3.2 الأساس (Basis)، التمثيل (Representation)، والتعامد المعياري (Orthonormalization) 

    اعتبر فضاءً خطيًا (linear space) حقيقيًا (real) ذا بعد $ n $ ، نرمز له بـ $ \mathcal{R}^n $ . كل متجه (vector) في $ \mathcal{R}^n $ هو رتيبة (n-tuple) من أعداد حقيقية (real numbers) مثل

    $$ \mathbf {x} = \left[ \begin{array}{c} x _ {1} \\ x _ {2} \\ \vdots \\ x _ {n} \end{array} \right] $$

    لتوفير المساحة، نكتبها على الصورة $ \mathbf{x} = [x_1 x_2 \ldots x_n]' $ ، حيث تشير العلامة (prime) إلى المنقول (transpose). ونسمّي $ \mathbf{x} = [0 0 \cdots 0]' \eqqcolon \mathbf{0} $ المتجه الصفري (zero vector).

    تُسمّى مجموعة المتجهات $ \{\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2, \ldots, \mathbf{x}_m\} $ في $ \mathcal{R}^n $ تابعة خطيًا (linearly dependent) إذا وُجدت أعداد حقيقية (real numbers) $ \alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_m $ ، ليست كلها صفراً، بحيث

    $$ \alpha_ {1} \mathbf {x} _ {1} + \alpha_ {2} \mathbf {x} _ {2} + \dots + \alpha_ {m} \mathbf {x} _ {m} = \mathbf {0} \tag {3.4} $$

    إذا كانت المجموعة الوحيدة من $ \alpha_{i} $ التي تتحقق فيها (3.4) هي $ \alpha_{1} = 0, \alpha_{2} = 0, \ldots, \alpha_{m} = 0 $ ، فإن مجموعة المتجهات $ \{\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2, \ldots, \mathbf{x}_m\} $ تُسمّى مستقلة خطيًا (linearly independent).

    إذا كانت مجموعة المتجهات في (3.4) تابعة خطيًا (linearly dependent)، فإن هناك على الأقل قيمة $ \alpha_{i} $ ، لنقل $ \alpha_{1} $ ، تختلف عن الصفر. عندئذ تشير (3.4) إلى

    $$ \begin{array}{l} \mathbf {x} _ {1} = \frac {- 1}{\alpha_ {1}} [ \alpha_ {2} \mathbf {x} _ {2} + \alpha_ {3} \mathbf {x} _ {3} + \dots + \alpha_ {m} \mathbf {x} _ {m} ] \\ =: \beta_ {2} \mathbf {x} _ {2} + \beta_ {3} \mathbf {x} _ {3} + \dots + \beta_ {m} \mathbf {x} _ {m} \\ \end{array} $$

    حيث $ \beta_{i} = -\alpha_{i} / \alpha_{1} $ . يُسمّى مثل هذا التعبير تركيبة خطية (linear combination). وخلاصة القول، إذا كانت مجموعة المتجهات تابعة خطيًا (linearly dependent)، فإن المجموعة تحتوي على متجه واحد على الأقل يمكن التعبير عنه كتركيبة خطية (linear combination) من المتجهات الباقية ويُقال إنه تابع خطيًا ضمن المجموعة. وإذا كانت مجموعة المتجهات مستقلة خطيًا (linearly independent)، فلا يمكن لأي متجه في المجموعة أن يُعبَّر عنه كتركيبة خطية من المتجهات الباقية. لاحظ أن معاملات (coefficients) $ \beta_{i} $ في المعادلة السابقة يمكن أن تكون كلها صفراً. وبالتالي إذا احتوت مجموعةٌ متجهًا صفريًا (zero vector)، فهي تابعة خطيًا.

