المسائل 

    2.1 اعتبر الأنظمة عديمة الذاكرة (memoryless systems) ذات الخصائص المبينة في الشكل (Figure) 2.18، حيث يدل $ u $ على الدخل (input) و$ y $ على الخرج (output). أيّها نظام خطي (linear system)؟ هل يمكن إدخال خرج جديد (output) بحيث يكون النظام في الشكل 2.18(b) خطيًا (linear)؟


    (a)
    الشكل (Figure) 2.18


    (b)


    (c)

    2.2 الاستجابة النبضية (impulse response) لمرشح منخفض التمرير المثالي (ideal lowpass filter) تعطى بـ

    $$ g (t) = 2 \omega \frac {\sin 2 \omega \left(t - t _ {0}\right)}{2 \omega \left(t - t _ {0}\right)} $$

    لكل $ t $، حيث إن $ \omega $ و$ t_0 $ ثوابت. هل المرشح منخفض التمرير المثالي سببي (causal)؟ هل يمكن بناء المرشح في العالم الحقيقي؟

    2.3 اعتبر نظامًا يرتبط فيه الدخل $ u $ والخرج $ y $ بالعلاقة

    $$ y (t) = \left(P _ {\alpha} u\right) (t) := \left\\\ \begin{array}{l l} u (t) & \text{for} t \leq \alpha \\\\0 & \text{for} t > \alpha \end{array} \right. $$

    حيث $ \alpha $ ثابت. يسمى النظام مؤثر القطع (truncation operator)، الذي يقطع الدخل بعد الزمن $ \alpha $. هل النظام خطي (linear)؟ هل هو ثابت مع الزمن (time-invariant)؟ هل هو سببي (causal)؟

    2.4 يمكن تمثيل دخل وخرج نظام مسترخٍ ابتدائيًا (initially relaxed system) بـ $ y = H u $، حيث $ H $ مؤثر رياضي (mathematical operator). بيّن أنه إذا كان النظام سببيًا (causal)، فإن

    $$ P _ {\alpha} y = P _ {\alpha} H u = P _ {\alpha} H P _ {\alpha} u $$

    حيث $ P_{\alpha} $ هو مؤثر القطع (truncation operator) المعرّف في المسألة 2.3. هل يصح $ P_{\alpha}Hu = HP_{\alpha}u $؟

    2.5 اعتبر نظامًا بدخل $ u $ وخرج $ y $. تُجرى ثلاث تجارب على النظام باستخدام الدخل $ u_{1}(t), u_{2}(t) $، و$ u_{3}(t) $ لـ $ t \geq 0 $. في كل حالة تكون الحالة الابتدائية $ \mathbf{x}(0) $ عند الزمن $ t = 0 $ هي نفسها. المخارج المقابلة تُرمز بـ $ y_{1}, y_{2} $ و$ y_{3} $. أي العبارات الآتية صحيحة إذا كانت $ \mathbf{x}(0) \neq 0 $؟

    1. إذا كان $ u_{3} = u_{1} + u_{2} $، فإن $ y_{3} = y_{1} + y_{2} $.
    2. إذا كان $ u_{3} = 0.5(u_{1} + u_{2}) $، فإن $ y_{3} = 0.5(y_{1} + y_{2}) $.
    3. إذا كان $ u_{3} = u_{1} - u_{2} $، فإن $ y_{3} = y_{1} - y_{2} $.

    وأيّها صحيح إذا كانت $ \mathbf{x}(0) = \mathbf{0} $؟

    2.6 اعتبر نظامًا يرتبط فيه الدخل والخرج بالعلاقة

    $$ y (t) = \left\\\ \begin{array}{l l} u ^ {2} (t) / u (t - 1) & \text{if} u (t - 1) \neq 0 \\\\0 & \text{if} u (t - 1) = 0 \end{array} \right. $$

    لكل $ t $. بيّن أن النظام يحقق خاصية التجانس (homogeneity property) لكنه لا يحقق خاصية الجمع (additivity property).

