4.4.2 تحجيم السعة (Magnitude Scaling) في دارات المضخم التشغيلي (op-amp) 

    كما نوقش في الفقرة 4.3.1، يمكن تنفيذ كل معادلة فضاء حالة خطية ثابتة زمنياً (LTI state-space) باستخدام دارة مضخم تشغيلي (op-amp). $ ^{3} $ في الدارات الفعلية للمضخم التشغيلي، تكون جميع الإشارات محدودة بجهود التغذية. إذا استخدمنا مزودات طاقة $ \pm 15 $ فولت، فإن جميع الإشارات محدودة تقريبًا إلى $ \pm 13 $ فولت. إذا تجاوزت أي إشارة هذا المجال، فسوف تتشبع الدارة ولن تتصرف وفقًا لمعادلة فضاء الحالة. لذلك فإن التشبع (saturation) قضية مهمة في التنفيذ الفعلي لدارات المضخم التشغيلي. نستخدم أولًا مثالًا لتوضيح هذه النقطة.

    مثال 4.4.4 اعتبر معادلة فضاء الحالة

    $$ \begin{array}{l} \dot {\mathbf {x}} (t) = \left[ \begin{array}{c c} - 0. 1 & 2 \\ 0 & - 1 \end{array} \right] \mathbf {x} (t) + \left[ \begin{array}{c} 1 0 \\ 0. 1 \end{array} \right] u (t) \\ y (t) = \left[ \begin{array}{l l} 0. 2 & - 1 \end{array} \right] \mathbf {x} (t) \tag {4.29} \\ \end{array} $$

    لنفرض أن المدخل هو دالة خطوة (step function) بسعات مختلفة وأن المعادلة ستُنفّذ باستخدام دارة مضخم تشغيلي يجب أن تُحَدَّد فيها جميع الإشارات إلى $ \pm 10 $ . أولًا نستخدم MATLAB لإيجاد استجابة خطوة الوحدة (unit step response). كتابة ما يلي في MATLAB

    $$ \begin{array}{l} \mathrm {a = [ - 0 . 1 2 ; 0 - 1 ] ; b = [ 1 0 ; 0 . 1 ] ; c = [ 0 . 2 - 1 ] ; d = 0 ;} \\ \mathrm {[ y , x , t ] = s t e p (a , b , c , d) ;} \\ \mathrm {p l o t (t , y , t , x)} \end{array} $$

    تعطي الرسم في الشكل 4.6(a). نرى أن أكبر مقدار لجميع المتغيرات هو 100. لذا إذا طبقنا مدخل خطوة بسعة 1، ستتشبع الدارة ولن تعمل كما هو مصمم. وبما أن المعادلة خطية، فإن تقليل سعة مدخل الخطوة بعامل ما سيؤدي إلى تقليل جميع الاستجابات بالعامل نفسه. بمعنى آخر، إذا طبقنا مدخل خطوة بسعة 0.1، فسيكون أكبر مقدار لجميع المتغيرات هو 10 ولن تتشبع الدارة. وخلاصة القول إن دارة المضخم التشغيلي المبنية على (4.29) يمكنها العمل كما تشير المعادلة فقط إذا كانت سعة مدخل الخطوة المطبق 0.1 أو أقل.

    من الصحيح عمومًا أن كل نظام عملي يمكن أن يعمل خطيًا فقط ضمن مجال دخل محدود. بالنسبة للنظام الموصوف بـ(4.29)، سنستخدم الآن تحويل تكافؤ (equivalence transformation) لتوسيع مجال الدخل المسموح. أي تحويل تكافؤ لن يؤثر في العلاقة بين المدخل $ u(t) $ والمخرج $ y(t) $ ، لكن يمكننا اختيار تحويل تكافؤ يحقق

    $$ \left| x _ {i} (t) \right| \leq \left| y \right| _ {\max } $$


    الشكل 4.6 (FIGURE 4.6) الاستجابات الزمنية.

