4.2 الحل العام لمعادلات فضاء الحالة (state-space) للزمن المستمر (CT) والثابتة زمنياً (LTI) 

اعتبر معادلات فضاء الحالة (state-space) للزمن المستمر (CT) والثابتة زمنياً (LTI)

$$ \dot {\mathbf {x}} (t) = \mathbf {A} \mathbf {x} (t) + \mathbf {B} \mathbf {u} (t) \tag {4.2} $$

$$ \mathbf {y} (t) = \mathbf {C x} (t) + \mathbf {D u} (t) \tag {4.3} $$

حيث $ \mathbf{A} $ ، $ \mathbf{B} $ ، $ \mathbf{C} $ ، و $ \mathbf{D} $ هي، على التوالي، مصفوفات ثابتة بأبعاد $ n \times n $ ، $ n \times p $ ، $ q \times n $ ، و $ q \times p $ . المشكلة هي إيجاد الحل المتولد بفعل الحالة الابتدائية (initial state) $ \mathbf{x}(0) $ والمدخل (input) $ \mathbf{u}(t) $ لـ $ t \geq 0 $ . يعتمد الحل على الدالة الأسية (exponential function) للمصفوفة $ \mathbf{A} $ التي دُرست في القسم 3.6. على وجه الخصوص، نحتاج الخاصية في (3.55) أو

$$ \frac {d}{d t} e ^ {\mathbf {A} t} = \mathbf {A} e ^ {\mathbf {A} t} = e ^ {\mathbf {A} t} \mathbf {A} $$

لتطوير الحل. إن ضرب $ e^{-\mathbf{A}t} $ من اليسار (premultiplying) على طرفي (4.2) يعطي

$$ e ^ {- \mathbf {A} t} \dot {\mathbf {x}} (t) - e ^ {- \mathbf {A} t} \mathbf {A x} (t) = e ^ {- \mathbf {A} t} \mathbf {B u} (t) $$

مما يعني

$$ \frac {d}{d t} \left(e ^ {- \mathbf {A} t} \mathbf {x} (t)\right) = e ^ {- \mathbf {A} t} \mathbf {B} \mathbf {u} (t) $$

وتكاملها من 0 إلى $ t $ يعطي

$$ \left. e ^ {- \mathbf {A} \tau} \mathbf {x} (\tau) \right| _ {\tau = 0} ^ {t} = \int_ {0} ^ {t} e ^ {- \mathbf {A} \tau} \mathbf {B u} (\tau) d \tau $$

وبالتالي نحصل على

$$ e ^ {- \mathbf {A} t} \mathbf {x} (t) - e ^ {\mathbf {0}} \mathbf {x} (0) = \int_ {0} ^ {t} e ^ {- \mathbf {A} \tau} \mathbf {B u} (\tau) d \tau \tag {4.4} $$

ولأن معكوس $ e^{-\mathbf{A}t} $ هو $ e^{\mathbf{A}t} $ و $ e^0 = \mathbf{I} $ كما نوقش في (3.54) و(3.52)، فإن (4.4) تعطي

$$ \mathbf {x} (t) = e ^ {\mathbf {A} t} \mathbf {x} (0) + \int_ {0} ^ {t} e ^ {\mathbf {A} (t - \tau)} \mathbf {B} \mathbf {u} (\tau) d \tau \tag {4.5} $$

وهذا هو حل (4.2).

من المفيد التحقق من أن (4.5) هو حل (4.2). لإثبات ذلك، يجب أن نُظهر أن (4.5) تحقق (4.2) والشرط الابتدائي $ \mathbf{x}(t) = \mathbf{x}(0) $ عند $ t = 0 $ . بالفعل، عند $ t = 0 $ ، تختزل (4.5) إلى

$$ \mathbf {x} (0) = e ^ {\mathbf {A} \cdot 0} \mathbf {x} (0) = e ^ {\mathbf {0}} \mathbf {x} (0) = \mathbf {I x} (0) = \mathbf {x} (0) $$

ومن ثم تحقق (4.5) الشرط الابتدائي. نحتاج المعادلة

$$ \frac {\partial}{\partial t} \int_ {t _ {0}} ^ {t} f (t, \tau) d \tau = \int_ {t _ {0}} ^ {t} \left(\frac {\partial}{\partial t} f (t, \tau)\right) d \tau + f (t, \tau) | _ {\tau = t} \tag {4.6} $$