    يمكن تعريف البعد (dimension) لفضاء خطي (linear space) بأنه أكبر عدد من المتجهات المستقلة خطيًا (linearly independent) في الفضاء. لذا في $ \mathcal{R}^n $ ، يمكننا إيجاد بحد أقصى $ n $ متجهات مستقلة خطيًا. على سبيل المثال، اعتبر $ \mathcal{R}^2 $ أو مستوى (plane). نختار أولاً نقطةً على المستوى لتكون الأصل (origin). عندئذ كل نقطة، لنقل A، على المستوى هي متجه (vector). يمكن تمثيل المتجه بخط مستقيم ينطلق من الأصل وينتهي عند A مع رأس سهم. إذا تطابقت النقطة A مع الأصل، فهو المتجه الصفري (zero vector). في $ \mathcal{R}^2 $ ، أي متجه غير صفري هو مستقل خطيًا (linearly independent) بمفرده. وأي مجموعة تتكون من متجهين غير صفريين ليسا على الخط المستقيم نفسه تكون مستقلة خطيًا. لا يمكننا إيجاد ثلاثة متجهات مستقلة خطيًا أو أكثر في $ \mathcal{R}^2 $ .

    الأساس (Basis) والتمثيل (Representation) 

    تُسمّى مجموعة من المتجهات المستقلة خطيًا (linearly independent) في $ \mathcal{R}^n $ أساسًا (basis) إذا أمكن التعبير عن كل متجه في $ \mathcal{R}^n $ بصورة وحيدة كتركيبة خطية (linear combination) من المجموعة. في $ \mathcal{R}^n $ ، أي مجموعة من $ n $ متجهات مستقلة خطيًا يمكن استخدامها كأساس (basis). لتكن $ \{\mathbf{q}_1, \mathbf{q}_2, \dots, \mathbf{q}_n\} $ مثل هذه المجموعة. عندئذ يمكن التعبير عن كل متجه $ \mathbf{x} $ بصورة وحيدة كما يلي

    $$ \mathbf {x} = \alpha_ {1} \mathbf {q} _ {1} + \alpha_ {2} \mathbf {q} _ {2} + \dots + \alpha_ {n} \mathbf {q} _ {n} \tag {3.5} $$

    عرّف المصفوفة المربعة (square matrix) ذات الأبعاد $ n \times n $

    $$ \mathbf {Q} := \left[ \begin{array}{l l l l} \mathbf {q} _ {1} & \mathbf {q} _ {2} & \dots & \mathbf {q} _ {n} \end{array} \right] \tag {3.6} $$

    عندئذ يمكن كتابة (3.5) على الصورة

    $$ \mathbf {x} = \mathbf {Q} \left[ \begin{array}{c} \alpha_ {1} \\ \alpha_ {2} \\ \vdots \\ \alpha_ {n} \end{array} \right] =: \mathbf {Q} \bar {\mathbf {x}} \tag {3.7} $$

    ونسمّي $ \bar{\mathbf{x}} = [\alpha_{1}\alpha_{2}\dots \alpha_{n}]' $ تمثيل (representation) المتجه $ \mathbf{x} $ بالنسبة إلى الأساس $ \{\mathbf{q}_1,\mathbf{q}_2,\ldots ,\mathbf{q}_n\} $ .

    سنقرن بكل $ \mathcal{R}^n $ الأساس المتعامد المعياري (orthonormal basis) الآتي

    $$ \mathbf {i} _ {1} = \left[ \begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 0 \end{array} \right], \quad \mathbf {i} _ {2} = \left[ \begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 0 \end{array} \right], \dots , \mathbf {i} _ {n - 1} = \left[ \begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \\ 0 \end{array} \right], \quad \mathbf {i} _ {n} = \left[ \begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \end{array} \right] \tag {3.8} $$

    وبالنسبة إلى هذا الأساس، نحصل على

    $$ \mathbf {x} := \left[ \begin{array}{c} x _ {1} \\ x _ {2} \\ \vdots \\ x _ {n} \end{array} \right] = x _ {1} \mathbf {i} _ {1} + x _ {2} \mathbf {i} _ {2} + \dots + x _ {n} \mathbf {i} _ {n} = \mathbf {I} _ {n} \left[ \begin{array}{c} x _ {1} \\ x _ {2} \\ \vdots \\ x _ {n} \end{array} \right] $$

    حيث $ \mathbf{I}_n $ مصفوفة الوحدة (unit matrix) ذات الأبعاد $ n \times n $ . وبعبارة أخرى، فإن تمثيل أي متجه $ \mathbf{x} $ بالنسبة إلى الأساس المتعامد المعياري في (3.8) يساوي المتجه نفسه. للمتجه تمثيلات مختلفة بالنسبة إلى مجموعات أساس (basis) مختلفة، كما يبيّن المثال التالي.

