {- 1}}{1 - a z ^ {- 1}} = \frac {a}{z - a} $$

    وهي نفس النتيجة التي حُسبت سابقًا.

    دوال التحويل المتقطعة في المثالين السابقين هي دوال جبرية في $ z $ . قد لا يكون الأمر كذلك عمومًا. على سبيل المثال، اعتبر نظامًا له متتالية استجابة النبضة

    $$ g [ k ] = \left\{ \begin{array}{l l} 0 & \text{for} m \leq 0 \\ 1 / k & \text{for} k = 1, 2, \dots \end{array} \right. $$


    الشكل 2.17 نظام تغذية راجعة متقطع الزمن.

    وباستخدام متسلسلة Maclaurin

    $$ \ln (1 - x) = - \sum_ {m = 1} ^ {\infty} \frac {x ^ {m}}{m} $$

    يمكننا حساب دالة التحويل أو تحويل $ z $ لـ $ g[k] = 1 / k $ على أنه

    $$ \hat {g} (z) = \sum_ {k = 1} ^ {\infty} \frac {z ^ {- k}}{k} = - \ln \left(1 - z ^ {- 1}\right) \tag {2.54} $$

    وهي ليست دالة جبرية في $ z $ . مثل هذا النظام هو نظام موزع. نحن ندرس في هذا النص الأنظمة المجمّعة فقط، ودوال التحويل المتقطعة لها كلها دوال جبرية في $ z $ .

    يمكن أن تكون دوال التحويل الجبرية المتقطعة صحيحة أو غير صحيحة. إذا كانت دالة التحويل غير صحيحة مثل $ \hat{g}(z) = (z^2 + 2z - 1)/(z - 0.5) $ ، فإن

    $$ \frac {\hat {y} (z)}{\hat {u} (z)} = \frac {z ^ {2} + 2 z - 1}{z - 0 . 5} = \frac {1 + 2 z ^ {- 1} - z ^ {- 2}}{z ^ {- 1} - 0 . 5 z ^ {- 2}} $$

    ما يستلزم

    $$ z ^ {- 1} \hat {y} (z) - 0. 5 z ^ {- 2} \hat {y} (z) = \hat {u} (z) + 2 z ^ {- 1} \hat {u} (z) - z ^ {- 2} \hat {u} (z) $$

    أو في المجال الزمني،

    $$ y [ k - 1 ] - 0. 5 y [ k - 2 ] = u [ k ] + 2 u [ k - 1 ] - u [ k - 2 ] $$

    وبالتالي نحصل على

    $$ y [ k - 1 ] = 0. 5 y [ k - 2 ] + u [ k ] + 2 u [ k - 1 ] - u [ k - 2 ] $$

    لكل الأعداد الصحيحة $ k \geq 1 $ . لاحظ أننا افترضنا ضمنيًا أن $ y[k] = 0 $ لكل $ k < 0 $ . إذا كان $ k = 1 $ ، فإن $ y[0] $ يعتمد على $ u[1] $ ، وهو دخل مستقبلي، وبالتالي فإن النظام غير سببي. بشكل عام، النظام المتقطع الموصوف بدالة تحويل غير صحيحة يكون غير سببي. نحن ندرس الأنظمة السببية فقط. لذلك فإن كل دوال التحويل الجبرية المتقطعة ستكون صحيحة. ذكرنا سابقًا أننا ندرس أيضًا فقط دوال التحويل الجبرية الصحيحة في الحالة المستمرة. لكن السبب مختلف. اعتبر $ \hat{g}(s) = s $ أو $ y(t) = du(t) / dt $ . هذا مشتق نقي. إذا عرّفنا الاشتقاق على أنه

    $$ y (t) = \frac {d u (t)}{d t} = \lim _ {\Delta \rightarrow 0} \frac {u (t + \Delta) - u (t)}{\Delta} $$

    حيث $ \Delta > 0 $ ، فإن الخرج $ y(t) $ يعتمد على الدخل المستقبلي $ u(t + \Delta) $ وبالتالي فإن المشتق غير سببي. ولكن إذا عرّفنا الاشتقاق على أنه

    $$ y (t) = \frac {d u (t)}{d t} = \lim _ {\Delta \rightarrow 0} \frac {u (t) - u (t - \Delta)}{\Delta} $$

    فإن الخرج $ y(t) $ لا يعتمد على الدخل المستقبلي ويكون المشتق سببيًا. لذا في الأنظمة المستمرة يبقى الجدل قائمًا حول ما إذا كانت دالة التحويل غير الصحيحة تمثل نظامًا غير سببي. ومع ذلك، فإن دوال التحويل غير الصحيحة في $ s $

    ستضخم ضوضاء التردد العالي التي غالبًا ما توجد في الأنظمة الكهربائية. لذا تُتجنب دوال التحويل غير الصحيحة في الأنظمة الكهربائية.