لإظهار أن (4.5) تحقق (4.2). إن تفاضل (4.5) واستخدام (4.6) يعطيان

$$ \begin{array}{l} \dot {\mathbf {x}} (t) = \frac {d}{d t} \left[ e ^ {\mathbf {A} t} \mathbf {x} (0) + \int_ {0} ^ {t} e ^ {\mathbf {A} (t - \tau)} \mathbf {B} \mathbf {u} (\tau) d \tau \right] \\ = \mathbf {A} e ^ {\mathbf {A} t} \mathbf {x} (0) + \int_ {0} ^ {t} \mathbf {A} e ^ {\mathbf {A} (t - \tau)} \mathbf {B} \mathbf {u} (\tau) d \tau + e ^ {\mathbf {A} (t - \tau)} \mathbf {B} \mathbf {u} (\tau) \Big | _ {\tau = t} \\ = \mathbf {A} \left[ e ^ {\mathbf {A} t} \mathbf {x} (0) + \int_ {0} ^ {t} e ^ {\mathbf {A} (t - \tau)} \mathbf {B} \mathbf {u} (\tau) d \tau \right] + e ^ {\mathbf {A} \cdot 0} \mathbf {B} \mathbf {u} (t) \\ \end{array} $$

والتي تصبح، بعد التعويض عن (4.5)،

$$ \dot {\mathbf {x}} (t) = \mathbf {A} \mathbf {x} (t) + \mathbf {B} \mathbf {u} (t) $$

وهكذا تحقق (4.5) المعادلة (4.2) والشرط الابتدائي $ \mathbf{x}(0) $ وهي حل (4.2). ويمكن الحصول على حل (4.3) بتعويض (4.5) في (4.3) على النحو

$$ \mathbf {y} (t) = \mathbf {C} e ^ {\mathbf {A} t} \mathbf {x} (0) + \mathbf {C} \int_ {0} ^ {t} e ^ {\mathbf {A} (t - \tau)} \mathbf {B} \mathbf {u} (\tau) d \tau + \mathbf {D} \mathbf {u} (t) \tag {4.7} $$

هذا الحل و(4.5) يُحسبان مباشرة في مجال الزمن (time domain). ويمكننا أيضًا حساب الحلول باستخدام تحويل لابلاس (Laplace transform). إن تطبيق تحويل لابلاس على (4.2) و(4.3) يعطي، كما اشتُق في (2.11) والمعادلة السابقة لها،

$$ \begin{array}{l} \hat {\mathbf {x}} (s) = (s \mathbf {I} - \mathbf {A}) ^ {- 1} [ \mathbf {x} (0) + \mathbf {B} \hat {\mathbf {u}} (s) ] \\ \hat {\mathbf {y}} (s) = \mathbf {C} (s \mathbf {I} - \mathbf {A}) ^ {- 1} [ \mathbf {x} (0) + \mathbf {B} \hat {\mathbf {u}} (s) ] + \mathbf {D} \hat {\mathbf {u}} (s) \\ \end{array} $$

وبمجرد حساب $ \hat{\mathbf{x}}(s) $ و $ \hat{\mathbf{y}}(s) $ جبريًا، فإن تحويلات لابلاس العكسية (inverse Laplace transforms) تعطي حلول مجال الزمن.

نقدم الآن بعض الملاحظات بشأن حساب $ e^{\mathbf{A}t} $ . ناقشنا في القسم 3.6 ثلاث طرق لحساب دوال مصفوفة (functions of a matrix). ويمكن استخدام جميعها لحساب $ e^{\mathbf{A}t} $ :

باستخدام النظرية 3.5: نحسب أولًا القيم الذاتية (eigenvalues) للمصفوفة $ \mathbf{A} $ ؛ ثم نجد كثير حدود $ h(\lambda) $ بدرجة $ n - 1 $ يساوي $ e^{\lambda t} $ على طيف (spectrum) $ \mathbf{A} $ ؛ عندئذ $ e^{\mathbf{A}t} = h(\mathbf{A}) $ .
باستخدام صيغة جوردان (Jordan form) للمصفوفة $ \mathbf{A} $ : لتكن $ \mathbf{A} = \mathbf{Q}\hat{\mathbf{A}}\mathbf{Q}^{-1} $ ؛ عندئذ $ e^{\mathbf{A}t} = \mathbf{Q}e^{\hat{\mathbf{A}}t}\mathbf{Q}^{-1} $ ، حيث $ \hat{\mathbf{A}} $ في صيغة جوردان ويمكن الحصول على $ e^{\hat{\mathbf{A}}t} $ بسهولة باستخدام (3.48).
باستخدام متسلسلة القوى اللانهائية (infinite power series) في (3.51)؛ وعلى الرغم من أن المتسلسلة لن تعطي، عمومًا، حلًا مغلق الصيغة (closed-form solution)، فإنها مناسبة للحساب الحاسوبي، كما نوقش بعد (3.51).