    مثال 3.2.1 اعتبر المتجه $ \mathbf{x} = [1 3]^{\prime} $ في $ \mathcal{R}^2 $ كما هو موضح في الشكل 3.1. المتجهان $ \mathbf{q}_1 = [3 1]^{\prime} $ و $ \mathbf{q}_2 = [2 2]^{\prime} $ مستقلان خطيًا (linearly independent) بوضوح ويمكن استخدامهما كأساس (basis). لنرسم من $ \mathbf{x} $ خطًا موازيًا لخط $ \mathbf{q}_2 $ يقطع خط $ \mathbf{q}_1 $ عند $ -\mathbf{q}_1 $ كما هو مبين وخطًا موازيًا لخط $ \mathbf{q}_1 $ يقطع خط $ \mathbf{q}_2 $ عند $ 2\mathbf{q}_2 $ كما هو مبين. عندئذ يكون تمثيل (representation) $ \mathbf{x} $ بالنسبة إلى $ \{\mathbf{q}_1, \mathbf{q}_2\} $ هو $ [-1 2]' $ . يمكن التحقق من ذلك كما يلي

    $$ \mathbf {x} = \left[ \begin{array}{l} 1 \\ 3 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l l} \mathbf {q} _ {1} & \mathbf {q} _ {2} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{l} - 1 \\ 2 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l l} 3 & 2 \\ 1 & 2 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{l} - 1 \\ 2 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l} 1 \\ 3 \end{array} \right] $$

    لإيجاد تمثيل $ \mathbf{x} $ بالنسبة إلى الأساس $ \{\mathbf{q}_2, \mathbf{i}_2\} $ ، نرسم من $ \mathbf{x} $ خطين متوازيين مع $ \mathbf{i}_2 $ و $ \mathbf{q}_2 $ . يتقاطعان عند $ 0.5\mathbf{q}_2 $ و $ 2\mathbf{i}_2 $ . وبالتالي فإن تمثيل $ \mathbf{x} $ بالنسبة إلى $ \{\mathbf{q}_2, \mathbf{i}_2\} $ هو $ [0.5 - 2]' $ (تحقق).

    معايير المتجهات (Norms of vectors) 

    مفهوم المعيار (norm) تعميم للطول (length) أو المقدار (magnitude). يمكن تعريف أي دالة حقيقية القيمة (real-valued function) للمتجه $ \mathbf{x} $ ، يُرمز لها بـ $ ||\mathbf{x}|| $ ، على أنها معيار (norm) إذا كان لها الخصائص التالية:

    1. $ ||\mathbf{x}|| \geq 0 $ لكل $ \mathbf{x} $ و $ ||\mathbf{x}|| = 0 $ إذا وفقط إذا $ \mathbf{x} = \mathbf{0} $ .
    2. $ ||\alpha \mathbf{x}|| = |\alpha ||\mathbf{x}|| $ لأي $ \alpha $ حقيقي
    3. $ ||\mathbf{x}_1 + \mathbf{x}_2||\leq ||\mathbf{x}_1|| + ||\mathbf{x}_2|| $ لكل $ \mathbf{x}_1 $ و $ \mathbf{x}_2 $

    تُسمّى المتباينة الأخيرة متباينة المثلث (triangular inequality).