    2.7 بيّن أنه إذا كانت خاصية الجمع (additivity property) صحيحة، فإن خاصية التجانس (homogeneity property) تكون صحيحة لكل عدد نسبي (rational number) $ \alpha $. وبالتالي إذا كان للنظام خاصية "استمرارية" (continuity)، فإن الجمع يستلزم التجانس.
    2.8 أوجد معادلة فضاء الحالة (state-space equation) لوصف الدارة المبينة في الشكل 2.2. احسب أيضًا مصفوفة الانتقال (transfer matrix).
    2.9 أوجد معادلة فضاء الحالة (state-space equation) لوصف الدارة المبينة في الشكل 2.19. أوجد أيضًا دالة الانتقال (transfer function).


    الشكل (Figure) 2.19

    2.10 أوجد معادلة فضاء الحالة (state-space equation) لوصف الدارة المبينة في الشكل 2.20. أوجد أيضًا دالة الانتقال (transfer function).


    الشكل (Figure) 2.20

    2.11 طوّر معادلة فضاء الحالة (state-space equation) ذات بعد واحد ومعادلة فضاء الحالة ذات بعدين لوصف الدارة المبينة في الشكل 2.21(a). احسب أيضًا دالة الانتقال (transfer function) للدارة باستخدام (2.12). انظر المسألة 7.4.
    2.12 طوّر معادلة فضاء الحالة (state-space equation) ذات بعد واحد ومعادلة فضاء الحالة ذات بعدين لوصف الدارة المبينة في الشكل 2.21(b). احسب أيضًا دالة الانتقال (transfer function) للدارة باستخدام المعاوقات (impedances). انظر المسألة 7.5.
    2.13 اعتبر الدارة المبينة في الشكل 2.22. (a) تحقق أنه إذا عيّنا جهد المكثف 1-فاراد كـ $ x_{1}(t) $، وتيار المحث كـ $ x_{2}(t) $، وجهد المكثف 2-فاراد كـ $ x_{3}(t) $، عندئذ


    (a)


    (b)
    الشكل (Figure) 2.21 (a) دارة لا تُسند فيها جميع جهود المكثفات كمتغيرات حالة (state variables). (b) دارة لا تُسند فيها جميع تيارات المحاثات كمتغيرات حالة (state variables).

    يمكن وصف الدارة بـ

    $$ \begin{array}{l} \dot {\mathbf {x}} (t) = \left[ \begin{array}{r r r} 0 & 1 / 3 & 0 \\\ 0 & - 2 & 1 \\\ 0 & - 1 / 3 & 0 \end{array} \right] \mathbf {x} (t) + \left[ \begin{array}{r} 2 / 3 \\\ 0 \\\ 1 / 3 \end{array} \right] \dot {u} (t) \\\ y (t) = \left[ \begin{array}{l l} 0 & - 2 \end{array} \right] \mathbf {x} (t) \\\ \end{array} $$

    حيث $ \mathbf{x} = [x_{1} x_{2} x_{3}]' $ . هل هي في صيغة معادلة فضاء الحالة القياسية (standard state-space equation form)؟ (b) تحقق أنه إذا عيّنا فقط $ x_{1}(t) $ و$ x_{2}(t) $ (بدون تعيين $ x_{3}(t) $)، فإن الدارة يمكن وصفها بـ

    $$ \begin{array}{l} \dot {\mathbf {x}} (t) = \left[ \begin{array}{c c} 0 & 1 / 3 \\\ - 1 & - 2 \end{array} \right] \mathbf {x} (t) + \left[ \begin{array}{l} 0 \\\ 1 \end{array} \right] u (t) + \left[ \begin{array}{c} 2 / 3 \\\ 0 \end{array} \right] \dot {u} (t) \\\ y (t) = \left[ - 1 \quad - 2 \right] \mathbf {x} (t) + u (t) \\\ \end{array} $$

    حيث $ \mathbf{x} = [x_1 x_2] $ . هل هي في صيغة معادلة فضاء الحالة القياسية (standard state-space equation form)؟ لاحظ أن $ x_1(t) + x_3(t) = u(t) $ لكل $ t $؛ وبالتالي فإن مكثف 2-فاراد زائد (redundant) بمعنى ما. انظر المسألة 7.6.


    الشكل (Figure) 2.22 دارة لا يمكن وصفها بمعادلة فضاء حالة قياسية (standard state-space equation).