    معادلات فضاء الحالة (State-space equations) 

    يمكن وصف كل نظام DT LTI SISO مجمّع بالمعادلة

    $$ \begin{array}{l} \mathbf {x} [ k + 1 ] = \mathbf {A x} [ k ] + \mathbf {b u} [ k ] \\ y [ k ] = \mathbf {c x} [ k ] + d u [ k ] \tag {2.55} \\ \end{array} $$

    حيث إن $ \mathbf{A},\mathbf{b},\mathbf{c} $ و $ d $ مستقلة عن فهرس الزمن $ k $ . لتكن $ \hat{\mathbf{x}}(z) $ هي تحويل $ z $ لـ $ \mathbf{x}[k] $ أو

    $$ \hat {\mathbf {x}} (z) = \mathcal {Z} [ \mathbf {x} [ k ] ] := \sum_ {k = 0} ^ {\infty} \mathbf {x} [ k ] z ^ {- k} $$

    عندها نحصل على

    $$ \begin{array}{l} \mathcal {Z} [ \mathbf {x} [ k + 1 ] ] = \sum_ {k = 0} ^ {\infty} \mathbf {x} [ k + 1 ] z ^ {- k} = z \sum_ {k = 0} ^ {\infty} \mathbf {x} [ k + 1 ] z ^ {- (k + 1)} \\ = z \left[ \sum_ {l = 1} ^ {\infty} \mathbf {x} [ l ] z ^ {- l} + \mathbf {x} [ 0 ] - \mathbf {x} [ 0 ] \right] = z (\hat {\mathbf {x}} (z) - \mathbf {x} [ 0 ]) \\ \end{array} $$

    وبتطبيق تحويل $ z $ على (2.55) نحصل على

    $$ \begin{array}{l} z \hat {\mathbf {x}} (z) - z \mathbf {x} [ 0 ] = \mathbf {A} \hat {\mathbf {x}} (z) + \mathbf {b} \hat {u} (z) \\ \hat {y} (z) = \mathbf {c} \hat {\mathbf {x}} (z) + d \hat {u} (z) \\ \end{array} $$

    ما يستلزم

    $$ \hat {\mathbf {x}} (z) = \left(z \mathbf {I} - \mathbf {A}\right) ^ {- 1} z \mathbf {x} [ 0 ] + \left(z \mathbf {I} - \mathbf {A}\right) ^ {- 1} \mathbf {b} \hat {u} (z) \tag {2.56} $$

    و

    $$ \hat {y} (z) = \mathbf {c} (z \mathbf {I} - \mathbf {A}) ^ {- 1} z \mathbf {x} [ 0 ] + \mathbf {c} (z \mathbf {I} - \mathbf {A}) ^ {- 1} \mathbf {b} \hat {u} (z) + d \hat {u} (z) \tag {2.57} $$

    وهي النظير المتقطع للمعادلة (2.11). لاحظ وجود عامل $ z $ إضافي أمام $ \mathbf{x}[0] $ . إذا كانت $ \mathbf{x}[0] = \mathbf{0} $ ، فإن (2.57) تختزل إلى

    $$ \hat {y} (z) = \left[ \mathbf {c} \left(z \mathbf {I} - \mathbf {A}\right) ^ {- 1} \mathbf {b} + d \right] \hat {u} (z) \tag {2.58} $$

    وبالمقارنة مع $ \hat{y}(z) = \hat{g}(z)\hat{u}(z) $ نحصل على

    $$ \hat {g} (z) = \mathbf {c} (z \mathbf {I} - \mathbf {A}) ^ {- 1} \mathbf {b} + d \tag {2.59} $$

    وهذا هو النظير المتقطع للمعادلة (2.12). إذا استُبدل متغير تحويل Laplace $ s $ بمتغير تحويل $ z $ ، فإن المعادلتين تكونان متماثلتين.

    مثال 2.8.3 اعتبر حساب سوق نقدي في شركة وساطة. ليكن $ u[k] $ هو مقدار المال المودع في الحساب أو المسحوب منه في اليوم $ k $ ، وليكن $ y[k] $ هو إجمالي المال في الحساب في نهاية اليوم $ k $ . عندها يمكن اعتبار الحساب نظامًا متقطعًا له دخل $ u[k] $ وخرج $ y[k] $ .