    لتكن $ \mathbf{x} = [x_1 x_2 \dots x_n]' $ . عندئذ يمكن اختيار معيار (norm) $ \mathbf{x} $ كأي واحد مما يأتي

    $$ \left| \left| \mathbf {x} \right| \right| _ {1} := \sum_ {i = 1} ^ {n} | x _ {i} | $$
    $$ \begin{array}{l} \left| \left| \mathbf {x} \right| \right| _ {2} := \sqrt {\mathbf {x} ^ {\prime} \mathbf {x}} = \left(\sum_ {i = 1} ^ {n} \left| x _ {i} \right| ^ {2}\right) ^ {1 / 2} \\ \left| \left| \mathbf {x} \right| \right| _ {\infty} := \max _ {i} | x _ {i} | \\ \end{array} $$

    تُسمّى هذه على الترتيب معيار 1 (1-norm)، ومعيار 2 أو المعيار الإقليدي (Euclidean norm)، والمعيار اللانهائي (infinite norm). معيار 2 هو طول المتجه من الأصل. نستخدم حصريًا، ما لم يُذكر خلاف ذلك، المعيار الإقليدي (Euclidean norm)، وسيُحذف الرمز السفلي (subscript) 2. على سبيل المثال، للمتجه $ \mathbf{x} = [2 - 4]' $ ، لدينا $ ||\mathbf{x}||_1 = 2 + |-4| = 6 $ ، $ ||\mathbf{x}|| = ||\mathbf{x}||_2 = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 4.47 $ ، و $ ||\mathbf{x}||_{\infty} = 4 $ .

    في MATLAB، يمكن الحصول على المعايير (norms) التي قُدمت للتو باستخدام الدوال norm(x, 1)، norm(x, 2) = norm(x)، و norm(x, inf).

    التعامد المعياري (Orthonormalization) 

    يُقال إن المتجه $ \mathbf{x} $ مُطبَّع (normalized) إذا كان معياره الإقليدي (Euclidean norm) يساوي 1 أو إذا كان $ \mathbf{x}'\mathbf{x} = 1 $ . لاحظ أن $ \mathbf{x}'\mathbf{x} $ عدد قياسي (scalar) وأن $ \mathbf{x}\mathbf{x}' $ مصفوفة (matrix) بأبعاد $ n \times n $ . يُقال إن متجهين، $ \mathbf{x}_1 $ و $ \mathbf{x}_2 $ ، متعامدان (orthogonal) إذا كان $ \mathbf{x}_1' \mathbf{x}_2 = \mathbf{x}_2' \mathbf{x}_1 = 0 $ . وتُسمّى مجموعة متجهات $ \mathbf{x}_i, i = 1, 2, \ldots, m $ ، متعامدة معيارياً (orthonormal) إذا

    $$ \mathbf {x} _ {i} ^ {\prime} \mathbf {x} _ {j} = \left\{ \begin{array}{l l} 0 & \text{if} i \neq j \\ 1 & \text{if} i = j \end{array} \right. $$

    إذا أُعطيت مجموعة متجهات مستقلة خطيًا (linearly independent) $ \mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \ldots, \mathbf{e}_m $ . يمكننا الحصول على مجموعة متعامدة معيارياً (orthonormal set) باستخدام الإجراء (procedure) الآتي:

    $$ \mathbf {u} _ {1} := \mathbf {e} _ {1} \quad \mathbf {q} _ {1} := \mathbf {u} _ {1} / | | \mathbf {u} _ {1} | | $$
    $$ \mathbf {u} _ {2} := \mathbf {e} _ {2} - \left(\mathbf {q} _ {1} ^ {\prime} \mathbf {e} _ {2}\right) \mathbf {q} _ {1} \quad \mathbf {q} _ {2} := \mathbf {u} _ {2} / | | \mathbf {u} _ {2} | | $$

    „,- „,-

    $$ \mathbf {u} _ {m} := \mathbf {e} _ {m} - \sum_ {k = 1} ^ {m - 1} \left(\mathbf {q} _ {k} ^ {\prime} \mathbf {e} _ {m}\right) \mathbf {q} _ {k} \quad \mathbf {q} _ {m} := \mathbf {u} _ {m} / | | \mathbf {u} _ {m} | | $$

    المعادلة الأولى تُطبِّع المتجه $ \mathbf{e}_1 $ ليكون معياره 1. المتجه $ (\mathbf{q}_1' \mathbf{e}_2) \mathbf{q}_1 $ هو إسقاط (projection) المتجه $ \mathbf{e}_2 $ على امتداد $ \mathbf{q}_1 $ . إن طرحه من $ \mathbf{e}_2 $ يعطي الجزء العمودي (vertical part) $ \mathbf{u}_2 $ . ثم يُطبَّع إلى 1 كما هو موضح في الشكل 3.2. باستخدام هذا الإجراء، يمكننا الحصول على مجموعة متعامدة معيارياً (orthonormal set). يُسمّى هذا إجراء Schmidt للتعامد المعياري (Schmidt orthonormalization procedure).

