4.3.2 تنفيذ دارات المضخم التشغيلي (op-amp circuit implementation) 

    يمكن تنفيذ كل معادلة فضاء حالة (state-space) خطية ثابتة زمنياً (LTI) باستخدام دارة مضخم تشغيلي (operational amplifier (op-amp)). يبيّن الشكل 4.2 عنصرين قياسيين لدارات المضخم التشغيلي. جميع المداخل موصولة، عبر مقاومات، بالطرف العاكس (inverting terminal). غير مبين الطرف غير العاكس المؤرّض (grounded noninverting terminal) ومصادر القدرة. إذا كان فرع التغذية الراجعة (feedback branch) مقاومة كما في الشكل 4.2(a)، فإن خرج العنصر هو $ -(ax_1 + bx_2 + cx_3) $ . وإذا كان فرع التغذية الراجعة مكثفًا بسعة $ C $ ومع $ RC = 1 $ كما في الشكل 4.2(b)؛ وإذا سُمِّي الخرج $ x $ ، فإن $ \dot{x} = -(av_1 + bv_2 + cv_3) $ . نسمي العنصر الأول جامعًا (adder)؛ والعنصر الثاني مكاملًا (integrator). في الواقع، يعمل الجامع أيضًا كمضروب (multipliers) ويعمل المكامل أيضًا كمضروب وجامع. إذا استخدمنا مدخلًا واحدًا فقط، مثل $ x_1 $ ، في الشكل 4.2(a)، فإن الخرج يساوي $ -ax_1 $ ، ويمكن استخدام العنصر كمقلّب (inverter) بكسب $ a $ . والآن نستخدم مثالًا لإظهار أن كل معادلة فضاء حالة LTI يمكن تنفيذها باستخدام نوعي العناصر في الشكل 4.2.

    اعتبر معادلة فضاء الحالة

    $$ \left[ \begin{array}{l} \dot {x} _ {1} (t) \\ \dot {x} _ {2} (t) \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l l} 2 & - 0. 3 \\ 1 & - 8 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{l} x _ {1} (t) \\ x _ {2} (t) \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{l} - 2 \\ 0 \end{array} \right] u (t) \tag {4.20} $$
    $$ y (t) = \left[ \begin{array}{l l} - 2 & 3 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} x _ {1} (t) \\ x _ {2} (t) \end{array} \right] + 5 u (t) \tag {4.21} $$


    الشكل 4.2 (FIGURE 4.2) عنصران لدارات المضخم التشغيلي (op-amp).


    الشكل 4.3 (FIGURE 4.3) تنفيذ المضخم التشغيلي (op-amp) للمعادلتين (4.20) و(4.21).

    بُعدها 2 ونحتاج إلى مكاملين لتنفيذها. لدينا حرية اختيار خرج كل مكامل ليكون $ +x_{i} $ أو $ -x_{i} $ . لنفترض أننا نُعيّن خرج مكامل الطرف الأيسر (LHS) على أنه $ x_{1} $ ونُعيّن خرج مكامل الطرف الأيمن (RHS) على أنه $ -x_{2} $ ، كما هو موضح في الشكل 4.3. عندئذ يجب أن يكون دخل مكامل الطرف الأيسر، من المعادلة الأولى في (4.20)، $ -\dot{x}_{1} = -2x_{1} + 0.3x_{2} + 2u $ ويُوصّل كما هو موضح. ويجب أن يكون دخل مكامل الطرف الأيمن $ \dot{x}_2 = x_1 - 8x_2 $ ويُوصّل كما هو موضح. إذا اختير خرج الجامع على أنه $ y $ ، فإن دخله يجب أن يساوي $ -y = 2x_{1} - 3x_{2} - 5u $ ويُوصّل كما هو موضح. وهكذا يمكن تنفيذ معادلة فضاء الحالة في (4.20) و(4.21) كما في الشكل 4.3. لاحظ أن هناك طرقًا عديدة لتنفيذ المعادلة نفسها. فمثلًا، إذا عيّنا خرج المكاملين في الشكل 4.3 على أنهما $ x_{1} $ و $ x_{2} $ ، بدلًا من $ x_{1} $ و $ -x_{2} $ ، فسوف نحصل على تنفيذ مختلف. انظر المراجع 7 و10.

    في دارات المضخم التشغيلي الفعلية، يكون نطاق الإشارات محدودًا بجهود التغذية. إذا نمت أي إشارة خارج هذا النطاق، فإن الدارة ستتشبع أو تحترق ولن تتصرف كما تفعل المعادلة. ومع ذلك، توجد طريقة للتعامل مع هذه المشكلة، كما سنناقش في قسم لاحق.