4.4 معادلات فضاء الحالة المكافئة (Equivalent State-Space Equations) 

يوفر المثال التالي دافعًا لدراسة معادلات فضاء الحالة المكافئة (equivalent state-space).

مثال 4.4.1 اعتبر الدارة المبينة في الشكل 4.4. تتكون من مكثف واحد ومحث واحد ومقاومة واحدة ومصدر جهد واحد. أولًا نختار تيار المحث $ x_{1} $

الشكل 4.4 (FIGURE 4.4) دارة بمجموعتين مختلفتين من متغيرات الحالة.

وجهـد المكثف $ x_{2} $ كمتغيرات حالة كما هو موضح. الجهد عبر المحث هو $ \dot{\mathbf{x}}_{1} $ والتيار عبر المكثف هو $ \dot{\mathbf{x}}_{2} $ . الجهد عبر المقاومة هو $ x_{2} $ ؛ لذا تيارها هو $ x_{2} / 1 = x_{2} $ . من الواضح أن $ x_{1} = x_{2} + \dot{x}_{2} $ و $ \dot{x}_{1} + x_{2} - u = 0 $ . وبالتالي تُوصف الدارة بمعادلة فضاء الحالة التالية:

$$ \left[ \begin{array}{l} \dot {x} _ {1} (t) \\ \dot {x} _ {2} (t) \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{r r} 0 & - 1 \\ 1 & - 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{l} x _ {1} (t) \\ x _ {2} (t) \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} \right] u (t) \tag {4.22} $$

$$ y (t) = \left[ \begin{array}{l l} 0 & 1 \end{array} \right] \mathbf {x} (t) $$

إذا اخترنا بدلًا من ذلك تيارات الحلقات $ \bar{x}_1 $ و $ \bar{x}_2 $ المبينين كمتغيرات حالة، فإن الجهد عبر المحث هو $ \bar{x}_1 $ والجهد عبر المقاومة هو $ (\bar{x}_1 - \bar{x}_2) \cdot 1 $ . ومن حلقة الطرف الأيسر نحصل على

$$ u = \dot {\bar {x}} _ {1} + \bar {x} _ {1} - \bar {x} _ {2} \quad \text{or} \quad \dot {\bar {x}} _ {1} = - \bar {x} _ {1} + \bar {x} _ {2} + u $$

الجهد عبر المكثف هو نفسه عبر المقاومة وهو $ \bar{x}_1 - \bar{x}_2 $ . لذا فإن التيار عبر المكثف هو $ \dot{\bar{x}}_1 - \dot{\bar{x}}_2 $ ، وهو يساوي $ \bar{x}_2 $ . باستخدام $ \dot{\bar{x}}_1 - \dot{\bar{x}}_2 = \bar{x}_2 $ و $ \dot{\bar{x}}_1 $ المحسوبة، نحصل على

$$ \dot {\bar {x}} _ {2} = \dot {\bar {x}} _ {1} - \bar {x} _ {2} = - \bar {x} _ {1} + u $$

وعليه تُوصف الدارة أيضًا بمعادلات فضاء الحالة

$$ \left[ \begin{array}{l} \dot {\bar {x}} _ {1} (t) \\ \dot {\bar {x}} _ {2} (t) \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l l} - 1 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{l} \bar {x} _ {1} (t) \\ \bar {x} _ {2} (t) \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{l} 1 \\ 1 \end{array} \right] u (t) \tag {4.23} $$

$$ y (t) = [ 1 - 1 ] \bar {\mathbf {x}} (t) $$

معادلات فضاء الحالة في (4.22) و(4.23) تصف الدارة نفسها؛ لذلك يجب أن تكون مرتبطة ارتباطًا وثيقًا. في الواقع، هي مكافئة (equivalent) كما سيتبين قريبًا.

اعتبر معادلة فضاء الحالة ذات البعد $ n $

$$ \dot {\mathbf {x}} (t) = \mathbf {A} \mathbf {x} (t) + \mathbf {B} \mathbf {u} (t) \tag {4.24} $$

$$ \mathbf {y} (t) = \mathbf {C x} (t) + \mathbf {D u} (t) $$

حيث $ \mathbf{A} $ مصفوفة ثابتة $ n \times n $ تُحوّل فضاءً حقيقيًا ذا بعد $ n $ وهو $ \mathcal{R}^n $ إلى نفسه. حالة النظام $ \mathbf{x} $ هي متجه في $ \mathcal{R}^n $ لكل $ t $ ؛ لذا يُسمى هذا الفضاء الحقيقي أيضًا فضاء الحالة (state space). يمكن اعتبار معادلة فضاء الحالة في (4.24) مرتبطة بالأساس المتعامد الموحّد (orthonormal basis) في (3.8). ندرس الآن أثر اختيار مجموعة مختلفة من الأسس.