بالإضافة إلى ذلك، يمكننا استخدام (3.58) لحساب $ e^{\mathbf{A}t} $ ، أي

$$ e ^ {\mathbf {A} t} = \mathcal {L} ^ {- 1} (s \mathbf {I} - \mathbf {A}) ^ {- 1} \tag {4.8} $$

إن معكوس $ (s\mathbf{I} - \mathbf{A}) $ هو دالة في $ \mathbf{A} $ ؛ لذا لدينا مرة أخرى طرق عديدة لحسابه:

أخذ معكوس $ (s\mathbf{I} - \mathbf{A}) $
استخدام النظرية 3.5.
استخدام $ (s\mathbf{I} - \mathbf{A})^{-1} = \mathbf{Q}(s\mathbf{I} - \hat{\mathbf{A}})^{-1}\mathbf{Q}^{-1} $ و(3.49).
استخدام متسلسلة القوى اللانهائية (infinite power series) في (3.57).
استخدام خوارزمية لوفيرييه (Leverrier algorithm) التي نوقشت في المسألة 3.31.

مثال 4.2.1 نستخدم الطريقتين 1 و2 لحساب $ (s\mathbf{I} - \mathbf{A})^{-1} $ حيث

$$ \mathbf {A} = \left[ \begin{array}{c c} 0 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} \right] $$

الطريقة 1: نستخدم (3.20) لحساب

$$ \begin{array}{l} (s \mathbf {I} - \mathbf {A}) ^ {- 1} = \left[ \begin{array}{c c} s & 1 \\ - 1 & s + 2 \end{array} \right] ^ {- 1} = \frac {1}{s ^ {2} + 2 s + 1} \left[ \begin{array}{c c} s + 2 & - 1 \\ 1 & s \end{array} \right] \\ = \left[ \begin{array}{c c} (s + 2) / (s + 1) ^ {2} & - 1 / (s + 1) ^ {2} \\ 1 / (s + 1) ^ {2} & s / (s + 1) ^ {2} \end{array} \right] \\ \end{array} $$

الطريقة 2: القيم الذاتية (eigenvalues) للمصفوفة $ \mathbf{A} $ هي $ -1, -1 $ . لتكن $ h(\lambda) = \beta_0 + \beta_1\lambda $ . إذا كان $ h(\lambda) $ مساويًا لـ $ f(\lambda) := (s - \lambda)^{-1} $ على طيف (spectrum) $ \mathbf{A} $ ، فعندئذ

$$ \begin{array}{l} f (- 1) = h (- 1): \quad (s + 1) ^ {- 1} = \beta_ {0} - \beta_ {1} \\ f ^ {\prime} (- 1) = h ^ {\prime} (- 1): \quad (s + 1) ^ {- 2} = \beta_ {1} \\ \end{array} $$

ومن ثم نحصل على

$$ h (\lambda) = [ (s + 1) ^ {- 1} + (s + 1) ^ {- 2} ] + (s + 1) ^ {- 2} \lambda $$

$$ \begin{array}{l} (s \mathbf {I} - \mathbf {A}) ^ {- 1} = h (\mathbf {A}) = [ (s + 1) ^ {- 1} + (s + 1) ^ {- 2} ] \mathbf {I} + (s + 1) ^ {- 2} \mathbf {A} \\ = \left[ \begin{array}{c c} (s + 2) / (s + 1) ^ {2} & - 1 / (s + 1) ^ {2} \\ 1 / (s + 1) ^ {2} & s / (s + 1) ^ {2} \end{array} \right] \\ \end{array} $$

مثال 4.2.2 اعتبر المعادلة

$$ \dot {\mathbf {x}} (t) = \left[ \begin{array}{l l} 0 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} \right] \mathbf {x} (t) + \left[ \begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array} \right] u (t) $$

حلها هو

$$ \mathbf {x} (t) = e ^ {\mathbf {A} t} \mathbf {x} (0) + \int_ {0} ^ {t} e ^ {\mathbf {A} (t - \tau)} \mathbf {B} u (\tau) d \tau $$

