3.8 بعض الصيغ المفيدة (Some Useful Formulas) 

    يناقش هذا القسم بعض الصيغ التي سنحتاج إليها لاحقًا. لتكن $ \mathbf{A} $ و $ \mathbf{B} $ مصفوفتين ثابتتين (constant matrices) بأبعاد $ m \times n $ و $ n \times p $ . عندئذ لدينا

    $$ \rho (\mathbf {A} \mathbf {B}) \leq \min (\rho (\mathbf {A}), \rho (\mathbf {B})) \tag {3.61} $$

    حيث إن $ \rho $ ترمز إلى الرتبة (rank). ويمكن تبرير ذلك كما يلي. لتكن $ \rho(\mathbf{B}) = \alpha $ . عندئذ تحتوي $ \mathbf{B} $ على $ \alpha $ صفوف مستقلة خطيًا (linearly independent). في $ \mathbf{AB} $ ، تعمل $ \mathbf{A} $ على صفوف $ \mathbf{B} $ . لذا فإن صفوف $ \mathbf{AB} $ هي تركيبات خطية (linear combinations) من صفوف $ \mathbf{B} $ . ونتيجة لذلك، فإن $ \mathbf{AB} $ تحوي على الأكثر $ \alpha $ صفوف مستقلة خطيًا. وفي $ \mathbf{AB} $ ، تعمل $ \mathbf{B} $ على أعمدة $ \mathbf{A} $ . لذا إذا كان لدى $ \mathbf{A} $ عدد $ \beta $ من الأعمدة المستقلة خطيًا، فإن $ \mathbf{AB} $ لها على الأكثر $ \beta $ أعمدة مستقلة خطيًا. وهذا يثبت (3.61). وبناءً على ذلك، إذا كانت $ \mathbf{A} = \mathbf{B}_1\mathbf{B}_2\mathbf{B}_3\cdots $ ، فإن رتبة $ \mathbf{A} $ تساوي أو تقل عن أصغر رتبة بين $ \mathbf{B}_i $ .

    لتكن $ \mathbf{A} $ بأبعاد $ m \times n $ ولتكن $ \mathbf{C} $ و $ \mathbf{D} $ أي مصفوفتين غير منفردتين (nonsingular) بأبعاد $ n \times n $ و $ m \times m $ . عندئذ لدينا

    $$ \rho (\mathbf {A C}) = \rho (\mathbf {A}) = \rho (\mathbf {D A}) \tag {3.62} $$

    بعبارة أخرى، رتبة المصفوفة لا تتغير بعد الضرب من اليسار أو اليمين بمصفوفة غير منفردة. لإظهار (3.62)، نعرّف

    $$ \mathbf {P} := \mathbf {A C} \tag {3.63} $$

    وبما أن $ \rho (\mathbf{A})\leq \min (m,n) $ و $ \rho (\mathbf{C}) = n $ ، فإن $ \rho (\mathbf{A})\leq \rho (\mathbf{C}) $ . وبذلك فإن (3.61) تعطي

    $$ \rho (\mathbf {P}) \leq \min (\rho (\mathbf {A}), \rho (\mathbf {C})) \leq \rho (\mathbf {A}) $$

    بعد ذلك نكتب (3.63) على الصورة $ \mathbf{A} = \mathbf{PC}^{-1} $ . باستخدام الحجة نفسها، نحصل على $ \rho(\mathbf{A}) \leq \rho(\mathbf{P}) $ . وبالتالي نستنتج $ \rho(\mathbf{P}) = \rho(\mathbf{A}) $ . ومن نتائج (3.62) أن رتبة المصفوفة لا تتغير بعمليات الصف والعمود الابتدائية (elementary operations). العمليات الابتدائية هي (1) ضرب صف أو عمود في عدد غير صفري، (2) تبديل صفين أو عمودين، و(3) إضافة حاصل ضرب صف (أو عمود) في عدد إلى صف (أو عمود) آخر. هذه العمليات هي نفسها ضرب مصفوفات غير منفردة. انظر المرجع 6، ص. 542.

