3.5 الصيغة القطرية (Diagonal Form) وصيغة Jordan (Jordan Form) 

    للمصفوفة المربعة $ \mathbf{A} $ تمثيلات مختلفة بالنسبة إلى مجموعات أساس (basis) مختلفة. في هذا القسم، نقدّم مجموعة أساس بحيث يكون التمثيل قطريًا (diagonal) أو قطريًا على شكل كتل (block diagonal).

    يُسمّى العدد الحقيقي أو المركب $ \lambda $ قيمة ذاتية (eigenvalue) للمصفوفة الحقيقية $ \mathbf{A} $ ذات الأبعاد $ n \times n $ إذا وُجد متجه غير صفري $ \mathbf{x} $ بحيث $ \mathbf{Ax} = \lambda \mathbf{x} $ . ويُسمّى أي متجه غير صفري $ \mathbf{x} $ يحقق $ \mathbf{Ax} = \lambda \mathbf{x} $ متجهًا ذاتيًا (eigenvector) يمينيًا (right) للمصفوفة $ \mathbf{A} $ مرتبطًا بالقيمة الذاتية $ \lambda $ . لإيجاد القيمة الذاتية لـ $ \mathbf{A} $ ، نكتب $ \mathbf{Ax} = \lambda \mathbf{x} = \lambda \mathbf{I} \mathbf{x} $ على الصورة

    $$ (\mathbf {A} - \lambda \mathbf {I}) \mathbf {x} = \mathbf {0} \tag {3.30} $$

    حيث إن $ \mathbf{I} $ مصفوفة الوحدة (unit matrix) من الرتبة $ n $ . هذه معادلة متجانسة (homogeneous). إذا كانت المصفوفة $ (\mathbf{A} - \lambda \mathbf{I}) $ غير منفردة (nonsingular)، فإن الحل الوحيد لـ(3.30) هو $ \mathbf{x} = \mathbf{0} $ (نظرية 3.3). لذا لكي تمتلك (3.30) حلًا غير صفري $ \mathbf{x} $ ، يجب أن تكون المصفوفة $ (\mathbf{A} - \lambda \mathbf{I}) $ منفردة (singular) أو أن يكون محددها صفرًا. نعرّف

    $$ \Delta (\lambda) = \det (\lambda \mathbf {I} - \mathbf {A}) $$

    وهو كثير حدود (polynomial) من الدرجة $ n $ بمعاملات حقيقية، ويُسمّى كثير الحدود المميِّز (characteristic polynomial) للمصفوفة $ \mathbf{A} $ . إذا كان $ \lambda $ جذرًا لهذا كثير الحدود، فإن محدد $ (\mathbf{A} - \lambda \mathbf{I}) $ يساوي صفرًا وتمتلك (3.30) حلًا غير صفري واحدًا على الأقل. لذا فإن كل جذر لـ $ \Delta(\lambda) $ هو قيمة ذاتية (eigenvalue) لـ $ \mathbf{A} $ . وبما أن $ \Delta (\lambda) $ من الدرجة $ n $ ، فإن المصفوفة $ \mathbf{A} $ ذات الأبعاد $ n\times n $ لها $ n $ قيم ذاتية (ليست بالضرورة متميزة كلها).

    نذكر أن المصفوفات

    $$ \left[ \begin{array}{c c c c} 0 & 0 & 0 & - \alpha_ {4} \\ 1 & 0 & 0 & - \alpha_ {3} \\ 0 & 1 & 0 & - \alpha_ {2} \\ 0 & 0 & 1 & - \alpha_ {1} \end{array} \right] \quad \left[ \begin{array}{c c c c} - \alpha_ {1} & - \alpha_ {2} & - \alpha_ {3} & - \alpha_ {4} \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array} \right] $$

    ومقلوباتها

    $$ \left[ \begin{array}{c c c c} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ - \alpha_ {4} & - \alpha_ {3} & - \alpha_ {2} & - \alpha_ {1} \end{array} \right] \quad \left[ \begin{array}{c c c c} - \alpha_ {1} & 1 & 0 & 0 \\ - \alpha_ {2} & 0 & 1 & 0 \\ - \alpha_ {3} & 0 & 0 & 1 \\ - \alpha_ {4} & 0 & 0 & 0 \end{array} \right] $$

