3.11 معايير المصفوفات (Norms of Matrices)
يمكن توسيع مفهوم المعايير (norms) للمتجهات إلى المصفوفات. هذا المفهوم مطلوب في الفصل 5. لتكن $ \mathbf{A} $ مصفوفة بأبعاد $ m \times n $ . يمكن تعريف معيار $ \mathbf{A} $ كما يلي
$$ \left| \left| \mathbf {A} \right| \right| = \sup _ {\mathbf {x} \neq \mathbf {0}} \frac {\left| \left| \mathbf {A x} \right| \right|}{\left| \left| \mathbf {x} \right| \right|} = \sup _ {\left| \left| \mathbf {x} \right| \right| = 1} \left| \left| \mathbf {A x} \right| \right| \tag {3.72} $$
حيث إن sup تشير إلى السوبرموم (supremum) أو الحد الأعلى الأصغر (least upper bound). يُعرَّف هذا المعيار من خلال معيار $ \mathbf{x} $ ولذلك يُسمّى معيارًا مُستحثًا (induced norm). لاختيارات مختلفة لـ $ ||\mathbf{x}|| $ ، نحصل على قيم مختلفة لـ $ ||\mathbf{A}|| $ . على سبيل المثال، إذا استُخدم معيار 1 للمتجه $ ||\mathbf{x}||_1 $ ، فإن
$$ \left| \left| \mathbf {A} \right| \right| _ {1} = \max _ {j} \left(\sum_ {i = 1} ^ {m} \left| a _ {i j} \right|\right) = \text{largest column absolute sum} $$
حيث إن $ a_{ij} $ هو العنصر $ ij $ من $ \mathbf{A} $ . إذا استُخدم المعيار الإقليدي (Euclidean norm) $ ||\mathbf{x}||_2 $ ، فإن
$$ \begin{array}{l} \left| \left| \mathbf {A} \right| \right| _ {2} = \text{largest singular value of} \mathbf {A} \\ = (\text{largest eigenvalue value of} \mathbf {A} ^ {\prime} \mathbf {A}) ^ {1 / 2} \\ \end{array} $$
إذا استُخدم معيار اللانهاية (infinite-norm) $ ||\mathbf{x}||_{\infty} $ ، فإن
$$ \left| \left| \mathbf {A} \right| \right| _ {\infty} = \max _ {i} \left(\sum_ {j = 1} ^ {n} \left| a _ {i j} \right|\right) = \text{largest row absolute sum} $$
هذه المعايير كلها مختلفة للمصفوفة نفسها A. على سبيل المثال، إذا كانت
$$ \mathbf {A} = \left[ \begin{array}{r r} 3 & 2 \\ - 1 & 0 \end{array} \right] $$
(a)
(b)
(c)
الشكل 3.3 معايير مختلفة لـ $ \mathbf{A} $
فإن $ ||\mathbf{A}||_1 = 3 + |-1| = 4 $ ، $ ||\mathbf{A}||_2 = 3.7 $ ، و $ ||\mathbf{A}||_\infty = 3 + 2 = 5 $ كما هو مبين في الشكل 3.3. دوال MATLAB norm(a,1)، norm(a,2)=norm(a)، و norm(a,inf) تحسب المعايير الثلاثة.
لمعيار المصفوفات الخصائص التالية:
$$ \begin{array}{l} \left| \left| \mathbf {A} \mathbf {x} \right| \right| \leq \left| \left| \mathbf {A} \right| \right| \left| \left| \mathbf {x} \right| \right| \\ \left| \left| \mathbf {A} + \mathbf {B} \right| \right| \leq \left| \left| \mathbf {A} \right| \right| + \left| \left| \mathbf {B} \right| \right| \\ \left| \left| \mathbf {A} \mathbf {B} \right| \right| \leq \left| \left| \mathbf {A} \right| \right| \left| \left| \mathbf {B} \right| \right| \\ \end{array} $$