3.1 مقدمة 

    يستعرض هذا الفصل عددًا من المفاهيم والنتائج في الجبر الخطي (linear algebra) التي وردت في هذا النص. تُطوَّر معظم النتائج بصورة حدسية (intuitively) كي يدرك القارئ الأفكار على نحو أفضل. وتُصاغ على هيئة مبرهنات (theorems) لسهولة الرجوع إليها في الفصول اللاحقة. ومع ذلك، لا تُقدَّم براهين رسمية (formal proofs). يدرس هذا النص دوال التحويل (transfer functions) ومعادلات فضاء الحالة (state-space equations). لدراسة الأولى، نحتاج فقط إلى القسم 3.3؛ ولدراسة الثانية، نحتاج إلى الفصل بأكمله.

    كما رأينا في الفصل السابق، فإن جميع المعلمات (parameters) التي تنشأ في العالم الحقيقي هي أعداد حقيقية (real numbers). لذلك نتعامل طوال هذا النص مع الأعداد الحقيقية (real numbers) فقط، ما لم يُذكر خلاف ذلك. لتكن $ \mathbf{A} $ ، $ \mathbf{B} $ ، $ \mathbf{C} $ ، و $ \mathbf{D} $ على الترتيب مصفوفات حقيقية (real matrices) بأبعاد $ n \times m $ ، $ m \times r $ ، $ l \times n $ ، و $ r \times p $ . لتكن $ \mathbf{a}_i $ العمود $ i $ (column) من $ \mathbf{A} $ ، ولتكن $ \mathbf{b}_j $ الصف $ j $ (row) من $ \mathbf{B} $ . عندئذ نحصل على

    $$ \mathbf {A B} = \left[ \begin{array}{l l l} \mathbf {a} _ {1} & \mathbf {a} _ {2} & \dots \mathbf {a} _ {m} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} \mathbf {b} _ {1} \\ \mathbf {b} _ {2} \\ \vdots \\ \mathbf {b} _ {m} \end{array} \right] = \mathbf {a} _ {1} \mathbf {b} _ {1} + \mathbf {a} _ {2} \mathbf {b} _ {2} + \dots + \mathbf {a} _ {m} \mathbf {b} _ {m} \tag {3.1} $$
    $$ \mathbf {C A} = \mathbf {C} [ \mathbf {a} _ {1} \quad \mathbf {a} _ {2} \dots \mathbf {a} _ {m} ] = [ \mathbf {C a} _ {1} \quad \mathbf {C a} _ {2} \dots \mathbf {C a} _ {m} ] \tag {3.2} $$

    و

    $$ \mathbf {B D} = \left[ \begin{array}{c} \mathbf {b} _ {1} \\ \mathbf {b} _ {2} \\ \vdots \\ \mathbf {b} _ {m} \end{array} \right] \mathbf {D} = \left[ \begin{array}{c} \mathbf {b} _ {1} \mathbf {D} \\ \mathbf {b} _ {2} \mathbf {D} \\ \vdots \\ \mathbf {b} _ {m} \mathbf {D} \end{array} \right] \tag {3.3} $$

    يمكن التحقق من هذه المتطابقات بسهولة. لاحظ أن $ \mathbf{a}_i\mathbf{b}_i $ مصفوفة (matrix) ذات أبعاد $ n\times r $ ؛ فهي حاصل ضرب متجه عمودي (column vector) بأبعاد $ n\times 1 $ في متجه صف (row vector) بأبعاد $ 1\times r $ . حاصل الضرب $ \mathbf{b}_i\mathbf{a}_i $ غير معرّف إلا إذا كان $ n = r $ ؛ ويصبح عددًا قياسيًا (scalar) إذا كان $ n = r $ .