    لكل $ i $ ولكل $ t $ . تحت هذا الافتراض، إذا لم يتشبع المخرج، فإن جميع متغيرات الحالة لن تتشبع. من الاستجابة المبينة في الشكل 4.6(a)، نرى أنه إذا كانت سعة مدخل الخطوة المطبق 0.5 أو أقل، فإن $ |y|_{\max} = 10 $ ولن يتشبع المخرج.

    نجد الآن تحويل تكافؤ يحقق $ |x_i(t)| \leq |y|_{max} $ . من الشكل 4.6(a)، لدينا $ |x_1|_{max} = 100 $ ، $ |y|_{max} = 20 $ ، و $ |x_2| < |y|_{max} $ . متغير الحالة $ x_2 $ بالكاد يظهر وأكبر مقداره يُوجد ليكون 0.1 برسمه منفصلًا (غير مبين). لنختر

    $$ \bar {x} _ {1} = \frac {2 0}{1 0 0} x _ {1} = 0. 2 x _ {1}, \quad \bar {x} _ {2} = \frac {2 0}{0 . 1} x _ {2} = 2 0 0 x _ {2} $$

    مع هذا التحويل، ستساوي القيم العظمى لـ $ \bar{x}_1(t) $ و $ \bar{x}_2(t) $ القيمة $ |y|_{max} $ . لاحظ أن الاختيار غير فريد؛ يمكننا اختيار $ \bar{x}_1 = 0.1x_1 $ و $ \bar{x}_2 = x_2 $ أو غير ذلك. يمكن التعبير عن التحويل على أنه $ \bar{\mathbf{x}} = \mathbf{P}\mathbf{x} $ مع

    $$ \mathbf {P} = \left[ \begin{array}{c c} 0. 2 & 0 \\ 0 & 2 0 0 \end{array} \right], \quad \mathbf {P} ^ {- 1} = \left[ \begin{array}{c c} 5 & 0 \\ 0 & 0. 0 0 5 \end{array} \right] $$

    ثم يمكن حساب معادلة فضاء الحالة المكافئة بسهولة من (4.29) على النحو

    $$ \begin{array}{l} \dot {\bar {\mathbf {x}}} (t) = \left[ \begin{array}{c c} - 0. 1 & 0. 0 0 2 \\ 0 & - 1 \end{array} \right] \bar {\mathbf {x}} (t) + \left[ \begin{array}{l} 2 \\ 2 0 \end{array} \right] u (t) \\ y (t) = [ 1 - 0. 0 0 5 ] \bar {\mathbf {x}} (t) \\ \end{array} $$

    تُرسم استجاباتها المتولدة بالمدخل $ u(t) = 0.5 $ لـ $ t \geq 0 $ في الشكل 4.6(b). نرى أن جميع الإشارات تقع ضمن المجال $ \pm 10 $ وتشغل المدى الكامل. لذا فإن دارة المضخم التشغيلي المبنية على معادلة التكافؤ ستعمل بصورة صحيحة إذا كانت سعة مدخل الخطوة المطبق 0.5 أو أقل. وهذا تحسن كبير مقارنة بدارة المضخم التشغيلي المبنية على (4.29)، حيث يُطلب أن تكون سعة مدخل الخطوة 0.1 أو أقل. رغم أننا نناقش فقط مداخل الخطوة، فإن الفكرة قابلة للتطبيق على أي مدخل لكنها ستكون أكثر تعقيدًا.

    الحواسيب التناظرية (analog computers) هي في الأساس دارات مضخم تشغيلي. عند استخدام حاسوب تناظري، فإن الجزء الأصعب هو تجنب التشبع. تُسمى عملية ضبط المعلمات لتجنب التشبع تحجيم السعة (magnitude scaling) وتُنفّذ بالمحاولة والخطأ. وباستخدام

    حاسوب رقمي وتحويل تكافؤ، يمكننا، كما هو موضح أعلاه، إيجاد معادلة فضاء حالة ذات أكبر مجال دخل مسموح. هذا تطبيق عملي لتحويلات التشابه (similarity transformations) أو التكافؤ (equivalence transformations).