    النظام غير خطي إذا كان معدل الفائدة يعتمد على مقدار المال في الحساب. وإذا كان معدل الفائدة ثابتًا مهما كان مقدار المال، فهو نظام خطي. وهو نظام متغير الزمن إذا تغير معدل الفائدة مع الزمن، وثابت الزمن إذا كان معدل الفائدة ثابتًا. نعتبر هنا فقط حالة LTI بمعدل فائدة $ r = 0.015\% $ يوميًا وبفائدة مركبة يومية.

    إذا أودعنا دولارًا واحدًا في اليوم الأول (أي $ u[0] = 1 $ ) ولا شيء بعد ذلك ( $ u[k] = 0, k = 1, 2, \ldots $ )، فإن $ y[0] = u[0] = 1 $ و $ y[1] = 1 + 0.00015 = 1.00015 $ . وبما أن الفائدة مركبة يوميًا، نحصل على

    $$ y [ 2 ] = y [ 1 ] + y [ 1 ] \cdot 0. 0 0 0 1 5 = y [ 1 ] \cdot 1. 0 0 0 1 5 = (1. 0 0 0 1 5) ^ {2} $$

    وبشكل عام،

    $$ y [ k ] = (1. 0 0 0 1 5) ^ {k} $$

    وبما أن الدخل $ \{1,0,0,\ldots\} $ هو متتالية نبضة، فإن الخرج هو، بالتعريف، متتالية استجابة النبضة أو

    $$ g [ k ] = (1. 0 0 0 1 5) ^ {k} $$

    ووصف الدخل-الخرج للحساب هو

    $$ y [ k ] = \sum_ {m = 0} ^ {k} g [ k - m ] u [ m ] = \sum_ {m = 0} ^ {k} (1. 0 0 0 1 5) ^ {k - m} u [ m ] \tag {2.60} $$

    ودالة التحويل المتقطعة هي تحويل $ z $ لمتتالية استجابة النبضة أو

    $$ \begin{array}{l} \hat {g} (z) = \mathcal {Z} [ g [ k ] ] = \sum_ {k = 0} ^ {\infty} (1. 0 0 0 1 5) ^ {k} z ^ {- k} = \sum_ {k = 0} ^ {\infty} (1. 0 0 0 1 5 z ^ {- 1}) ^ {k} \\ = \frac {1}{1 - 1 . 0 0 0 1 5 z ^ {- 1}} = \frac {z}{z - 1 . 0 0 0 1 5} \tag {2.61} \\ \end{array} $$

    كلما استخدمنا (2.60) أو (2.61) يجب أن تكون الحالة الابتدائية صفراً، أي لا يوجد مال في الحساب في البداية.

    بعد ذلك نطوّر معادلة فضاء حالة لوصف الحساب. لنفترض أن $ y[k] $ هو إجمالي المال في نهاية اليوم $ k $ . عندها نحصل على

    $$ y [ k + 1 ] = y [ k ] + 0. 0 0 0 1 5 y [ k ] + u [ k + 1 ] = 1. 0 0 0 1 5 y [ k ] + u [ k + 1 ] \tag {2.62} $$

    إذا عرّفنا متغير الحالة على أنه $ x[k] \coloneqq y[k] $ ، فإن

    $$ \begin{array}{l} x [ k + 1 ] = 1. 0 0 0 1 5 x [ k ] + u [ k + 1 ] \\ y [ k ] = x [ k ] \tag {2.63} \\ \end{array} $$

    وبسبب وجود $ u[k + 1] $ ، فإن (2.63) ليست في الصيغة القياسية لـ (2.55). لذا لا يمكننا اختيار $ x[k] := y[k] $ كمتغير حالة. بعد ذلك نختار متغير حالة مختلفًا على أنه

    $$ x [ k ] := y [ k ] - u [ k ] $$

    بالتعويض $ y[k + 1] = x[k + 1] + u[k + 1] $ و $ y[k] = x[k] + u[k] $ في (2.62) نحصل على

    $$ \begin{array}{l} x [ k + 1 ] = 1. 0 0 0 1 5 x [ k ] + 1. 0 0 0 1 5 u [ k ] \\ y [ k ] = x [ k ] + u [ k ] \tag {2.64} \\ \end{array} $$

    وهذا في الصيغة القياسية ويصف حساب سوق النقد.

    ناقشنا حتى الآن أنظمة DT LTI SISO فقط. امتدادها إلى حالة MIMO مشابه للحالة المستمرة ولن يُعاد هنا.