اعتبر المصفوفة $ \mathbf{A} $ ذات الأبعاد $ n \times n $ . إنها تصوِّر $ \mathcal{R}^n $ إلى نفسه. إذا قرنّا بـ $ \mathcal{R}^n $ الأساس المتعامد المعياري (orthonormal basis) $ \{\mathbf{i}_1, \mathbf{i}_2, \ldots, \mathbf{i}_n\} $ في (3.8)، فإن العمود $ i $ من $ \mathbf{A} $ هو تمثيل (representation) $ \mathbf{A}\mathbf{i}_i $ بالنسبة إلى الأساس المتعامد المعياري. الآن إذا اخترنا مجموعة أساس مختلفة $ \{\mathbf{q}_1, \mathbf{q}_2, \ldots, \mathbf{q}_n\} $ ، فإن للمصفوفة $ \mathbf{A} $ تمثيلًا مختلفًا $ \bar{\mathbf{A}} $ . يتضح ذلك أولًا بالمثال التالي؛ فالعمود $ i $ من $ \bar{\mathbf{A}} $ ، كما سنُثبت بعد قليل، هو تمثيل $ \mathbf{A}\mathbf{q}_i $ بالنسبة إلى الأساس $ \{\mathbf{q}_1, \mathbf{q}_2, \ldots, \mathbf{q}_n\} $ .
مثال 3.4.1 اعتبر المصفوفة
$$ \mathbf {A} = \left[ \begin{array}{r r r} 3 & 2 & - 1 \\ - 2 & 1 & 0 \\ 4 & 3 & 1 \end{array} \right] \tag {3.21} $$
لتكن $ \mathbf{b} = [001]^{\prime} $ . عندئذ لدينا
$$ \mathbf {A} \mathbf {b} = \left[ \begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right], \quad \mathbf {A} ^ {2} \mathbf {b} = \mathbf {A} (\mathbf {A} \mathbf {b}) = \left[ \begin{array}{c} - 4 \\ 2 \\ - 3 \end{array} \right], \quad \mathbf {A} ^ {3} \mathbf {b} = \mathbf {A} (\mathbf {A} ^ {2} \mathbf {b}) = \left[ \begin{array}{c} - 5 \\ 1 0 \\ - 1 3 \end{array} \right] $$
يمكن التحقق من أن العلاقة التالية صحيحة:
$$ \mathbf {A} ^ {3} \mathbf {b} = 1 7 \mathbf {b} - 1 5 \mathbf {A b} + 5 \mathbf {A} ^ {2} \mathbf {b} \tag {3.22} $$
وبما أن المتجهات الثلاثة $ \mathbf{b} $ ، $ \mathbf{A}\mathbf{b} $ ، و $ \mathbf{A}^2\mathbf{b} $ مستقلة خطيًا (linearly independent)، فيمكن استخدامها كأساس (basis). نحسب الآن تمثيل (representation) $ \mathbf{A} $ بالنسبة إلى هذا الأساس. من الواضح أن
$$ \begin{array}{l} \mathbf {A} (\mathbf {b}) = [ \mathbf {b} \mathbf {A b} \mathbf {A} ^ {2} \mathbf {b} ] \left[ \begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right] \\ \mathbf {A} (\mathbf {A b}) = [ \mathbf {b A b A ^ {2} b} ] \left[ \begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right] \\ \mathbf {A} (\mathbf {A} ^ {2} \mathbf {b}) = [ \mathbf {b} \mathbf {A b} \mathbf {A} ^ {2} \mathbf {b} ] \left[ \begin{array}{r} 1 7 \\ - 1 5 \\ 5 \end{array} \right] \\ \end{array} $$
حيث تُستمد المعادلة الأخيرة من (3.22). إذًا فإن تمثيل $ \mathbf{A} $ بالنسبة إلى الأساس $ \{\mathbf{b},\mathbf{Ab},\mathbf{A}^2\mathbf{b}\} $ هو
$$ \bar {\mathbf {A}} = \left[ \begin{array}{r r r} 0 & 0 & 1 7 \\ 1 & 0 & - 1 5 \\ 0 & 1 & 5 \end{array} \right] \tag {3.23} $$
يمكن تعميم المناقشة السابقة إلى الحالة العامة. لتكن $ \mathbf{A} $ مصفوفة بأبعاد $ n \times n $ . إذا وُجد متجه $ n \times 1 $ هو $ \mathbf{b} $ بحيث إن المتجهات $ n $ وهي $ \mathbf{b}, \mathbf{Ab}, \ldots, \mathbf{A}^{n-1}\mathbf{b} $ مستقلة خطيًا، وإذا كان
$$ \mathbf {A} ^ {n} \mathbf {b} = \beta_ {1} \mathbf {b} + \beta_ {2} \mathbf {A b} + \dots + \beta_ {n} \mathbf {A} ^ {n - 1} \mathbf {b} $$
فإن تمثيل $ \mathbf{A} $ بالنسبة إلى الأساس $ \{\mathbf{b},\mathbf{Ab},\dots,\mathbf{A}^{n - 1}\mathbf{b}\} $ هو
$$ \bar {\mathbf {A}} = \left[ \begin{array}{c c c c c} 0 & 0 & \dots & 0 & \beta_ {1} \\ 1 & 0 & \dots & 0 & \beta_ {2} \\ 0 & 1 & \dots & 0 & \beta_ {3} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & 0 & \beta_ {n - 1} \\ 0 & 0 & \dots & 1 & \beta_ {n} \end{array} \right] \tag {3.24} $$
تُسمّى هذه المصفوفة بالصيغة المرافقة (companion form).
