3.7 معادلة Lyapunov (Lyapunov Equation) 

    اعتبر المعادلة

    $$ \mathbf {A M} + \mathbf {M B} = \mathbf {C} \tag {3.59} $$

    حيث إن $ \mathbf{A} $ و $ \mathbf{B} $ هما على الترتيب مصفوفتان ثابتتان (constant matrices) بأبعاد $ n \times n $ و $ m \times m $ . لكي تكون المعادلة ذات معنى، يجب أن تكون المصفوفتان $ \mathbf{M} $ و $ \mathbf{C} $ من الرتبة $ n \times m $ . تُسمّى هذه المعادلة معادلة Lyapunov (Lyapunov equation).

    يمكن كتابة المعادلة على هيئة مجموعة من المعادلات الجبرية الخطية (linear algebraic equations) القياسية. لإيضاح ذلك، نفترض $ n = 3 $ و $ m = 2 $ ونكتب (3.59) صراحةً كما يلي

    $$ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l l l} a _ {1 1} & a _ {1 2} & a _ {1 3} \\ a _ {2 1} & a _ {2 2} & a _ {2 3} \\ a _ {3 1} & a _ {3 2} & a _ {3 3} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{l l} m _ {1 1} & m _ {1 2} \\ m _ {2 1} & m _ {2 2} \\ m _ {3 1} & m _ {3 2} \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{l l} m _ {1 1} & m _ {1 2} \\ m _ {2 1} & m _ {2 2} \\ m _ {3 1} & m _ {3 2} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{l l} b _ {1 1} & b _ {1 2} \\ b _ {2 1} & b _ {2 2} \end{array} \right] \\ = \left[ \begin{array}{l l} c _ {1 1} & c _ {1 2} \\ c _ {2 1} & c _ {2 2} \\ c _ {3 1} & c _ {3 2} \end{array} \right] \\ \end{array} $$

    بضربها ثم مساواة العناصر المناظرة على طرفي المساواة نحصل على

    $$ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{c c c c c c} a _ {1 1} + b _ {1 1} & a _ {1 2} & a _ {1 3} & b _ {2 1} & 0 & 0 \\ a _ {2 1} & a _ {2 2} + b _ {1 1} & a _ {2 3} & 0 & b _ {2 1} & 0 \\ a _ {3 1} & a _ {3 2} & a _ {3 3} + b _ {1 1} & 0 & 0 & b _ {2 1} \\ b _ {1 2} & 0 & 0 & a _ {1 1} + b _ {2 2} & a _ {1 2} & a _ {1 3} \\ 0 & b _ {1 2} & 0 & a _ {2 1} & a _ {2 2} + b _ {2 2} & a _ {2 3} \\ 0 & 0 & b _ {1 2} & a _ {3 1} & a _ {3 2} & a _ {3 3} + b _ {2 2} \end{array} \right] \\ \times \left[ \begin{array}{l} m _ {1 1} \\ m _ {2 1} \\ m _ {3 1} \\ m _ {1 2} \\ m _ {2 2} \\ m _ {3 2} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l} c _ {1 1} \\ c _ {2 1} \\ c _ {3 1} \\ c _ {1 2} \\ c _ {2 2} \\ c _ {3 2} \end{array} \right] \tag {3.60} \\ \end{array} $$

    وهذه بالفعل معادلة جبرية خطية (linear algebraic equation) قياسية. المصفوفة في الطرف الأيسر هي مصفوفة مربعة من الرتبة $ n \times m = 3 \times 2 = 6 $ .