    كلها لها كثير الحدود المميِّز التالي:

    $$ \Delta (\lambda) = \lambda^ {4} + \alpha_ {1} \lambda^ {3} + \alpha_ {2} \lambda^ {2} + \alpha_ {3} \lambda + \alpha_ {4} $$

    يمكن تشكيل هذه المصفوفات بسهولة من معاملات $ \Delta(\lambda) $ وتُسمّى مصفوفات الصيغة المرافقة (companion-form matrices). ستظهر مصفوفات الصيغة المرافقة مرارًا لاحقًا. المصفوفة في (3.24) هي في مثل هذه الصيغة.

    القيم الذاتية لـ A كلها متميزة 

    لتكن $ \lambda_{i}, i = 1, 2, \ldots, n $ ، هي القيم الذاتية للمصفوفة $ \mathbf{A} $ ، ولتكن جميعها متميزة. لتكن $ \mathbf{q}_{i} $ متجهًا ذاتيًا (eigenvector) لـ $ \mathbf{A} $ مرتبطًا بـ $ \lambda_{i} $ ، أي $ \mathbf{A}\mathbf{q}_{i} = \lambda_{i}\mathbf{q}_{i} $ . عندئذ تكون مجموعة المتجهات الذاتية $ \{\mathbf{q}_{1}, \mathbf{q}_{2}, \ldots, \mathbf{q}_{n}\} $ مستقلة خطيًا (linearly independent) (انظر المرجع 6، الصفحات 34-35) ويمكن استخدامها كأساس (basis). لتكن $ \hat{\mathbf{A}} $ تمثيل (representation) $ \mathbf{A} $ بالنسبة إلى هذا الأساس. عندئذ يكون العمود الأول من $ \hat{\mathbf{A}} $ هو تمثيل $ \mathbf{A}\mathbf{q}_{1} = \lambda_{1}\mathbf{q}_{1} $ بالنسبة إلى $ \{\mathbf{q}_{1}, \mathbf{q}_{2}, \ldots, \mathbf{q}_{n}\} $ . ومن

    $$ \mathbf {A q} _ {1} = \lambda_ {1} \mathbf {q} _ {1} = [ \mathbf {q} _ {1} \quad \mathbf {q} _ {2} \dots \mathbf {q} _ {n} ] \left[ \begin{array}{l} \lambda_ {1} \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{array} \right] $$

    نستنتج أن العمود الأول من $ \hat{\mathbf{A}} $ هو $ [\lambda_10\cdots 0]' $ . العمود الثاني من $ \hat{\mathbf{A}} $ هو تمثيل $ \mathbf{A}\mathbf{q}_2 = \lambda_2\mathbf{q}_2 $ بالنسبة إلى $ \{\mathbf{q}_1,\mathbf{q}_2,\dots ,\mathbf{q}_n\} $ ، أي $ [0\lambda_20\cdots 0]' $ . وبالاستمرار، يمكننا إثبات أن

    $$ \hat {\mathbf {A}} = \left[ \begin{array}{c c c c c} \lambda_ {1} & 0 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & \lambda_ {2} & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_ {3} & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \dots & \lambda_ {n} \end{array} \right] \tag {3.31} $$

    وهذه مصفوفة قطرية (diagonal matrix). لذا نستنتج أن كل مصفوفة ذات قيم ذاتية متميزة لها تمثيل قطري باستخدام متجهاتها الذاتية كأساس. ترتيب المتجهات الذاتية بطريقة مختلفة يعطي مصفوفات قطرية مختلفة للمصفوفة نفسها $ \mathbf{A} $ .

    إذا عرّفنا

    $$ \mathbf {Q} = \left[ \begin{array}{l l l l} \mathbf {q} _ {1} & \mathbf {q} _ {2} & \dots & \mathbf {q} _ {n} \end{array} \right] \tag {3.32} $$

    فإن المصفوفة $ \hat{\mathbf{A}} $ تساوي

    $$ \hat {\mathbf {A}} = \mathbf {Q} ^ {- 1} \mathbf {A} \mathbf {Q} \tag {3.33} $$

    كما اشتُقّ في (3.29). حساب (3.33) يدويًا ليس بسيطًا بسبب الحاجة إلى حساب معكوس $ \mathbf{Q} $ . ومع ذلك، إذا عرفنا $ \hat{\mathbf{A}} $ ، فيمكننا التحقق من (3.33) بفحص $ \mathbf{QA} = \mathbf{AQ} $ .