    2.14 اعتبر نظامًا موصوفًا بـ

    $$ \ddot {y} + 2 \dot {y} - 3 y = \dot {u} - u $$

    ما دالة الانتقال (transfer function) والاستجابة النبضية (impulse response) للنظام؟

    2.15 لتكن $ \bar{y}(t) $ هي استجابة خطوة الوحدة (unit step response) لنظام خطي ثابت مع الزمن (linear time-invariant system). بيّن أن الاستجابة النبضية (impulse response) للنظام تساوي $ d\bar{y}(t)/dt $.

    2.16 اعتبر نظامًا ذا دخلين وخرجين موصوفًا بـ

    $$ \begin{array}{l} D _ {1 1} (p) y _ {1} (t) + D _ {1 2} (p) y _ {2} (t) = N _ {1 1} (p) u _ {1} (t) + N _ {1 2} (p) u _ {2} (t) \\\ D _ {2 1} (p) y _ {1} (t) + D _ {2 2} (p) y _ {2} (t) = N _ {2 1} (p) u _ {1} (t) + N _ {2 2} (p) u _ {2} (t) \\\ \end{array} $$

    حيث $ N_{ij} $ و$ D_{ij} $ كثيرات حدود في $ p \coloneqq d / dt $. ما مصفوفة الانتقال (transfer matrix) للنظام؟

    2.17 اعتبر أنظمة التغذية الراجعة (feedback systems) المبينة في الشكل 2.5. بيّن أن استجابات خطوة الوحدة (unit-step responses) لنظام التغذية الراجعة الموجبة (positive-feedback) كما هو مبين في الشكل 2.23(a) عندما $ a = 1 $ وفي الشكل 2.23(b) عندما $ a = 0.5 $. وبيّن أيضًا أن استجابة خطوة الوحدة لنظام التغذية الراجعة السالبة (negative-feedback) كما هو مبين في الشكلين 2.21(c) و2.21(d)، على التوالي، عندما $ a = 1 $ وعندما $ a = 0.5 $.


    (a)
    الشكل (Figure) 2.23


    (b)

    2.18 عادة ما توصف دالة الانتقال (transfer function) لنظام من الدرجة الثانية بـ $ \hat{g}(s) = \frac{k\omega_n^2}{s^2 + 2\xi\omega_ns + \omega_n^2} $ حيث $ \xi, \omega_n $ و$ k $ هي معاملات التخميد (damping factors)، التردد الطبيعي (natural frequency)، وكسب التيار المستمر (dc gain)، على الترتيب.

    1. اكتب معادلة فضاء حالة (state-space equation) لوصف النظام.
    2. افترض أن بسط $ \hat{g}(s) $ تغير إلى $ s + a $. اكتب معادلة فضاء حالة (state-space equation) لهذه الحالة.

    2.19 اعتبر النظام الموصوف بالمعادلات التفاضلية المقترنة (coupled differential equations)،

    $$ \begin{array}{l} \ddot {y} _ {1} + k _ {1} \dot {y} _ {1} + k _ {2} y _ {1} = u _ {1} + k _ {3} u _ {2} \\\ \dot {y} _ {2} + k _ {4} y _ {2} + k _ {5} \dot {y} _ {1} = k _ {6} u _ {1} \\\ \end{array} $$

    حيث $ u_{1} $ و$ u_{2} $ هما الدخلان و$ y_{1} $ و$ y_{2} $ هما المخرجان.

    عرّف متغيرات الحالة (state variables) على أنها المخارج ومشتقات المخارج حسب الحاجة، واكتب معادلة فضاء الحالة (state-space equation) للنظام.

    2.20 استخرج معادلة فضاء الحالة (state-space equation) للنظام المتغير مع الزمن (time-varying system) الآتي

    $$ \ddot {y} + e ^ {- 2 t} \dot {y} + e ^ {- t} y = u $$

    2.21 اكتب معادلة فضاء الحالة (state-space equation) للنظام المتقطع زمنًا (discrete-time system) الآتي المُمثَّل بمعادلة فروق (difference equation)،

    $$ y (k + 3) + 2 y (k + 2) + 3 y (k + 1) + y (k) = u (k) $$

    واستخرج دالة الانتقال (transfer function) للنظام.