نطوّر الآن معادلة لربط $ \mathbf{A} $ و $ \bar{\mathbf{A}} $ . اعتبر المعادلة
$$ \mathbf {A} \mathbf {x} = \mathbf {y} \tag {3.25} $$
المصفوفة المربعة $ \mathbf{A} $ تصوِّر $ \mathbf{x} $ في $ \mathcal{R}^n $ إلى $ \mathbf{y} $ في $ \mathcal{R}^n $ . بالنسبة إلى الأساس $ \{\mathbf{q}_1, \mathbf{q}_2, \ldots, \mathbf{q}_n\} $ ، تصبح المعادلة
$$ \bar {\mathbf {A}} \bar {\mathbf {x}} = \bar {\mathbf {y}} \tag {3.26} $$
حيث إن $ \bar{\mathbf{x}} $ و $ \bar{\mathbf{y}} $ هما تمثيلَا $ \mathbf{x} $ و $ \mathbf{y} $ بالنسبة إلى الأساس $ \{\mathbf{q}_1, \mathbf{q}_2, \ldots, \mathbf{q}_n\} $ . كما نوقش في (3.7)، فهما مرتبطان بـ
$$ \mathbf {x} = \mathbf {Q} \bar {\mathbf {x}} \quad \mathbf {y} = \mathbf {Q} \bar {\mathbf {y}} $$
مع
$$ \mathbf {Q} = \left[ \begin{array}{l l l l} \mathbf {q} _ {1} & \mathbf {q} _ {2} & \dots & \mathbf {q} _ {n} \end{array} \right] \tag {3.27} $$
وهي مصفوفة غير منفردة (nonsingular) بأبعاد $ n \times n $ . بإحلال ذلك في (3.25) نحصل على
$$ \mathbf {A} \mathbf {Q} \bar {\mathbf {x}} = \mathbf {Q} \bar {\mathbf {y}} \quad \text{or} \quad \mathbf {Q} ^ {- 1} \mathbf {A} \mathbf {Q} \bar {\mathbf {x}} = \bar {\mathbf {y}} \tag {3.28} $$
بمقارنة ذلك مع (3.26) نحصل على
$$ \bar {\mathbf {A}} = \mathbf {Q} ^ {- 1} \mathbf {A} \mathbf {Q} \quad \text{or} \quad \mathbf {A} = \mathbf {Q} \bar {\mathbf {A}} \mathbf {Q} ^ {- 1} \tag {3.29} $$
يُسمّى هذا تحويل التشابه (similarity transformation)، ويُقال إن $ \mathbf{A} $ و $ \bar{\mathbf{A}} $ متشابهان (similar). نكتب (3.29) على الصورة
$$ \mathbf {A Q} = \mathbf {Q} \bar {\mathbf {A}} $$
أو
$$ \mathbf {A} [ \mathbf {q} _ {1} \mathbf {q} _ {2} \dots \mathbf {q} _ {n} ] = [ \mathbf {A q} _ {1} \mathbf {A q} _ {2} \dots \mathbf {A q} _ {n} ] = [ \mathbf {q} _ {1} \mathbf {q} _ {2} \dots \mathbf {q} _ {n} ] \bar {\mathbf {A}} $$
وهذا يبيّن أن العمود $ i $ من $ \bar{\mathbf{A}} $ هو بالفعل تمثيل $ \mathbf{A}\mathbf{q}_i $ بالنسبة إلى الأساس $ \{\mathbf{q}_1, \mathbf{q}_2, \dots, \mathbf{q}_n\} $ .