4.1 المقدمة (Introduction) 

    مع الخلفية الرياضية في الفصل 3، نحن مستعدون لدراسة معادلات فضاء الحالة (state-space) تحليليًا. قبل المتابعة، نذكر أن الدراسة التحليلية لدوال الانتقال الكسرية (rational transfer functions) تُغطّى عادة في مقرر السنة الثانية/الثالثة. انظر، على سبيل المثال، المرجع 10. نراجع هنا ما سنحتاجه في هذا النص.

    اعتبر $ \hat{y}(s) = \hat{g}(s)\hat{u}(s) $ ، حيث $ \hat{g}(s) $ هي دالة انتقال كسرية صارمة (strictly proper rational transfer function) مثل

    $$ \hat {g} (s) = \frac {N (s)}{D (s)} = \frac {N (s)}{(s - p _ {1}) ^ {m _ {1}} \bar {D} (s)} $$

    لها قطب (pole) عند $ p_1 $ بتعددية (multiplicity) $ m_1 $ . عندئذ تكون استجابتها النبضية (impulse response) بالشكل

    $$ g (t) = a _ {0} e ^ {p _ {1} t} + a _ {1} t e ^ {p _ {1} t} + \dots + a _ {m - 1} t ^ {m _ {1} - 1} e ^ {p _ {1} t} + \text{terms due to other poles} \tag {4.1} $$

    لأي كثير حدود بسط (numerator polynomial) $ N(s) $ بدرجة أقل من درجة $ D(s) $ . إن شكل الاستجابة النبضية يتحدد بالأقطاب (poles) وحدها وهو مستقل عن الأصفار (zeros). تؤثر الأصفار فعلًا في المعاملات $ a_{i} $ . تكون المعاملات $ a_{i} $ حقيقية إذا كان القطب $ p_{i} $ حقيقيًا، ومركبة إذا كان $ p_{1} $ مركبًا.

    اعتبر نظامًا له دالة انتقال كسرية صحيحة (proper rational transfer function)

    $$ \hat {g} (s) = \frac {s ^ {2} - 2 s + 1 0}{(s + 1) (s + 2) (s + 3)} = \frac {s ^ {2} - 2 s + 1 0}{s ^ {3} + 6 s ^ {2} + 1 1 s + 6} $$

    إن كتابة

    $$ n = [ 1 - 2 1 0 ]; d = [ 1 6 1 1 6 ]; \text{step} (n, d) $$

    في نافذة الأوامر في MATLAB ستعطي استجابة الخطوة (step response) للنظام. نذكر أنه رغم أننا نستخدم معاملات دالة الانتقال (transfer function) في البرنامج، فإن الاستجابة لا تُحسب من المعادلة $ \hat{y}(s) = \hat{g}(s)\hat{u}(s) $ . فالمعادلة غير مفيدة في حساب الاستجابة تحليليًا إذا كانت $ \hat{u}(s) $ ليست دالة كسرية (rational function) في $ s $ ، كما هو الحال عادةً في التطبيق العملي. حتى إذا كانت $ \hat{u}(s) $ دالة كسرية مثل $ \hat{u}(s) = 1/s $ لمدخل خطوة (step input)، فإن المعادلة لا تُستخدم أيضًا. إن حل $ \hat{y}(s) = \hat{g}(s)\hat{u}(s) $ يتطلب حساب أقطاب (poles) $ \hat{g}(s) $ ، وإجراء تحليل الكسور الجزئية (partial fraction expansion)، والرجوع إلى الجداول (table look-up). إن تطوير برنامج حاسوبي كهذا معقد. إضافةً إلى ذلك، فإن حساب جذور كثير حدود حساس جدًا لتغيرات معلماته. فمثلًا جذور

    $$ D (s) = s ^ {4} + 7 s ^ {3} + 1 8 s ^ {2} + 2 0 s + 8 $$

    هي $ -1, -2, -2 $ ، و $ -2 $ . غير أن جذور

    $$ \bar {D} (s) = s ^ {4} + 7. 0 0 1 s ^ {3} + 1 7. 9 9 9 s ^ {2} + 2 0 s + 8 $$

    هي $ -0.998, -2.2357 $ ، و $ -1.8837 \pm 0.1931j $ . نرى أن معاملي $ D(s) $ يتغيران بأقل من $ 0.1\% $ ، لكن جميع جذور $ D(s) $ تتغير قيمها تغيرًا كبيرًا. لذلك فإن أي إجراء يتطلب حساب الجذور غير مرغوب فيه في الحساب الحاسوبي. وخلاصة القول إن دوال الانتقال (transfer functions) لا تُستخدم في الحساب الحاسوبي. في الواقع، يستخدم MATLAB حصريًا معادلات فضاء الحالة (state-space) لحساب الاستجابات، كما سنناقش في هذا الفصل.

    يدرس هذا الفصل أساسًا معادلات فضاء الحالة (state-space). ندرس أولًا حلولها التحليلية أو ذات الصيغة المغلقة (closed-form solutions). هذه النتائج مطلوبة لتطوير الخصائص العامة للمعادلات في هذا الفصل والفصول اللاحقة. ثم نُظهر أن معادلات فضاء الحالة يمكن استخدامها بسهولة في الحساب الحاسوبي، والمعالجة في الزمن الحقيقي (real-time processing)، وتنفيذ دارات المضخم التشغيلي (op-amp circuit implementation). بعد ذلك نقدم معادلات فضاء الحالة المكافئة (equivalent state-space) ومعادلات فضاء الحالة المكافئة للحالة الصفرية (zero-state equivalent) ونناقش تطبيقاتها العملية. وبما أن دوال الانتقال (transfer functions) غير مناسبة للحساب الحاسوبي كما نوقش سابقًا، فإننا نناقش كيفية تحويلها إلى معادلات فضاء الحالة، وهو ما يُسمى مسألة التحقيق (realization problem). باستخدام تحقيقها بمعادلات فضاء الحالة، يمكن عندئذ حساب دالة الانتقال رقميًا أو تنفيذها باستخدام دارة مضخم تشغيلي (op-amp circuit).

    يناقش هذا الفصل أولًا معادلات فضاء الحالة الخطية ثابتة الزمن (time-invariant linear state-space) ثم حالة الزمن المتغير (time-varying). باستثناء مسألة التحقيق، فإن الاشتقاقات لمعادلات فضاء الحالة أحادية الدخل أحادية الخرج (SISO) ومتعددة الدخل متعددة الخرج (MIMO) متطابقة تقريبًا، لذا نناقش الثانية فقط. أما لمسألة التحقيق، فنناقش أولًا حالة SISO ثم حالة MIMO.