المسائل
3.1 اعتبر الشكل 3.1. ما تمثيل المتجه $ \mathbf{x} $ بالنسبة إلى القاعدة (basis) $ \{\mathbf{q}_1, \mathbf{i}_2\} $؟ وما تمثيل $ \mathbf{q}_1 $ بالنسبة إلى $ \{\mathbf{i}_2, \mathbf{q}_2\} $؟
3.2 ما معيار 1 ومعيار 2 والمعيار اللانهائي (norms) للمتجهات
3.3 أوجد متجهين متعامدين ومتحدي القياس (orthonormal) يمدّان (span) نفس الفضاء الذي تمده المتجهتان في المسألة 3.2.
3.4 إذا كان المتجهان $ x_1 = \left[ \begin{array}{rrr} 3 & -4 & 5 \end{array} \right]^\prime $ و$ x_2 = \left[ \begin{array}{rrr} \alpha & 1 & 2 \end{array} \right]^\prime $ متعامدين (orthogonal)، أوجد $ \alpha $. ومع القيمة المحسوبة لـ $ \alpha $ أوجد معيار 1 ومعيار 2 والمعيار اللانهائي (norms) للمتجهين.
3.5 كوّن مصفوفة متعامدة (orthogonal matrix) $ \mathbf{Q} $ من المصفوفة
ثم عبّر عن $ \mathbf{Q} $ كحاصل ضرب $ \mathbf{A} $ ومصفوفة مثلثية علوية (upper triangular matrix). تحقق أن $ \mathbf{Q}'\mathbf{Q} = \mathbf{Q}\mathbf{Q}' = \mathbf{I} $. لتكن $ \bar{\mathbf{Q}} $ مكوّنة من العمودين الأولين من $ \mathbf{Q} $. تحقق أن $ \bar{\mathbf{Q}}' \bar{\mathbf{Q}} = \mathbf{I}_2 $ و$ \bar{\mathbf{Q}} \bar{\mathbf{Q}}' \neq \mathbf{I}_3 $.
3.6 أوجد الرتب (ranks) والأبعاد النواة (nullities) للمصفوفات الآتية:
3.7 أوجد قواعد (bases) لفضاءات المدى (range spaces) وفضاءات النواة (null spaces) للمصفوفات في المسألة 3.6.
3.8 أوجد العمود الثالث للمصفوفة $ A $ بحيث تصبح متعامدة (orthogonal).
3.9 إذا كان $ u $ متجه وحدة (unit vector)، بيّن أن $ Q = I - 2uu' $ مصفوفة متعامدة (orthogonal matrix). احسب $ Q $ عندما $ u = \left[ \begin{array}{ccc}1 / \sqrt{3} & 1 / \sqrt{3} & 1 / \sqrt{3} \end{array} \right]' $.
3.10 أوجد قاعدة (basis) للفضاء الجزئي (subspace) من $ R^4 $ الذي تتحقق فيه المكونات الثلاثة لمتجه القاعدة الشرط $ x_1 = x_2 = x_3 $.
3.11 أجب بصح أو خطأ (True or False) مع التعليل المناسب.
- إذا كانت المتجهات $ \nu_{1},\nu_{2},\dots ,\nu_{m} $ تمتد (span) فضاءً جزئيًا $ S $، فإن $ \dim S = m $
- إذا كانت المصفوفة $ A $ من الرتبة $ m \times n $ والمصفوفة $ B $ من الرتبة $ n \times m $ مع $ n < m $، فإن $ AB $ مصفوفة مفردة (singular).
- $ \operatorname{Rank}(A + B) \leq \operatorname{Rank}(A) + \operatorname{Rank}(B) $.
3.12 اعتبر المعادلة الجبرية الخطية
لها ثلاث معادلات ومجهولان. هل توجد حل $ \mathbf{x} $ في المعادلة؟ هل الحل وحيد؟ هل يوجد حل إذا كان $ \mathbf{y} = [1 1 1]^\prime $؟
3.13 أوجد الحل العام لـ
كم عدد المعلمات لديك؟
3.14 أوجد الحل في المثال 3.3.2 الذي له أصغر معيار إقليدي (Euclidean norm).
3.15 أوجد الحل في المسألة 3.13 الذي له أصغر معيار إقليدي (Euclidean norm).