    لتكن $ \mathbf{A} = [\mathbf{a}_1\mathbf{a}_2\dots \mathbf{a}_m] $ مصفوفة (matrix) ذات أبعاد $ n\times m $ مع $ m\leq n $ . إذا كانت كل أعمدة (columns) $ \mathbf{A} $ أو $ \{\mathbf{a}_i,i = 1,2,\ldots ,m\} $ متعامدة معيارياً (orthonormal)، فإن

    $$ \mathbf {A} ^ {\prime} \mathbf {A} = \left[ \begin{array}{c} \mathbf {a} _ {1} ^ {\prime} \\ \mathbf {a} _ {2} ^ {\prime} \\ \vdots \\ \mathbf {a} _ {m} ^ {\prime} \end{array} \right] [ \mathbf {a} _ {1} \mathbf {a} _ {2} \dots \mathbf {a} _ {m} ] = \left[ \begin{array}{c c c c} 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 1 & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & 1 \end{array} \right] = \mathbf {I} _ {m} $$

    حيث $ \mathbf{I}_m $ مصفوفة الوحدة (unit matrix) من الرتبة $ m $ . لاحظ أنه إذا كان $ m < n $ ، فإن $ \mathbf{A}\mathbf{A}' \neq \mathbf{I}_n $ . انظر المسألة 3.5.


    الشكل 3.2 إجراء Schmidt للتعامد المعياري (Schmidt orthonormalization procedure).

    مثال 3.2.2 اعتبر المصفوفة (matrix)

    $$ \mathbf {A} = \left[ \begin{array}{l l l} \mathbf {a} _ {1} & \mathbf {a} _ {2} & \mathbf {a} _ {3} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l l l} 6 & 3 & 1 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 8 & 4 & 5 \end{array} \right] $$

    متجهات الأعمدة (column vectors) الثلاثة مستقلة خطيًا (linearly independent) ويمكن استخدامها كأساس (basis) لـ $ \mathcal{R}^3 $ . نطوّر أساسًا متعامدًا معياريًا (orthonormal basis). المتجه $ \mathbf{a}_1 $ له معيار 2 (2-norm)

    $$ \left| \left| \mathbf {a} _ {1} \right| \right| = \sqrt {6 ^ {2} + 0 ^ {2} + 8 ^ {2}} = \sqrt {1 0 0} = 1 0 $$

    ويمكن تطبيعه كما يلي

    $$ \mathbf {q} _ {1} := \mathbf {a} _ {1} / | | \mathbf {a} _ {1} | | = \left[ \begin{array}{l} 0. 6 \\ 0 \\ 0. 8 \end{array} \right] = [ \mathbf {a} _ {1} \quad \mathbf {a} _ {2} \quad \mathbf {a} _ {3} ] \left[ \begin{array}{l} 0. 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right] $$

    حيث عبّرنا أيضًا عن $ \mathbf{q}_1 $ بدلالة أساس (basis) $ \mathbf{a}_i $ . بعد ذلك نعرّف

    $$ \bar {\mathbf {q}} _ {2} := \mathbf {a} _ {2} - 0. 5 \mathbf {a} _ {1} = \left[ \begin{array}{l} 0 \\ 2 \\ 0 \end{array} \right] $$

