4.2.2 الحل العام لمعادلات فضاء الحالة (state-space) للزمن المتقطع (DT) والثابتة زمنياً (LTI) 

اعتبر معادلة فضاء الحالة للزمن المتقطع (discrete-time (DT) state-space)

$$ \begin{array}{l} \mathbf {x} [ k + 1 ] = \mathbf {A x} [ k ] + \mathbf {B u} [ k ] \\ \mathbf {y} [ k ] = \mathbf {C x} [ k ] + \mathbf {D u} [ k ] \\ \end{array} $$

حيث تم حذف الرمز السفلي $ d $ . من المفهوم أنه إذا كانت المعادلة مشتقة من معادلة زمن مستمر، فإن المصفوفات الأربع يجب أن تُحسب من (4.17). معادلتان الزمن المتقطع هما جبريتان، ولا تتضمنان سوى الجمع والضرب. بمجرد إعطاء $ \mathbf{x}[0] $ و $ \mathbf{u}[k] $ ، $ k = 0, 1, \ldots $ ، يمكن حساب الاستجابة تكراريًا من المعادلتين.

لكي نناقش السلوك العام لمعادلات فضاء الحالة للزمن المتقطع، نطوّر صيغة عامة للحلول. نحسب

$$ \begin{array}{l} \mathbf {x} [ 1 ] = \mathbf {A x} [ 0 ] + \mathbf {B u} [ 0 ] \\ \mathbf {x} [ 2 ] = \mathbf {A x} [ 1 ] + \mathbf {B u} [ 1 ] = \mathbf {A} ^ {2} \mathbf {x} [ 0 ] + \mathbf {A B u} [ 0 ] + \mathbf {B u} [ 1 ] \\ \end{array} $$

وبالمضي قدمًا يمكننا الحصول بسهولة، لـ $ k > 0 $ ، على

$$ \begin{array}{l} \mathbf {x} [ k ] = \mathbf {A} ^ {k} \mathbf {x} [ 0 ] + \sum_ {m = 0} ^ {k - 1} \mathbf {A} ^ {k - 1 - m} \mathbf {B u} [ m ] \\ \mathbf {y} [ k ] = \mathbf {C A} ^ {k} \mathbf {x} [ 0 ] + \sum_ {m = 0} ^ {k - 1} \mathbf {C A} ^ {k - 1 - m} \mathbf {B u} [ m ] + \mathbf {D u} [ k ] \\ \end{array} $$

وهذه هي النظائر المتقطعة (discrete counterparts) للمعادلتين (4.5) و(4.7). اشتقاقها أبسط بكثير من حالة الزمن المستمر.

نناقش خاصية عامة لاستجابة الدخل الصفري (zero-input response) $ \mathbf{A}^k\mathbf{x}[0] $ . لنفترض أن $ \mathbf{A} $ لها قيمة ذاتية $ \lambda_1 $ بتعددية 4 وقيمة ذاتية $ \lambda_2 $ بتعددية 1، ولنفرض أن صيغة جوردان (Jordan form) لها كما في المصفوفة الثانية في (3.39). بمعنى آخر، $ \lambda_1 $ لها مؤشر (index) 3 و $ \lambda_2 $ لها مؤشر 1. عندئذ نحصل باستخدام (3.47) على

$$ \mathbf {A} ^ {k} = \mathbf {Q} \left[ \begin{array}{l l l l l} \lambda_ {1} ^ {k} & k \lambda_ {1} ^ {k - 1} & k (k - 1) \lambda_ {1} t ^ {k - 2} / 2 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_ {1} ^ {k} & k \lambda_ {1} ^ {k - 1} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_ {1} ^ {k} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \lambda_ {1} ^ {k} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \lambda_ {2} ^ {k} \end{array} \right] \mathbf {Q} ^ {- 1} $$

مما يعني أن كل مدخل في استجابة الدخل الصفري هو تركيب خطي من $ \{\lambda_1^k, k\lambda_1^{k-1}, k^2\lambda_1^{k-2}, \lambda_2^k\} $ . هذه المصطلحات تُحدد بالقيم الذاتية (eigenvalues) ومؤشراتِها (indices).

إذا كانت كل قيمة ذاتية، بسيطة أو مكررة، للمصفوفة $ \mathbf{A} $ لها مقدار (magnitude) أقل من 1، فإن كل استجابة دخل صفري ستؤول إلى الصفر عندما $ k \to \infty $ . إذا كانت $ \mathbf{A} $ تمتلك قيمة ذاتية، بسيطة أو مكررة، بمقدار أكبر من 1، فإن معظم استجابات الدخل الصفري ستنمو بلا حدود عندما $ k \to \infty $ . إذا كانت $ \mathbf{A} $ تمتلك بعض القيم الذاتية ذات مقدار 1 وكلها بمؤشر 1 وكانت القيم الذاتية المتبقية كلها ذات مقدار أقل من 1، فلن تنمو أي استجابة دخل صفري بلا حدود. لكن إذا كان المؤشر 2 أو أعلى، فقد تصبح بعض استجابات الحالة الصفرية (zero-state response) غير محدودة. على سبيل المثال، إذا كانت $ \mathbf{A} $ تمتلك قيمة ذاتية 1 بمؤشر 2، فإن $ \mathbf{A}^k $ تحتوي على المصطلحات $ \{1^k, k \cdot 1^k\} = \{1, k\} $ . إذا احتوت استجابة دخل صفري على المصطلح $ k $ ، فإنها ستنمو بلا حدود عندما $ k \to \infty $ .