إن دالة المصفوفة $ e^{\mathbf{A}t} $ هي تحويل لابلاس العكسي (inverse Laplace transform) لـ $ (s\mathbf{I} - \mathbf{A})^{-1} $ الذي حُسب في المثال السابق. وبالتالي نحصل على

$$ e ^ {\mathbf {A} t} = \mathcal {L} ^ {- 1} \left[ \begin{array}{c c} \frac {s + 2}{(s + 1) ^ {2}} & \frac {- 1}{(s + 1) ^ {2}} \\ \frac {1}{(s + 1) ^ {2}} & \frac {s}{(s +) ^ {2}} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c c} (1 + t) e ^ {- t} & - t e ^ {- t} \\ t e ^ {- t} & (1 - t) e ^ {- t} \end{array} \right] $$

$$ \mathbf {x} (t) = \left[ \begin{array}{c c} (1 + t) e ^ {- t} & - t e ^ {- t} \\ t e ^ {- t} & (1 - t) e ^ {- t} \end{array} \right] \mathbf {x} (0) + \left[ \begin{array}{l} \int_ {0} ^ {t} - (t - \tau) e ^ {- (t - \tau)} u (\tau) d \tau \\ \int_ {0} ^ {t} [ 1 - (t - \tau) ] e ^ {- (t - \tau)} u (\tau) d \tau \end{array} \right] $$

نناقش خاصية عامة لاستجابة الدخل الصفري (zero-input response) $ e^{\mathbf{A}t}\mathbf{x}(0) $ . اعتبر المصفوفة الثانية في (3.39). عندئذ نحصل على

$$ e ^ {A t} = \mathbf {Q} \left[ \begin{array}{c c c c c} e ^ {\lambda_ {1} t} & t e ^ {\lambda_ {1} t} & t ^ {2} e ^ {\lambda_ {1} t} / 2 & 0 & 0 \\ 0 & e ^ {\lambda_ {1} t} & t e ^ {\lambda_ {1} t} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & e ^ {\lambda_ {1} t} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & e ^ {\lambda_ {1} t} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & e ^ {\lambda_ {2} t} \end{array} \right] \mathbf {Q} ^ {- 1} $$

كل مدخل من $ e^{\mathbf{A}t} $ وبالتالي من استجابة الدخل الصفري هو تركيب خطي لمصطلحات $ \{e^{\lambda_1 t}, te^{\lambda_1 t}, t^2 e^{\lambda_1 t}, e^{\lambda_2 t}\} $ . تُحدَّد هذه المصطلحات بواسطة القيم الذاتية (eigenvalues) ومؤشراتِها (indices). عمومًا، إذا كانت $ \mathbf{A} $ تمتلك قيمة ذاتية $ \lambda_1 $ بمؤشر (index) $ n_1 $ ، فإن كل مدخل في $ e^{\mathbf{A}t} $ هو تركيب خطي من

$$ e ^ {\lambda_ {1} t} t e ^ {\lambda_ {1} t} \dots t ^ {\bar {n} _ {1} - 1} e ^ {\lambda_ {1} t} $$

كل مصطلح من هذا النوع تحليلي (analytic) بمعنى أنه قابل للاشتقاق بلا نهاية ويمكن توسيعه في متسلسلة تايلور (Taylor series) عند كل $ t $ . هذه خاصية جميلة وسيُستفاد منها في الفصل 6.

إذا كانت كل قيمة ذاتية، بسيطة أو مكررة، للمصفوفة $ \mathbf{A} $ لها جزء حقيقي سالب، فإن كل استجابة دخل صفري ستؤول إلى الصفر عندما $ t \to \infty $ . إذا كانت $ \mathbf{A} $ تمتلك قيمة ذاتية، بسيطة أو مكررة، بجزء حقيقي موجب، فإن معظم استجابات الدخل الصفري ستنمو بلا حدود عندما $ t \to \infty $ . إذا كانت $ \mathbf{A} $ تمتلك بعض القيم الذاتية ذات جزء حقيقي صفري وكلها بمؤشر 1 وكانت القيم الذاتية المتبقية كلها ذات أجزاء حقيقية سالبة، فلن تنمو أي استجابة دخل صفري بلا حدود. لكن إذا كان المؤشر 2 أو أعلى، فقد تصبح بعض استجابات الدخل الصفري غير محدودة. على سبيل المثال، إذا كانت $ \mathbf{A} $ تمتلك قيمة ذاتية 0 بمؤشر 2، فإن $ e^{\mathbf{A}t} $ تحتوي على المصطلحات $ \{e^{0\cot t}, te^{0\cdot t}\} = \{1, t\} $ . إذا احتوت استجابة الدخل الصفري على المصطلح $ t $ ، فإنها ستنمو بلا حدود.