    2.22 اعتبر معادلة الحالة (state equation) لنظام زمن متقطع (discrete-time system) المعطاة بـ،

    $$ \left[ \begin{array}{l} x _ {1} (k + 1) \\\ x _ {2} (k + 1) \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c c} 0 & 0. 4 \\\ 0. 2 & 0. 3 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{l} x _ {1} (k) \\\ x _ {2} (k) \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{l} 0 \\\ 1 \end{array} \right] u (k) $$

    استخرج معادلة الفروق (difference equation) المقابلة لها.

    2.23 أوجد معادلات فضاء الحالة (state-space equations) لوصف أنظمة البندول (pendulum systems) في الشكل 2.24. الأنظمة مفيدة لنمذجة مُناولات روبوتية ذات وصلة واحدة أو وصلتين (one- or two-link robotic manipulators). إذا كانت $ \theta, \theta_1 $، و$ \theta_2 $ صغيرة جدًا، هل يمكنك اعتبار النظامين خطيين (linear)؟


    (a)
    الشكل (Figure) 2.24


    (b)

    2.24 اعتبر البندول (pendulum) المبين في الشكل 2.24(a). افترض وجود قوة احتكاك (friction force) تعيق الحركة، ويُفترض أنها تتناسب مع سرعة كرة البندول بمعامل احتكاك (coefficient of friction) $ k $.

    1. اكتب معادلة الحركة (equation of motion) في الاتجاه المماسي (tangential direction) عندما تكون $ \theta $ ليست صغيرة. هل النظام خطي (linear)؟
    2. عرّف متغيرات الحالة (state variables) كـ $ \theta = x_{1} $ و$ \dot{\theta} = \dot{x}_1 = x_2 $ واكتب معادلة فضاء الحالة (state-space equation) للنظام عندما تكون $ \theta $ كبيرة.
    3. تظهر صيغة أكثر عمومية لمعادلة البندول عندما يُطبق عزم (torque) $ \tau $ على البندول. اكتب معادلة فضاء الحالة (state-space equation) لكل من $ \theta $ الكبيرة والصغيرة.

    2.25 اعتبر النموذج المبسط لطائرة (aircraft) المبين في الشكل 2.25. يُفترض أن الطائرة في حالة اتزان (equilibrium state) عند زاوية الميل $ \theta_0 $، وزاوية الدفة (elevator angle) $ u_0 $، والارتفاع $ h_0 $، وسرعة التحليق $ v_0 $. ويُفترض أن الانحرافات الصغيرة (small deviations) في $ \theta $ و$ u $ عن $ \theta_0 $ و$ u_0 $ تولد قوى $ f_1 = k_1\theta $ و$ f_2 = k_2u $ كما هو مبين في الشكل. لتكن $ m $ كتلة الطائرة، و$ I $ عزم القصور الذاتي (moment of inertia) حول مركز الثقل $ P $، و$ b\dot{\theta} $ التخميد الهوائي (aerodynamic damping)، و$ h $ انحراف الارتفاع عن $ h_0 $. أوجد معادلة فضاء الحالة (state-space equation) لوصف النظام. وبيّن أيضًا أن دالة الانتقال (transfer function) من $ u $ إلى $ h $، بإهمال تأثير $ I $، هي

    $$ \hat {g} (s) = \frac {\hat {h} (s)}{\hat {u} (s)} = \frac {k _ {1} k _ {2} l _ {2} - k _ {2} b s}{m s ^ {2} (b s + k _ {1} l _ {1})} $$


    الشكل (Figure) 2.25

    2.26 يمكن نمذجة مرحلة الهبوط الناعم (soft landing phase) لمركبة قمرية (lunar module) تهبط على القمر كما هو مبين في الشكل 2.26. يُفترض أن قوة الدفع (thrust) المتولدة تتناسب مع $ \dot{m} $، حيث $ m $ هو


    الشكل (Figure) 2.26

    كتلة المركبة. عندئذ يمكن وصف النظام بـ $ m\ddot{y} = -km - mg $، حيث $ g $ هو ثابت الجاذبية (gravity constant) على سطح القمر. عرّف متغيرات الحالة (state variables) للنظام كـ $ x_{1} = y $، و$ x_{2} = \dot{y} $، و$ x_{3} = m $، و$ u = \dot{m} $. أوجد معادلة فضاء الحالة (state-space equation) لوصف النظام.