3.16 اعتبر المعادلة
حيث $ \mathbf{A} $ مصفوفة $ n\times n $ و$ \mathbf{b} $ متجه عمودي $ n\times 1 $. ما الشروط على $ \mathbf{A} $ و$ \mathbf{b} $ التي تضمن وجود $ u[0], u[1],\ldots,u[n-1] $ لتحقيق المعادلة لأي $ \mathbf{x}[n] $ و$ \mathbf{x}[0] $؟ تلميح: اكتب المعادلة بالشكل
3.17 اعتبر
بيّن أن المصفوفة المربعة من الرتبة 4
رتبتها 4 لـ $ i = 1,2 $ ورتها 3 لـ $ i = 3 $. ما تمثيل $ \mathbf{A} $ بالنسبة للقاعدة $ \{\mathbf{b}_1,\mathbf{Ab}_1,\mathbf{A}^2\mathbf{b}_1,\mathbf{A}^3\mathbf{b}_1\} $ والقاعدة $ \{\mathbf{b}_2,\mathbf{Ab}_2,\mathbf{A}^2\mathbf{b}_2,\mathbf{A}^3\mathbf{b}_2\} $ على الترتيب؟ (لاحظ أن التمثيلين متساويان!)
3.18 أوجد تمثيلات بصيغة Jordan (Jordan-form representations) للمصفوفات الآتية:
لاحظ أن جميعها ما عدا $ \mathbf{A}_4 $ يمكن قطْرتها (diagonalized).
3.19 اعتبر المصفوفة بصيغة المرافق (companion-form matrix)
بيّن أن كثير الحدود المميّز (characteristic polynomial) يُعطى بـ
وبيّن أيضًا أنه إذا كانت $ \lambda_{i} $ قيمة ذاتية (eigenvalue) لـ $ \mathbf{A} $ أو حلًا للمعادلة $ \Delta (\lambda) = 0 $، فإن $ [\lambda_i^3\lambda_i^2\lambda_i1]' $ متجه ذاتي (eigenvector) لـ $ \mathbf{A} $ مرتبط بـ $ \lambda_{i} $.
3.20 بيّن أن محدد Vandermonde (Vandermonde determinant)
يساوي $ \prod_{1\leq i < j\leq 4}(\lambda_j - \lambda_i) $. وبالتالي نستنتج أن المصفوفة غير منفردة (nonsingular) أو، بشكل مكافئ، المتجهات الذاتية (eigenvectors) مستقلة خطيًا إذا كانت جميع القيم الذاتية (eigenvalues) متميزة.
3.21 بيّن أن المصفوفة بصيغة المرافق (companion-form matrix) في المسألة 3.19 غير منفردة (nonsingular) إذا وفقط إذا $ \alpha_4 \neq 0 $. وبافتراض ذلك، بيّن أن معكوسها يساوي
3.22 اعتبر
مع $ \lambda \neq 0 $ و$ T > 0 $. بيّن أن $ [001]^{\prime} $ متجه ذاتي معمّم (generalized eigenvector) من الدرجة 3 وأن الأعمدة الثلاثة لـ
تشكل سلسلة متجهات ذاتية معممة (chain of generalized eigenvectors) بطول 3. تحقق أن
3.23 أوجد كثيرات الحدود المميزة (characteristic polynomials) وكثيرات الحدود الدنيا (minimal polynomials) للمصفوفات الآتية:
3.24 بيّن أنه إذا كانت $ \lambda $ قيمة ذاتية (eigenvalue) للمصفوفة $ \mathbf{A} $ مع المتجه الذاتي (eigenvector) $ \mathbf{x} $، فإن $ f(\lambda) $ قيمة ذاتية (eigenvalue) للمصفوفة $ f(\mathbf{A}) $ مع نفس المتجه الذاتي $ \mathbf{x} $.
3.25 بيّن أن مصفوفة $ n \times n $ لها الخاصية $ \mathbf{A}^k = \mathbf{0} $ لكل $ k \geq m $ إذا وفقط إذا كانت للمصفوفة $ \mathbf{A} $ قيمة ذاتية 0 بتعددية (multiplicity) $ n $ وفهرس (index) $ m $ أو أقل. تسمى مثل هذه المصفوفة مصفوفة نيلبوتية (nilpotent matrix).
3.26 اعتبر
احسب $ \mathbf{A}^{10} $، و$ \mathbf{A}^{103} $، و$ e^{\mathbf{A}t} $.
3.27 استخدم طريقتين مختلفتين لحساب $ e^{\mathbf{A}t} $ لكل من $ \mathbf{A}_1 $ و$ \mathbf{A}_4 $ في المسألة 3.18.
3.28 بيّن أن دوال المصفوفة نفسها تتبادل (commute)؛ أي
وبالتالي لدينا $ \mathbf{A}e^{\mathbf{A}t} = e^{\mathbf{A}t}\mathbf{A} $
3.29 Lct
أوجد مصفوفة $ \mathbf{B} $ بحيث $ e^{\mathbf{B}} = \mathbf{C} $. بيّن أنه إذا كانت $ \lambda_{i} = 0 $ لبعض $ i $، فإن $ \mathbf{B} $ غير موجودة. لتكن
أوجد $ \mathbf{B} $ بحيث $ e^{\mathbf{B}} = \mathbf{C} $. هل صحيح أنه لأي $ \mathbf{C} $ غير منفردة (nonsingular) توجد مصفوفة $ \mathbf{B} $ بحيث $ e^{\mathbf{B}} = \mathbf{C} $؟
3.30 لتكن
ولتكن $ m(s) $ القاسم المشترك الأعظم الوحيد (monic greatest common divisor) لجميع مدخلات $ \operatorname{Adj}(s\mathbf{I} - \mathbf{A}) $. تحقق للمصفوفة $ \mathbf{A}_3 $ في المسألة 3.18 أن كثير الحدود الأدنى (minimal polynomial) لـ $ \mathbf{A} $ يساوي $ \Delta(s) / m(s) $.