    مثال 3.5.1 اعتبر المصفوفة

    $$ \mathbf {A} = \left[ \begin{array}{l l l} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \end{array} \right] $$

    كثير حدودها المميِّز هو

    $$ \begin{array}{l} \Delta (\lambda) = \det (\lambda \mathbf {I} - \mathbf {A}) = \det \left[ \begin{array}{c c c} \lambda & 0 & 0 \\ - 1 & \lambda & - 2 \\ 0 & - 1 & \lambda - 1 \end{array} \right] \\ = \lambda [ \lambda (\lambda - 1) - 2 ] = (\lambda - 2) (\lambda + 1) \lambda \\ \end{array} $$

    إذن للمصفوفة $ \mathbf{A} $ قيم ذاتية 2 و-1 و0. المتجه الذاتي (eigenvector) المرتبط بـ $ \lambda = 2 $ هو أي حل غير صفري للمعادلة

    $$ (\mathbf {A} - 2 \mathbf {I}) \mathbf {q} _ {1} = \left[ \begin{array}{r r r} - 2 & 0 & 0 \\ 1 & - 2 & 2 \\ 0 & 1 & - 1 \end{array} \right] \mathbf {q} _ {1} = \mathbf {0} $$

    وبالتالي فإن $ \mathbf{q}_1 = [0 1 1]' $ متجه ذاتي مرتبط بـ $ \lambda = 2 $ . لاحظ أن المتجه الذاتي غير فريد؛ ويمكن اختيار $ [0 \alpha \alpha]' $ لأي $ \alpha $ حقيقي غير صفري كمتجه ذاتي أيضًا. المتجه الذاتي المرتبط بـ $ \lambda = -1 $ هو أي حل غير صفري للمعادلة

    $$ (\mathbf {A} - (- 1) \mathbf {I}) \mathbf {q} _ {2} = \left[ \begin{array}{l l l} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \end{array} \right] \mathbf {q} _ {2} = \mathbf {0} $$

    والتي تعطي $ \mathbf{q}_2 = [0 - 21]' $ . وبالمثل، يمكن حساب المتجه الذاتي المرتبط بـ $ \lambda = 0 $ على أنه $ \mathbf{q}_3 = [21 - 1]' $ . وعليه فإن تمثيل $ \mathbf{A} $ بالنسبة إلى $ \{\mathbf{q}_1, \mathbf{q}_2, \mathbf{q}_3\} $ هو

    $$ \hat {\mathbf {A}} = \left[ \begin{array}{r r r} 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right] \tag {3.34} $$

    وهي مصفوفة قطرية تتضمن القيم الذاتية على القطر. يمكن أيضًا الحصول على هذه المصفوفة بحساب

    $$ \hat {\mathbf {A}} = \mathbf {Q} ^ {- 1} \mathbf {A} \mathbf {Q} $$

    مع

    $$ \mathbf {Q} = \left[ \begin{array}{l l l} \mathbf {q} _ {1} & \mathbf {q} _ {2} & \mathbf {q} _ {3} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{r r r} 0 & 0 & 2 \\ 1 & - 2 & 1 \\ 1 & 1 & - 1 \end{array} \right] \tag {3.35} $$

    غير أن التحقق من $ \mathbf{Q}\hat{\mathbf{A}} = \mathbf{A}\mathbf{Q} $ أبسط، أو

    $$ \left[ \begin{array}{r r r} 0 & 0 & 2 \\ 1 & - 2 & 1 \\ 1 & 1 & - 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{r r r} 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{r r r} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{r r r} 0 & 0 & 2 \\ 1 & - 2 & 1 \\ 1 & 1 & - 1 \end{array} \right] $$

    يمكن الحصول على النتيجة في هذا المثال بسهولة باستخدام MATLAB. بكتابة

    $$ a = \left[ \begin{array}{l l l l l l l l} 0 & 0 & 0; 1 & 0 & 2; 0 & 1 & 1 \end{array} \right]; [ q, d ] = e i g (a) $$

