4.4.1 الأشكال القانونية (Canonical Forms) 

    يحتوي MATLAB على الدالة [ab, bb, cb, db, P] = canon (a, b, c, d, 'type'). إذا كان type = companion، فإن الدالة تولّد معادلة فضاء حالة مكافئة تكون فيها المصفوفة A على هيئة الرفيق (companion form) في (3.24). تعمل هذه الدالة فقط إذا كانت Q := [bƒ,? A bƒ,? ... A^(n-1) bƒ,?] غير منفردة (nonsingular)، حيث إن bƒ,? هي العمود الأول من B. هذا الشرط هو نفسه قابلية التحكم (controllable) لـ {A, bƒ,?}، كما سنناقش في الفصل 6. إن P التي تولدها الدالة canon تساوي Qƒ?¯A1. انظر المناقشة في القسم 3.4. يوضح المثال التالي استخدام canon وأثره العملي.

    مثال 4.4.3 اعتبر معادلة فضاء الحالة في (4.20) و(4.21). في تنفيذ دارة المضخم التشغيلي (op-amp) لها، فإن الإدخال 0 يعني عدم توصيل و1 يعني توصيلًا مباشرًا. لذلك فإن عدد المكوّنات المطلوبة في تنفيذها يتناسب مع العدد الكلي للمداخل التي تختلف عن 0 أو 1. العدد الكلي لهذه المداخل في (4.20) و(4.21) هو 7.

    كتابة ما يلي في MATLAB

    $$ \begin{array}{l} a = [ 2 - 0. 3; 1 - 8 ]; b = [ - 2; 0 ]; c = [ 1 - 8 ]; d = 5; \\ [ a b, b b, c b, d b ] = \text{canon} (a, b, c, d, ^ {\prime} \text{companion} ^ {\prime}) \\ \end{array} $$

    ستعطي

    $$ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} \dot {\bar {x}} _ {1} (t) \\ \dot {\bar {x}} _ {2} (t) \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c c} 0 & 1 5. 7 \\ 1 & - 6 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{l} \bar {x} _ {1} (t) \\ \bar {x} _ {2} (t) \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} \right] u (t) \\ y (t) = [ 4 \quad 2 ] \bar {\mathbf {x}} (t) + 5 u (t) \\ \end{array} $$

    هذه معادلة فضاء حالة مكافئة لتلك في (4.20) و(4.21) ومصفوفة A فيها على هيئة الرفيق (companion form) المبينة في (3.24). تحتوي المعادلة على 5 مداخل تختلف عن 0 أو 1. إذا استخدمنا المعادلة لتنفيذ دارة مضخم تشغيلي (op-amp)، فإن عدد المكونات المستخدمة يمكن تقليله بمقدار $ (7 - 5) / 7 = 28.5\% $ .

    نناقش الآن شكلًا قانونيًا (canonical form) مختلفًا. لنفترض أن $ \mathbf{A} $ لها قيمتان ذاتيتان حقيقيتان وقيمتان ذاتيتان عقديتان. وبما أن $ \mathbf{A} $ لها معاملات حقيقية فقط، فإن القيم الذاتية العقدية

    يجب أن تكون مرافقًا عقديًا (complex conjugate). لتكن $ \lambda_1, \lambda_2, \alpha + j\beta $ ، و $ \alpha - j\beta $ هي القيم الذاتية ولتكن $ \mathbf{q}_1, \mathbf{q}_2, \mathbf{q}_3 $ ، و $ \mathbf{q}_4 $ هي المتجهات الذاتية المقابلة، حيث إن $ \lambda_1, \lambda_2, \alpha, \beta, \mathbf{q}_1 $ ، و $ \mathbf{q}_2 $ كلها حقيقية و $ \mathbf{q}_4 $ يساوي المرافق العقدي (complex conjugate) لـ $ \mathbf{q}_3 $ . عرّف $ \mathbf{Q} = [\mathbf{q}_1 \mathbf{q}_2 \mathbf{q}_3 \mathbf{q}_4] $ . عندئذ نحصل على

    $$ \mathbf {J} := \left[ \begin{array}{c c c c} \lambda_ {1} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_ {2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \alpha + j \beta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \alpha - j \beta \end{array} \right] = \mathbf {Q} ^ {- 1} \mathbf {A} \mathbf {Q} $$