3.31 عرّف
حيث
و$ \mathbf{R}_i $ مصفوفات ثابتة. هذا التعريف صحيح لأن درجة (degree) $ \operatorname{Adj}(s\mathbf{I} - \mathbf{A}) $ في $ s $ لا تتجاوز $ n - 1 $. تحقق
„,-
حيث $ tr $ يشير إلى الأثر (trace) لمصفوفة ويعرّف بأنه مجموع جميع عناصر قطرها. تسمى هذه العملية لحساب $ \alpha_{i} $ و$ \mathbf{R}_i $ بخوارزمية Leverrier (Leverrier algorithm).
3.32 استخدم المسألة 3.31 لإثبات مبرهنة كايلي-هاملتون (Cayley-Hamilton theorem).
3.33 استخدم المسألة 3.31 لإظهار
3.34 لتكن جميع القيم الذاتية (eigenvalues) لـ $ \mathbf{A} $ متميزة ولتكن $ \mathbf{q}_i $ متجهًا ذاتيًا أيمنًا (right eigenvector) لـ $ \mathbf{A} $ مرتبطًا بـ $ \lambda_i $، أي $ \mathbf{A}\mathbf{q}_i = \lambda_i\mathbf{q}_i $. عرّف $ \mathbf{Q} = [\mathbf{q}_1\mathbf{q}_2\dots \mathbf{q}_n] $ وعرّف
حيث $ \mathbf{p}_i $ هو الصف $ i $ من $ \mathbf{P} $. بيّن أن $ \mathbf{p}_i $ متجه ذاتي أيسر (left eigenvector) لـ $ \mathbf{A} $ مرتبط بـ $ \lambda_i $، أي $ \mathbf{p}_i\mathbf{A} = \lambda_i\mathbf{p}_i $.
3.35 بيّن أنه إذا كانت جميع القيم الذاتية (eigenvalues) لـ $ \mathbf{A} $ متميزة، فإن $ (s\mathbf{I} - \mathbf{A})^{-1} $ يمكن التعبير عنه كـ
حيث $ \mathbf{q}_i $ و$ \mathbf{p}_i $ متجهات ذاتية يمنى ويسرى (right and left eigenvectors) لـ $ \mathbf{A} $ مرتبطة بـ $ \lambda_i $.
3.36 أوجد $ \mathbf{M} $ لتحقيق معادلة Lyapunov (Lyapunov equation) في (3.59) مع
ما القيم الذاتية (eigenvalues) لمعادلة Lyapunov (Lyapunov equation)؟ هل معادلة Lyapunov مفردة (singular)؟ هل الحل وحيد؟
3.37 اعتبر معادلة Lyapunov (Lyapunov equation) (نسخة من 3.59).
بيّن أن هذه المعادلة يمكن اختزالها إلى معادلة جبرية،
حيث $ M = A' \otimes I + I \otimes A' $ و$ p, q $ متجهات مولدة من مكونات المصفوفتين $ P $ و$ Q $ المكوّنة من صفوفهما على الترتيب.
3.38 تحقق من كون المصفوفات الآتية معرفة موجبًا (positive definite) أو شبه معرفة موجبًا (semidefinite)
3.39 احسب القيم المفردة (singular values) للمصفوفات الآتية
3.40 إذا كانت $ \mathbf{A} $ متناظرة (symmetric)، فما العلاقة بين قيمها الذاتية (eigenvalues) وقيمها المفردة (singular values)؟
3.41 تحقق
3.42 تحقق من المعادلة (3.65).
3.43 اعتبر $ \mathbf{Ax} = \mathbf{y} $، حيث $ \mathbf{A} $ من الرتبة $ m \times n $ ورتبتها (rank) $ m $. هل $ (\mathbf{A}'\mathbf{A})^{-1}\mathbf{A}'\mathbf{y} $ حل؟ إذا لم يكن، ففي أي شرط سيكون حلاً؟ هل $ \mathbf{A}'(\mathbf{A}\mathbf{A}')^{-1}\mathbf{y} $ حل؟
3.44 لتكن $ A $ مصفوفة مربعة. برهن أن
حيث $ \rho (A) $ نصف القطر الطيفي (spectral radius) للمصفوفة $ A $ ويعرّف بـ
وعلاوة على ذلك، إذا كانت $ A $ مصفوفة متناظرة (symmetric)، بيّن أن ما سبق يتحقق بالمساواة.