    نحصل على

    $$ q = \left[ \begin{array}{c c c} 0 & 0 & 0. 8 1 8 6 \\ 0. 7 0 7 1 & 0. 8 9 4 4 & 0. 4 0 8 2 \\ 0. 7 0 7 1 & - 0. 4 4 7 2 & - 0. 4 0 8 2 \end{array} \right], \quad d = \left[ \begin{array}{c c c} 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right] $$

    حيث إن $ \mathfrak{d} $ هي المصفوفة القطرية في (3.34). المصفوفة $ \mathfrak{q} $ مختلفة عن $ \mathbf{Q} $ في (3.35)؛ لكن أعمدتها المقابلة تختلف فقط بثابت. يعود ذلك إلى عدم تفرد المتجهات الذاتية وكل عمود من $ \mathfrak{q} $ مُطبَّع ليكون معياره (norm) 1 في MATLAB. إذا كتبنا eig(a) دون معامل في الطرف الأيسر، فإن MATLAB ينتج فقط القيم الذاتية الثلاث 2 و-1 و0. نذكر أن القيم الذاتية في MATLAB لا تُحسب من كثير الحدود المميِّز. إن حساب كثير الحدود المميِّز باستخدام توسعة Laplace ثم إيجاد جذوره غير موثوق عدديًا، خاصة عند وجود جذور مكررة. تُحسب القيم الذاتية في MATLAB مباشرة من المصفوفة باستخدام تحويلات التشابه (similarity transformations). بمجرد حساب جميع القيم الذاتية، يصبح كثير الحدود المميِّز مساويًا لـ $ \prod (\lambda - \lambda_i) $ . في MATLAB، كتابة $ r = eig(a) $ ; poly(r) تعطي كثير الحدود المميِّز.

    مثال 3.5.2 اعتبر المصفوفة

    $$ \mathbf {A} = \left[ \begin{array}{r r r} - 1 & 1 & 1 \\ 0 & 4 & - 1 3 \\ 0 & 1 & 0 \end{array} \right] $$

    كثير الحدود المميِّز لها هو $ (\lambda + 1)(\lambda^2 - 4\lambda + 13) $ . إذن للمصفوفة $ \mathbf{A} $ القيم الذاتية $ -1, 2 \pm 3j $ . لاحظ أن القيم الذاتية المركبة المترافقة يجب أن تظهر في أزواج لأن $ \mathbf{A} $ لها معاملات حقيقية فقط. المتجهات الذاتية المرتبطة بـ $ -1 $ و $ 2 + 3j $ هي، على الترتيب، $ [100]^{\prime} $ و $ [j - 3 + 2j j]^{\prime} $ . المتجه الذاتي المرتبط بـ $ \lambda = 2 - 3j $ هو $ [-j - 3 - 2j - j]^{\prime} $ ، وهو المترافق المركب (complex conjugate) للمتجه الذاتي المرتبط بـ $ \lambda = 2 + 3j $ . وعليه نحصل على

    $$ \mathbf {Q} = \left[ \begin{array}{c c c} 1 & j & - j \\ 0 & - 3 + 2 j & - 3 - 2 j \\ 0 & j & j \end{array} \right] \quad \text{and} \quad \hat {\mathbf {A}} = \left[ \begin{array}{c c c} - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 + 3 j & 0 \\ 0 & 0 & 2 - 3 j \end{array} \right] \tag {3.36} $$

    دالة MATLAB $ [\mathfrak{q},\mathfrak{d}] = \mathfrak{e}\mathfrak{i}\mathfrak{g}(\mathfrak{a}) $ تعطي

    $$ q = \left[ \begin{array}{l l l} 1 & 0. 1 4 3 2 - 0. 2 1 4 8 j & 0. 1 4 3 2 + 0. 2 1 4 8 j \\ 0 & 0. 9 3 0 9 & 0. 9 3 0 9 \\ 0 & 0. 1 4 3 2 - 0. 2 1 4 8 j & 0. 1 4 3 2 + 0. 2 1 4 8 j \end{array} \right] $$

    و

    $$ d = \left[ \begin{array}{c c c} - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 + 3 j & 0 \\ 0 & 0 & 2 - 3 j \end{array} \right] $$

    تنطبق كل المناقشات في المثال السابق هنا.