    لاحظ أن $ \mathbf{Q} $ و $ \mathbf{J} $ يمكن الحصول عليهما من $ [\mathbf{q},\mathbf{j}] = \mathrm{eig}(\mathbf{a}) $ في MATLAB كما في المثالين 3.5.1 و3.5.2. هذه الصيغة غير مفيدة عمليًا، لكن يمكن تحويلها إلى مصفوفة حقيقية بواسطة تحويل تشابه (similarity transformation) كما يلي

    $$ \begin{array}{l} \bar {\mathbf {Q}} ^ {- 1} \mathbf {J} \bar {\mathbf {Q}} := \left[ \begin{array}{l l l l} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & j & - j \end{array} \right] \left[ \begin{array}{l l l l} \lambda_ {1} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_ {2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \alpha + j \beta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \alpha - j \beta \end{array} \right] \\ \cdot \left[ \begin{array}{c c c c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0. 5 & - 0. 5 j \\ 0 & 0 & 0. 5 & 0. 5 j \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c c c c} \lambda_ {1} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_ {2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \alpha & \beta \\ 0 & 0 & - \beta & \alpha \end{array} \right] =: \bar {\mathbf {A}} \\ \end{array} $$

    نرى أن هذا التحويل يحوّل القيم الذاتية العقدية على القطر إلى كتلة تحوي الجزء الحقيقي للقيم الذاتية على القطر والجزء التخيلي خارج القطر. تُسمى مصفوفة $ \mathbf{A} $ الجديدة بأنها في الصيغة النمطية (modal form). دالة MATLAB ‏[ab, bb, cb, db, P] = canon(a, b, c, d 'modal') أو canon(a, b, c, d) بدون تحديد النوع ستعطي معادلة فضاء حالة مكافئة تكون فيها $ \bar{\mathbf{A}} $ في الصيغة النمطية. لاحظ أنه لا حاجة لتحويل $ \mathbf{A} $ إلى صيغة قطرية ثم إلى صيغة نمطية. يمكن دمج التحويلين في واحد كما يلي

    $$ \begin{array}{l} \mathbf {P} ^ {- 1} = \mathbf {Q} \bar {\mathbf {Q}} = [ \mathbf {q} _ {1} \quad \mathbf {q} _ {2} \quad \mathbf {q} _ {3} \quad \mathbf {q} _ {4} ] \left[ \begin{array}{l l l l} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0. 5 & - 0. 5 j \\ 0 & 0 & 0. 5 & 0. 5 j \end{array} \right] \\ = \left[ \mathbf {q} _ {1} \quad \mathbf {q} _ {2} \operatorname {R e} \left(\mathbf {q} _ {3}\right) \operatorname {I m} \left(\mathbf {q} _ {3}\right) \right] \\ \end{array} $$

    حيث تشير $ \mathrm{Rc} $ و $ \mathrm{Im} $ على التوالي إلى الجزء الحقيقي والجزء التخيلي وقد استخدمنا في المساواة الأخيرة حقيقة أن $ \mathbf{q}_4 $ هو المرافق العقدي لـ $ \mathbf{q}_3 $ . نقدم مثالًا آخر. تكون الصيغة النمطية لمصفوفة ذات قيمة ذاتية حقيقية $ \lambda_1 $ وزوجين من القيم الذاتية العقدية المميزة $ \alpha_i \pm j\beta_i $ ، لـ $ i = 1,2 $ ، هي

    $$ \bar {\mathbf {A}} = \left[ \begin{array}{c c c c c} \lambda_ {1} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \alpha_ {1} & \beta_ {1} & 0 & 0 \\ 0 & - \beta_ {1} & \alpha_ {1} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \alpha_ {2} & \beta_ {2} \\ 0 & 0 & 0 & - \beta_ {2} & \alpha_ {2} \end{array} \right] \tag {4.28} $$

    وهي كتلية قطرية (block diagonal) ويمكن الحصول عليها بواسطة تحويل التشابه

    $$ \mathbf {P} ^ {- 1} = \left[ \mathbf {q} _ {1} \operatorname {R e} \left(\mathbf {q} _ {2}\right) \operatorname {I m} \left(\mathbf {q} _ {2}\right) \operatorname {R e} \left(\mathbf {q} _ {4}\right) \operatorname {I m} \left(\mathbf {q} _ {4}\right) \right] $$

    حيث إن $ \mathbf{q}_1, \mathbf{q}_2 $ ، و $ \mathbf{q}_4 $ هي على التوالي المتجهات الذاتية المرتبطة بـ $ \lambda_1, \alpha_1 + j\beta_1 $ ، و $ \alpha_2 + j\beta_2 $ . هذه الصيغة مفيدة في تصميم فضاء الحالة (state-space design) وتنفيذ دارات المضخم التشغيلي (op-amp circuit implementation).