3.45 برهن الهويات الآتية للمصفوفات المقسمة (partitioned matrices):
-
$ \left[ \begin{array}{cc}A_{11} & A_{12}\\\ A_{21} & A_{22} \end{array} \right]^{-1} = \left[ \begin{array}{cc}A_{11}^{-1} + A_{11}^{-1}A_{12}\Delta^{-1}A_{21}A_{11}^{-1} & -A_{11}^{-1}A_{12}\Delta^{-1}\\\ -\Delta^{-1}A_{21}A_{11}^{-1} & \Delta^{-1} \end{array} \right] $ حيث يُفترض أن $ A $ و$ A_{11} $ غير منفردتين (nonsingular) مع $ \Delta = A_{22} - A_{21}A_{11}^{-1}A_{12} $. لاحظ أن $ A $ غير منفردة إذا وفقط إذا كانت $ \Delta $ غير منفردة. كذلك بيّن أن $ \det A = \det A_{11}\det \Delta $.
-
$ \left[ \begin{array}{ll}A_{11} & A_{12}\\\ A_{21} & A_{22} \end{array} \right]^{-1} = \left[ \begin{array}{cc}\bar{\Delta}^{-1} & -\bar{\Delta}^{-1}A_{12}A_{22}^{-1}\\\ -A_{22}^{-1}A_{21}\bar{\Delta}^{-1} & A_{22}^{-1} + A_{22}^{-1}A_{21}\bar{\Delta}^{-1}A_{12}A_{22}^{-1} \end{array} \right] $ حيث يُفترض أن $ A $ و$ A_{22} $ غير منفردتين (nonsingular) مع $ \bar{\Delta} = A_{11} - A_{12}A_{22}^{-1}A_{21} $. لاحظ أن $ A $ غير منفردة إذا وفقط إذا كانت $ \bar{\Delta} $ غير منفردة. كذلك بيّن أن $ \det A = \det A_{22}\det \bar{\Delta} $.
3.46 اعتبر متجهين $ a_1 = \left[ \begin{array}{lll} 1 & 1 & 0 \end{array} \right] $ و$ a_2 = \left[ \begin{array}{lll} 2 & 5 & 0 \end{array} \right] $، يمتدان (span) مستوى في الفضاء ثلاثي الأبعاد، ومتجهًا $ b $ يقع خارج هذا المستوى معطى بـ $ b = \left[ \begin{array}{lll} 4 & 3 & 9 \end{array} \right] $. أوجد إسقاط (projection) $ b $ على المستوى الممتد بالمتجهين $ a_1 $ و$ a_2 $.
3.47 خمس أنابيب طبية متصلة بحاوية لإيصال الدواء. النسبة المئوية المخصصة لكل أنبوب للإيصال هي $ x_{i} $، بحيث $ \sum_{i=1}^{5} x_{i} = 100 $. الأنبوب 1 يسلّم أربعة أضعاف الأنبوب 2 أثناء عملية الإيصال. النسبة المئوية المطلوبة للأنبوب 5 هي مجموع النسب المطلوبة للأنبوبين 3 و4. أوجد أفضل نسبة مئوية ممكنة للدواء مرتبطة بكل أنبوب.
الحلول
3.1 $ [1/3, 8/3]^{\prime}, [-2, 1.5]^{\prime} $ .
3.3
3.6 $ \rho (\mathbf{A}_1) = 2 $ بعد النواة (nullity) $ (\mathbf{A}_1) = 1;3,0;3,1. $
3.12 $ \mathbf{x} = \left[ \begin{array}{ll} - 1 & -1 \end{array} \right] $ حل. وحيد. لا يوجد حل إذا كان $ y = [111]^{\prime} $ .
3.14 $ \alpha_{1} = 4 / 11, \alpha_{2} = 16 / 11 $ . الحل
له أصغر معيار 2 (2-norm).
3.17 تمثيلات $ \mathbf{A} $ بالنسبة إلى $ \{\mathbf{b}_1\mathbf{A}\mathbf{b}_i\mathbf{A}^2\mathbf{b}_i\mathbf{A}^3\mathbf{b}_i\} $، لـ $ i = 1,2 $، كلاهما يساويان
3.18
3.23
3.26
3.27
3.29
3.37 القيم الذاتية (eigenvalues): 0, 0. لا يوجد حل لـ $ \mathbf{C}_1 $. لأي $ m_1 $، فإن $ [m_1 \cdot 3 - m_1]' $ حل لـ $ \mathbf{C}_2 $.
3.39 $ \sqrt{6} $ ، 1. 4.7, 1.7.