    2.27 أوجد دوال الانتقال (transfer functions) من $ u $ إلى $ y_1 $ ومن $ y_1 $ إلى $ y $ للنظام الهيدروليكي للخزانات (hydraulic tank system) المبين في الشكل 2.27. هل دالة الانتقال من $ u $ إلى $ y $ تساوي حاصل ضرب دالتي الانتقال؟ وهل هذا صحيح أيضًا للنظام المبين في الشكل 2.16؟ [الجواب: لا، بسبب مشكلة التحميل (loading problem) في الخزانين في الشكل 2.16. مشكلة التحميل مسألة مهمة عند تطوير المعادلات الرياضية لوصف الأنظمة المركبة. انظر المرجع 7.]


    الشكل (Figure) 2.27

    2.28 اعتبر النظام الميكانيكي (mechanical system) المبين في الشكل 2.28. لتكن $ I $ عزم القصور الذاتي (moment of inertia) للقضيب والكتلة حول المفصلة. يُفترض أن الإزاحة الزاوية $ \theta $ صغيرة جدًا. تُطبَّق قوة خارجية $ u $ على القضيب كما هو مبين. لتكن $ y $ إزاحة الكتلة ذات الكتلة $ m_2 $ عن الاتزان. أوجد معادلة فضاء الحالة (state-space equation) لوصف النظام. أوجد أيضًا دالة الانتقال (transfer function) من $ u $ إلى $ y $.


    الشكل (Figure) 2.28

    الحلول 

    2.1 (a) خطي (linear). (b) و(c) لاخطي (nonlinear). في (b)، ازح نقطة التشغيل (operating point) إلى $ (0, y_{o}) $، عندئذ يكون $ (u, \bar{y}) $ خطيًا (linear)، حيث $ \bar{y} = y - y_{o} $.
    2.3 خطي (linear)، متغير مع الزمن (time-varying)، سببي (causal).
    2.5 لا، نعم، لا عندما $ \mathbf{x}(0) \neq \mathbf{0} $. نعم، نعم، نعم عندما $ \mathbf{x}(0) = \mathbf{0} $. السبب أن خاصية التراكب (superposition property) يجب أن تنطبق أيضًا على الحالات الابتدائية.

    2.8

    $$ \dot {\mathbf {x}} = \left[ \begin{array}{c c c} 0 & 0 & 1 / C _ {1} \\\ 0 & 0 & 1 / C _ {2} \\\ - 1 / L _ {1} & - 1 / L _ {1} & - (R _ {1} + R _ {2}) / L _ {1} \end{array} \right] \mathbf {x} + \left[ \begin{array}{c c} 0 & - 1 / C _ {1} \\\ 0 & 0 \\\ 1 / L _ {1} & R _ {1} / L _ {1} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{l} u _ {1} \\\ u _ {2} \end{array} \right] $$
    $$ y = \left[ \begin{array}{l l l} - 1 & - 1 & - R _ {1} \end{array} \right] \mathbf {x} + \left[ \begin{array}{l l} 1 & R _ {1} \end{array} \right] \mathbf {u} $$
    $$ \hat {g} _ {1} (s) = \frac {\hat {y} (s)}{\hat {u} _ {1} (s)} = \frac {s ^ {2} + \left(R _ {2} / L _ {1}\right) s}{s ^ {2} + \left(\frac {R _ {1} + R _ {2}}{L _ {1}}\right) s + \left(\frac {1}{C _ {1}} + \frac {1}{C _ {2}}\right) \frac {1}{L _ {1}}} $$
    $$ \hat {g} _ {2} (s) = \frac {\hat {y} (s)}{\hat {u} _ {2} (s)} = \frac {\left(R _ {1} s + \left(1 / C _ {1}\right)\right) \left(s + \left(R _ {2} / L _ {1}\right)\right)}{s ^ {2} + \left(\frac {R _ {1} + R _ {2}}{L _ {1}}\right) s + \left(\frac {1}{C _ {1}} + \frac {1}{C _ {2}}\right) \frac {1}{L _ {1}}} $$
    $$ \hat {y} (s) = \hat {g} _ {1} (s) \hat {u} _ {1} (s) + \hat {g} _ {2} (s) \hat {u} _ {2} (s) = [ \hat {g} _ {1} (s) \hat {g} _ {2} (s) ] \left[ \begin{array}{l} \hat {u} _ {1} (s) \\\ \hat {u} _ {2} (s) \end{array} \right] $$