    وبما أن $ \mathbf{q}_1' \bar{\mathbf{q}}_2 = 0.6 \times 0 + 0 \times 2 + 0.8 \times 0 = 0 $ ، فإن $ \bar{\mathbf{q}}_2 $ متعامد (orthogonal) مع $ \mathbf{q}_1 $ . نطبّع $ \bar{\mathbf{q}}_2 $ كما يلي

    $$ \mathbf {q} _ {2} := \left[ \begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right] = 0. 5 \bar {\mathbf {q}} _ {2} = - 0. 2 5 \mathbf {a} _ {1} + 0. 5 \mathbf {a} _ {2} = \left[ \begin{array}{l l l} \mathbf {a} _ {1} & \mathbf {a} _ {2} & \mathbf {a} _ {3} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} - 0. 2 5 \\ 0. 5 \\ 0 \end{array} \right] $$

    أخيرًا، نعرّف

    $$ \bar {\mathbf {q}} _ {3} := \mathbf {a} _ {3} - \mathbf {a} _ {1} = \left[ \begin{array}{r r} 4 & \\ 0 & \\ - 3 & \end{array} \right] $$

    يمكننا بسهولة التحقق من أن المتجهات الثلاثة $ \mathbf{q}_1, \mathbf{q}_2 $ و $ \bar{\mathbf{q}}_3 $ متعامدة (orthogonal) فيما بينها. على سبيل المثال، لدينا $ \mathbf{q}_1' \bar{\mathbf{q}}_3 = 0.6 \times 4 + 0 \times 0 + 0.8 \times (-3) = 0 $ . المتجه $ \bar{\mathbf{q}}_3 $ له معيار (norm) مقداره $ \sqrt{16 + 9} = 5 $ ويمكن تطبيعه كما يلي

    $$ \mathbf {q} _ {3} := \bar {\mathbf {q}} _ {3} / 5 = \left[ \begin{array}{c} 0. 8 \\ 0 \\ - 0. 6 \end{array} \right] = - 0. 2 \mathbf {a} _ {1} + 0. 2 \mathbf {a} _ {3} = \left[ \begin{array}{l l l} \mathbf {a} _ {1} & \mathbf {a} _ {2} & \mathbf {a} _ {3} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} - 0. 2 \\ 0 \\ 0. 2 \end{array} \right] $$

    تشكّل مجموعة المتجهات الثلاثة $ \mathbf{q}_i $ ، من أجل $ i = 1,2,3 $ ، أساسًا متعامدًا معياريًا (orthonormal basis). ويمكن التعبير عنها كما يلي

    $$ \begin{array}{l} \mathbf {Q} := \left[ \begin{array}{l l l} \mathbf {q} _ {1} & \mathbf {q} _ {2} & \mathbf {q} _ {3} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c c c} 0. 6 & 0 & 0. 8 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0. 8 & 0 & - 0. 6 \end{array} \right] \\ = \left[ \begin{array}{l l l} \mathbf {a} _ {1} & \mathbf {a} _ {2} & \mathbf {a} _ {3} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c c c} 0. 1 & - 0. 2 5 & - 0. 2 \\ 0 & - 0. 5 & 0 \\ 0 & 0 & 0. 2 \end{array} \right] \\ \end{array} $$

    هذه المعادلة مرتبطة ارتباطًا وثيقًا بتحليل QR (QR decomposition) الذي سيُستخدم في الفصل 7.

    تُسمّى المصفوفة المربعة الحقيقية (real square matrix) $ \mathbf{A} $ مصفوفة متعامدة (orthogonal matrix) إذا كانت أعمدتها تشكّل أساسًا متعامدًا معياريًا (orthonormal basis) أو إذا كان $ \mathbf{A}'\mathbf{A} = \mathbf{I} $ . ويتضح أن مثل هذه المصفوفة لها أيضًا الخاصية $ \mathbf{A}\mathbf{A}' = \mathbf{I} $ . يمكن التحقق من ذلك للمصفوفة المتعامدة $ \mathbf{Q} $ في المثال السابق وسيُثبت لاحقًا. لاحظ أنه إذا لم تكن $ \mathbf{A} $ مربعة مثل $ 3 \times 2 $ ، فإن $ \mathbf{A}'\mathbf{A} = \mathbf{I}_2 $ ولكن $ \mathbf{A}\mathbf{A}' \neq \mathbf{I}_3 $ .