    لتكن $ \mathbf{A} $ بأبعاد $ m\times n $ ولتكن $ \mathbf{B} $ بأبعاد $ n\times m $ . عندئذ لدينا

    $$ \det \left(\mathbf {I} _ {m} + \mathbf {A B}\right) = \det \left(\mathbf {I} _ {n} + \mathbf {B A}\right) \tag {3.64} $$

    حيث إن $ \mathbf{I}_m $ مصفوفة الوحدة (unit matrix) من الرتبة $ m $ . لإظهار (3.64)، لنعرّف

    $$ \mathbf {N} = \left[ \begin{array}{l l} \mathbf {I} _ {m} & \mathbf {A} \\ \mathbf {0} & \mathbf {I} _ {n} \end{array} \right], \quad \mathbf {Q} = \left[ \begin{array}{l l} \mathbf {I} _ {m} & \mathbf {0} \\ - \mathbf {B} & \mathbf {I} _ {n} \end{array} \right], \quad \mathbf {P} = \left[ \begin{array}{l l} \mathbf {I} _ {m} & - \mathbf {A} \\ \mathbf {B} & \mathbf {I} _ {n} \end{array} \right] $$

    نحسب

    $$ \mathbf {N P} = \left[ \begin{array}{c c} \mathbf {I} _ {m} + \mathbf {A B} & \mathbf {0} \\ \mathbf {B} & \mathbf {I} _ {n} \end{array} \right] $$

    و

    $$ \mathbf {Q P} = \left[ \begin{array}{c c} \mathbf {I} _ {m} & - \mathbf {A} \\ \mathbf {0} & \mathbf {I} _ {n} + \mathbf {B A} \end{array} \right] $$

    وبما أن $ \mathbf{N} $ و $ \mathbf{Q} $ مثلثيتان على شكل كتل (block triangular)، فإن محدداتهما تساوي حاصل ضرب محددات الكتل القطرية أو

    $$ \det \mathbf {N} = \det \mathbf {I} _ {m} \cdot \det \mathbf {I} _ {n} = 1 = \det \mathbf {Q} $$

    وبالمثل نحصل على

    $$ \det (\mathbf {N P}) = \det (\mathbf {I} _ {m} + \mathbf {A B}), \quad \det (\mathbf {Q P}) = \det (\mathbf {I} _ {n} + \mathbf {B A}) $$

    وبما أن

    $$ \det (\mathbf {N P}) = \det \mathbf {N} \det \mathbf {P} = \det \mathbf {P} $$

    و

    $$ \det (\mathbf {Q P}) = \det \mathbf {Q} \det \mathbf {P} = \det \mathbf {P} $$

    نستنتج $ \operatorname{det}(\mathbf{I}_m + \mathbf{AB}) = \operatorname{det}(\mathbf{I}_n + \mathbf{BA}) $ .

    في $ \mathbf{N} $ و $ \mathbf{Q} $ و $ \mathbf{P} $ ، إذا استُبدلت $ \mathbf{I}_n $ و $ \mathbf{I}_m $ و $ \mathbf{B} $ على الترتيب بـ $ \sqrt{s}\mathbf{I}_n $ ، $ \sqrt{s}\mathbf{I}_m $ ، و $ -\mathbf{B} $ ، فإننا نحصل بسهولة على

    $$ s ^ {n} \det (s \mathbf {I} _ {m} - \mathbf {A B}) = s ^ {m} \det (s \mathbf {I} _ {n} - \mathbf {B A}) \tag {3.65} $$

    مما يستلزم، عندما $ n = m $ أو للمصفوفات المربعة $ n \times n $ $ \mathbf{A} $ و $ \mathbf{B} $ ،

    $$ \det (s \mathbf {I} _ {n} - \mathbf {A B}) = \det (s \mathbf {I} _ {n} - \mathbf {B A}) \tag {3.66} $$

    وهي صيغة مفيدة.