    2.10

    $$ \dot {\mathbf {x}} = \left[ \begin{array}{c c c} - 1 / R C _ {1} & 0 & - 1 / C _ {1} \\\ 0 & 0 & 1 / C _ {2} \\\ 1 / L & - 1 / L & 0 \end{array} \right] \mathbf {x} + \left[ \begin{array}{c} 1 / R C _ {1} \\\ 0 \\\ 0 \end{array} \right] u $$
    $$ y = \left[ \begin{array}{l l l} 1 & - 1 & 0 \end{array} \right] \mathbf {x} $$
    $$ \hat {\tilde {g}} (s) = \frac {L C _ {2} s}{R C C _ {1} C _ {2} s ^ {3} + L C _ {2} s ^ {2} + R \left(C _ {1} + C _ {2}\right) s + 1} $$

    2.12

    $$ \dot {\mathbf {x}} = \left[ \begin{array}{c c c} - 1 / 3 & 1 / 3 & 0 \\\ 1 / 2 & 0 & 0 \\\ - 1 / 3 & - 1 / 2 & 0 \end{array} \right] \mathbf {x} + \left[ \begin{array}{c} 1 / 3 \\\ 0 \\\ 1 / 3 \end{array} \right] u $$
    $$ y = \left[ \begin{array}{l l l} 0 & 1 & 0 \end{array} \right] \mathbf {x} $$
    $$ \hat {g} (s) = \frac {1}{6 s ^ {2} + 2 s + 1} $$

    2.14 $ \hat{g}(s) = 1 / (s + 3) $ ، $ g(t) = e^{-3t} $ لـ $ t \geq 0 $ .

    2.16

    $$ \hat {\mathbf {G}} (s) = \left[ \begin{array}{l l} D _ {1 1} (s) & D _ {1 2} (s) \\\ D _ {2 1} (s) & D _ {2 2} (s) \end{array} \right] ^ {- 1} \left[ \begin{array}{l l} N _ {1 1} (s) & N _ {1 2} (s) \\\ N _ {2 1} (s) & N _ {2 2} (s) \end{array} \right] $$

    2.23 (a) عرّف $ x_1 = \theta $ و$ x_2 = \dot{\theta} $. عندئذ $ \dot{x}_1 = x_2 $، و$ \dot{x}_2 = -(g / l)\sin x_1 - (u / ml)\cos x_1 $. إذا كانت $ \theta $ صغيرة، فإن

    $$ \dot {\mathbf {x}} = \left[ \begin{array}{c c} 0 & 1 \\\ - g / l & 0 \end{array} \right] \mathbf {x} + \left[ \begin{array}{c} 0 \\\ - 1 / m g \end{array} \right] u $$

    وهي معادلة حالة خطية (linear state equation).

    2.25 عرّف $ x_{1} = h $، و$ x_{2} = \dot{h} $، و$ x_{3} = \theta $، و$ x_{4} = \dot{\theta} $. عندئذ

    $$ \dot {\mathbf {x}} = \left[ \begin{array}{c c c c} 0 & 1 & 0 & 0 \\\ 0 & 0 & k _ {1} / m & 0 \\\ 0 & 0 & 0 & 1 \\\ 0 & 0 & - l _ {1} k _ {1} / I & - b / I \end{array} \right] \mathbf {x} + \left[ \begin{array}{c} 0 \\\ - k _ {2} / m \\\ 0 \\\ (l _ {1} + l _ {2}) k _ {2} \end{array} \right] u $$
    $$ y = \left[ \begin{array}{l l l l} 1 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right] \mathbf {x} $$

    إذا كان $ I = 0 $، فإن

    $$ \hat {g} (s) = \frac {k _ {1} k _ {2} l _ {2} - k _ {2} b s}{m s ^ {2} (b s + k _ {1} l _ {1})} $$

    2.27 $ \hat{g}_1(s) = \hat{y}_1(s) / \hat{u}(s) = 1 / (A_1R_1s + 1), \hat{g}_2(s) = \hat{y}(s) / \hat{y}_1(s) = 1 / (A_2R_2s + 1). $ نعم، $ \hat{y}(s) / \hat{u}(s) = \hat{g}_1(s)\hat{g}_2(s). $