    القيم الذاتية المركبة (Complex eigenvalues) 

    على الرغم من أن البيانات التي نواجهها عمليًا كلها أعداد حقيقية، قد تظهر الأعداد المركبة عند حساب القيم الذاتية والمتجهات الذاتية. لمعالجة هذه المشكلة، يجب أن نوسّع الفضاءات الخطية الحقيقية إلى فضاءات خطية مركبة ونسمح لجميع الثوابت (scalars) مثل $ \alpha_{i} $ في (3.4) بأن تكون أعدادًا مركبة. لرؤية السبب، نعتبر

    $$ \mathbf {A} \mathbf {v} = \left[ \begin{array}{c c} 1 & 1 + j \\ 1 - j & 2 \end{array} \right] \mathbf {v} = \mathbf {0} \tag {3.37} $$

    إذا قصرنا $ \mathbf{v} $ على المتجهات الحقيقية، فإن (3.37) لا تمتلك حلًا غير صفري وتكون العمودان في $ \mathbf{A} $ مستقلين خطيًا. لكن إذا سُمِح لـ $ \mathbf{v} $ بأن يأخذ قيمًا مركبة، فإن $ \mathbf{v} = [-2\quad 1 - j]' $ حل غير صفري لـ(3.37). وبالتالي فإن العمودين في $ \mathbf{A} $ تابعان خطيًا و $ \mathbf{A} $ لها رتبة 1. هذه هي الرتبة التي يعطيها MATLAB. لذلك، كلما ظهرت قيم ذاتية مركبة، نعتبر فضاءات خطية مركبة وثوابت مركبة ويُستبدل المنقول (transpose) بالمنقول المرافق (complex-conjugate transpose). وبذلك، يمكن تطبيق جميع المفاهيم والنتائج المطوّرة للمتجهات والمصفوفات الحقيقية على المتجهات والمصفوفات المركبة. بالمناسبة، يمكن تحويل المصفوفة القطرية ذات القيم الذاتية المركبة في (3.36) إلى مصفوفة حقيقية مفيدة، كما سنناقش في القسم 4.3.1.

    القيم الذاتية لـ A ليست كلها متميزة 

    القيمة الذاتية ذات التعددية 2 أو أكثر تُسمّى قيمة ذاتية مكررة (repeated eigenvalue). وعلى النقيض، تُسمّى القيمة الذاتية ذات التعددية 1 قيمة ذاتية بسيطة (simple eigenvalue). إذا كانت $ \mathbf{A} $ لها قيم ذاتية بسيطة فقط، فإن لها دائمًا تمثيلًا بالصيغة القطرية. وإذا كانت $ \mathbf{A} $ لها قيم ذاتية مكررة، فقد لا يكون لها مثل هذا التمثيل. لكنها تمتلك تمثيلًا بصيغة Jordan، كما سنناقش الآن.

    نناقش أولًا مصفوفة خاصة. اعتبر

    $$ \mathbf {J} := \left[ \begin{array}{c c c c} \lambda_ {1} & 1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_ {1} & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_ {1} & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \lambda_ {1} \end{array} \right] \tag {3.38} $$

    كثير حدودها المميِّز هو

    $$ \Delta (\lambda) = \det (\lambda \mathbf {I} - \mathbf {J}) = \det \left[ \begin{array}{c c c c} (\lambda - \lambda_ {1}) & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & (\lambda - \lambda_ {1}) & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & (\lambda - \lambda_ {1}) & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & (\lambda - \lambda_ {1}) \end{array} \right] = (\lambda - \lambda_ {1}) ^ {4} $$

    إذًا للمصفوفة $ \mathbf{J} $ القيمة الذاتية $ \lambda_{1} $ بتعددية 4. وتُسمّى هذه المصفوفة التي تحتوي على قيمتها الذاتية على القطر و1 على القطر الفوقي (superdiagonal) كتلة Jordan (Jordan block) من الرتبة 4. ويمكن أن توجد كتل Jordan برتب مختلفة. كتلة Jordan من الرتبة 1 هي ببساطة قيمتها الذاتية.