    لنعرّف $ \mathcal{A}(\mathbf{M})\coloneqq \mathbf{AM} + \mathbf{MB} $ . عندئذ يمكن كتابة معادلة Lyapunov على الصورة $ \mathcal{A}(\mathbf{M}) = \mathbf{C} $ . وهي تصوِّر فضاءً خطيًا ذا بُعد $ nm $ إلى نفسه. يُسمّى العدد القياسي (scalar) $ \eta $ قيمة ذاتية (eigenvalue) للمؤثر $ \mathcal{A} $ إذا وُجدت مصفوفة غير صفرية $ \mathbf{M} $ بحيث

    $$ \mathcal {A} (\mathbf {M}) = \eta \mathbf {M} $$

    وبما أن $ \mathcal{A} $ يمكن اعتباره مصفوفة مربعة من الرتبة $ nm $ ، فإن له $ nm $ قيمًا ذاتية $ \eta_{k} $ لـ $ k = 1, 2, \ldots, nm $ . ويتبين أن

    $$ \eta_ {k} = \lambda_ {i} + \mu_ {j} \quad \text{for} i = 1, 2, \dots , n; j = 1, 2, \dots , m $$

    حيث إن $ \lambda_{i}, i = 1, 2, \ldots, n $ ، و $ \mu_{j}, j = 1, 2, \ldots, m $ ، هما على الترتيب القيم الذاتية للمصفوفتين $ \mathbf{A} $ و $ \mathbf{B} $ . بعبارة أخرى، قيم $ \mathcal{A} $ الذاتية هي جميع المجاميع الممكنة لقيم $ \mathbf{A} $ و $ \mathbf{B} $ الذاتية.

    نوضح حدسيًا سبب ذلك. لتكن $ \mathbf{u} $ متجهًا ذاتيًا (eigenvector) يمينيًا (right) للمصفوفة $ \mathbf{A} $ بأبعاد $ n \times 1 $ مرتبطًا بـ $ \lambda_i $ ، أي $ \mathbf{A}\mathbf{u} = \lambda_i\mathbf{u} $ . ولتكن $ \mathbf{v} $ متجهًا ذاتيًا (eigenvector) يساريًا (left) للمصفوفة $ \mathbf{B} $ بأبعاد $ 1 \times m $ مرتبطًا بـ $ \mu_j $ ، أي $ \mathbf{v}\mathbf{B} = \mathbf{v}\mu_j $ . بتطبيق $ \mathcal{A} $ على المصفوفة $ n \times m $ وهي $ \mathbf{u}\mathbf{v} $ نحصل على

    $$ \mathcal {A} (\mathbf {u v}) = \mathbf {A u v} + \mathbf {u v B} = \lambda_ {i} \mathbf {u v} + \mathbf {u v} \mu_ {j} = (\lambda_ {i} + \mu_ {j}) \mathbf {u v} $$

    وبما أن $ \mathbf{u} $ و $ \mathbf{v} $ غير صفريين، فإن المصفوفة $ \mathbf{uv} $ غير صفرية أيضًا. لذا فإن $ (\lambda_i + \mu_j) $ قيمة ذاتية للمؤثر $ \mathcal{A} $ .

    محدد (determinant) المصفوفة المربعة هو حاصل ضرب جميع قيمها الذاتية. وبالتالي تكون المصفوفة غير منفردة (nonsingular) إذا وفقط إذا لم تكن لها قيمة ذاتية صفرية. إذا لم توجد $ i $ و $ j $ بحيث $ \lambda_i + \mu_j = 0 $ ، فإن المصفوفة المربعة في (3.60) تكون غير منفردة ولكل $ \mathbf{C} $ يوجد حل وحيد $ \mathbf{M} $ يحقق المعادلة. في هذه الحالة يُقال إن معادلة Lyapunov غير منفردة. إذا كان $ \lambda_i + \mu_j = 0 $ لبعض $ i $ و $ j $ ، فإن الحلول بالنسبة إلى $ \mathbf{C} $ المعطاة قد توجد أو لا توجد. إذا كانت $ \mathbf{C} $ تقع في فضاء المدى (range space) لـ $ \mathcal{A} $ ، فالحلول موجودة وغير فريدة. انظر المسألة 3.37.

    دالة MATLAB $ m = 1 $ yap(a,b,-c) تحسب حل معادلة Lyapunov في (3.59).