    اعتبر مصفوفة $ 5 \times 5 $ هي $ \mathbf{A} $ ذات قيمة ذاتية مكررة $ \lambda_{1} $ بتعددية 4 وقيمة ذاتية بسيطة $ \lambda_{2} $ . عندئذ توجد مصفوفة غير منفردة $ \mathbf{Q} $ بحيث تكون مصفوفة التشابه

    $$ \hat {\mathbf {A}} = \mathbf {Q} ^ {- 1} \mathbf {A} \mathbf {Q} $$

    بأحد الأشكال التالية

    $$ \hat {\mathbf {A}} _ {1} = \left[ \begin{array}{l l l l l l} \lambda_ {1} & 1 & 0 & 0 & \vdots & 0 \\ 0 & \lambda_ {1} & 1 & 0 & \vdots & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_ {1} & 1 & \vdots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \lambda_ {1} & \vdots & 0 \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \vdots & \lambda_ {2} \end{array} \right] \quad \hat {\mathbf {A}} _ {2} = \left[ \begin{array}{l l l l l l l} \lambda_ {1} & 1 & 0 & \vdots & 0 & & 0 \\ 0 & \lambda_ {1} & 1 & \vdots & 0 & & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_ {1} & \vdots & 0 & & 0 \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ 0 & 0 & 0 & \vdots & \lambda_ {1} & \vdots & 0 \\ & & & \dots & \dots & \dots & \dots \\ 0 & 0 & 0 & & 0 & \vdots & \lambda_ {2} \end{array} \right] $$
    $$ \begin{array}{l} \hat {\mathbf {A}} _ {3} = \left[ \begin{array}{c c c c c c c} \lambda_ {1} & 1 & \vdots & 0 & 0 & & 0 \\ 0 & \lambda_ {1} & \vdots & 0 & 0 & & 0 \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ 0 & 0 & \vdots & \lambda_ {1} & 1 & \vdots & 0 \\ 0 & 0 & \vdots & 0 & \lambda_ {1} & \vdots & 0 \\ & & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ 0 & 0 & & 0 & 0 & \vdots & \lambda_ {2} \end{array} \right] \\ \hat {\mathbf {A}} _ {4} = \left[ \begin{array}{c c c c c c c c} \lambda_ {1} & 1 & \vdots & 0 & & 0 & & 0 \\ 0 & \lambda_ {1} & \vdots & 0 & & 0 & & 0 \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ 0 & 0 & \vdots & \lambda_ {1} & \vdots & 0 & & 0 \\ & & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ 0 & 0 & & 0 & \vdots & \lambda_ {1} & \vdots & 0 \\ & & & & \dots & \dots & \dots & \dots \\ 0 & 0 & & 0 & & 0 & \vdots & \lambda_ {2} \end{array} \right] \\ \hat {\mathbf {A}} _ {5} = \left[ \begin{array}{c c c c c} \lambda_ {1} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_ {1} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_ {1} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \lambda_ {1} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \lambda_ {2} \end{array} \right] \tag {3.39} \\ \end{array} $$

    بالنسبة للقيمة الذاتية البسيطة $ \lambda_{2} $ ، يوجد كتلة Jordan واحدة فقط من الرتبة 1 في جميع المصفوفات السابقة. أما بالنسبة للقيمة الذاتية المكررة $ \lambda_{1} $ ذات التعددية 4، فالمصفوفة الأولى لها كتلة Jordan واحدة من الرتبة 4. المصفوفة الثانية لها كتلتان من رتبتي 3 و1 على الترتيب. المصفوفة الثالثة لها كتلتان كلتاهما من الرتبة 2. المصفوفة الرابعة لها ثلاث كتل Jordan من الرتب 2 و1 و1 على الترتيب. المصفوفة الأخيرة لها أربع كتل Jordan من الرتبة 1 مرتبطة بـ $ \lambda_{1} $ . تُسمّى هذه المصفوفات كلها على صيغة Jordan (Jordan form). أي صيغة تتخذها المصفوفة يعتمد على العدمية (nullity) للمصفوفة $ (\mathbf{A} - \lambda_{1}\mathbf{I}) $ . إذا كانت العدمية 4، يمكننا إيجاد أربعة متجهات ذاتية (eigenvectors) مستقلة خطيًا مرتبطة بـ $ \lambda_{1} $ . باستخدام المتجهات الأربعة والمتجه الذاتي المرتبط بـ $ \lambda_{2} $ كأساس، يمكننا الحصول على $ \hat{\mathbf{A}}_{5} $ وتُقال $ \mathbf{A} $ إنها قابلة للقطرنة (diagonalizable). إذا كانت العدمية للمصفوفة $ (\mathbf{A} - \lambda_{1}\mathbf{I}) $ هي 1، فلا يمكننا إيجاد سوى متجه ذاتي واحد (عادي) مرتبط بـ $ \lambda_{1} $ . في هذه الحالة، يجب إيجاد سلسلة من المتجهات الذاتية المعممة (generalized eigenvectors) كأساس للحصول على الصيغة $ \hat{\mathbf{A}}_{1} $ . انظر المرجع 6. إذا كانت العدمية 2 أو 3، فسوف نحصل على الصيغ الأخرى. الترتيب المختلف للأساس يؤدي إلى ترتيب مختلف لكتل Jordan؛ وقد يؤدي أيضًا إلى كتلة Jordan فيها 1 على القطر التحتي (subdiagonal) بدلًا من القطر الفوقي (superdiagonal). خلاصة القول، حساب مصفوفات صيغة Jordan معقد ولن نناقشه أكثر. سنقبل ببساطة حقيقة أن كل مصفوفة يمكن تحويلها إلى صيغة Jordan باستخدام تحويل تشابه (similarity transformation). لاحظ أن الإصدارات السابقة من MATLAB كانت تحتوي على الدالة jordan لكن الإصدار R2011a لا يحتويها. الدالة $ [\mathfrak{q},\mathfrak{d}] = \operatorname{eig}(\mathfrak{a}) $ تنطبق على جميع المصفوفات لكنها تعطي نتيجة صحيحة فقط إذا كانت المصفوفة قابلة للقطرنة.

    مصفوفات صيغة Jordan مثلثية (triangular) وقطرية على شكل كتل (block diagonal)، ويمكن استخدامها لإثبات العديد من الخصائص العامة للمصفوفات. على سبيل المثال، لأن $ \det(\mathbf{CD}) = \det\mathbf{C}\det\mathbf{D} $ و $ \det\mathbf{Q}\det\mathbf{Q}^{-1} = \det\mathbf{I} = 1 $ ، فمن $ \mathbf{A} = \mathbf{Q}\hat{\mathbf{A}}\mathbf{Q}^{-1} $ ، نحصل على

    $$ \det \mathbf {A} = \det \mathbf {Q} \det \hat {\mathbf {A}} \det \mathbf {Q} ^ {- 1} = \det \hat {\mathbf {A}} $$

    محدد $ \hat{\mathbf{A}} $ هو حاصل ضرب جميع العناصر القطرية أو، بشكل مكافئ، جميع القيم الذاتية لـ $ \mathbf{A} $ . وبالتالي نحصل على

    $$ \det \mathbf {A} = \text{product} \quad \text{of all eigen values of} \mathbf {A} $$

    وهذا يعني أن $ \mathbf{A} $ غير منفردة (nonsingular) إذا وفقط إذا لم تكن لها قيمة ذاتية صفرية.

    نناقش خاصية مفيدة لكتل Jordan لنختتم هذا القسم. اعتبر كتلة Jordan في (3.38) ذات الرتبة 4. عندئذ لدينا

    $$ \begin{array}{l} (\mathbf {J} - \lambda \mathbf {I}) = \left[ \begin{array}{l l l l} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right], \quad (\mathbf {J} - \lambda \mathbf {I}) ^ {2} = \left[ \begin{array}{l l l l} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right] \\ (\mathbf {J} - \lambda \mathbf {I}) ^ {3} = \left[ \begin{array}{c c c c} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right] \tag {3.40} \\ \end{array} $$

    و $ (\mathbf{J} - \lambda \mathbf{I})^k = \mathbf{0} $ لكل $ k \geq 4 $ . يُسمّى ذلك منعدم القوى (nilpotent).