تعريف 4.1 لتكن $ \mathbf{P} $ مصفوفة حقيقية غير منفردة (nonsingular) ذات بعد $ n \times n $ وليكن $ \bar{\mathbf{x}} = \mathbf{P}\mathbf{x} $ . عندئذ تُسمى معادلة فضاء الحالة

$$ \dot {\bar {\mathbf {x}}} (t) = \bar {\mathbf {A}} \bar {\mathbf {x}} (t) + \bar {\mathbf {B}} \mathbf {u} (t) \tag {4.25} $$

$$ \mathbf {y} (t) = \bar {\mathbf {C}} \bar {\mathbf {x}} (t) + \bar {\mathbf {D}} \mathbf {u} (t) $$

حيث

$$ \bar {\mathbf {A}} = \mathbf {P} \mathbf {A} \mathbf {P} ^ {- 1} \quad \bar {\mathbf {B}} = \mathbf {P} \mathbf {B} \quad \bar {\mathbf {C}} = \mathbf {C} \mathbf {P} ^ {- 1} \quad \bar {\mathbf {D}} = \mathbf {D} \tag {4.26} $$

مكافئة (جبريًا) لـ(4.24)، ويُسمى $ \bar{\mathbf{x}} = \mathbf{P}\mathbf{x} $ تحويل تكافؤ (equivalence transformation).

المعادلة (4.26) تُستخرج من (4.24) بالتعويض $ \mathbf{x}(t) = \mathbf{P}^{-1}\bar{\mathbf{x}}(t) $ و $ \dot{\mathbf{x}}(t) = \mathbf{P}^{-1}\dot{\bar{\mathbf{x}}}(t) $ . في هذا التعويض، قمنا بتغيير متجهات الأساس لفضاء الحالة، كما في المعادلة (3.7)، من الأساس المتعامد الموحّد إلى أعمدة $ \mathbf{P}^{-1} \eqqcolon \mathbf{Q} $ . من الواضح أن $ \mathbf{A} $ و $ \bar{\mathbf{A}} $ متشابهان (similar) وأن $ \bar{\mathbf{A}} $ مجرد تمثيل مختلف لـ $ \mathbf{A} $ . وبصورة أدق، لتكن $ \mathbf{Q} = \mathbf{P}^{-1} = [\mathbf{q}_1\mathbf{q}_2\dots \mathbf{q}_n] $ . عندئذ يكون العمود $ i $ من $ \bar{\mathbf{A}} $ ، كما نوقش في القسم 3.4، تمثيل $ \mathbf{A}\mathbf{q}_i $ بالنسبة إلى الأساس $ \{\mathbf{q}_1,\mathbf{q}_2,\dots ,\mathbf{q}_n\} $ . ومن المعادلة $ \bar{\mathbf{B}} = \mathbf{PB} $ أو $ \mathbf{B} = \mathbf{P}^{-1}\bar{\mathbf{B}} = [\mathbf{q}_1\mathbf{q}_2\dots \mathbf{q}_n]\bar{\mathbf{B}} $ ، نرى أن العمود $ i $ من $ \bar{\mathbf{B}} $ هو تمثيل العمود $ i $ من $ \mathbf{B} $ بالنسبة إلى الأساس $ \{\mathbf{q}_1,\mathbf{q}_2,\dots ,\mathbf{q}_n\} $ . وتحسب المصفوفة $ \bar{\mathbf{C}} $ من $ \mathbf{CP}^{-1} $ . أما المصفوفة $ \mathbf{D} $ ، المسماة جزء النقل المباشر (direct transmission part) بين الدخل والخرج، فلا علاقة لها بفضاء الحالة ولا تتأثر بتحويل التكافؤ.

نُظهر أن (4.24) و(4.25) لهما مجموعة القيم الذاتية نفسها (eigenvalues) والمصفوفة الناقلة نفسها (transfer matrix). بالفعل، باستخدام $ \operatorname{det}(\mathbf{P})\operatorname{det}(\mathbf{P}^{-1}) = 1 $ نحصل على

$$ \begin{array}{l} \bar {\Delta} (\lambda) = \det (\lambda \mathbf {I} - \bar {\mathbf {A}}) = \det (\lambda \mathbf {P} \mathbf {P} ^ {- 1} - \mathbf {P} \mathbf {A} \mathbf {P} ^ {- 1}) = \det [ \mathbf {P} (\lambda \mathbf {I} - \mathbf {A}) \mathbf {P} ^ {- 1} ] \\ = \det (\mathbf {P}) \det (\lambda \mathbf {I} - \mathbf {A}) \det (\mathbf {P} ^ {- 1}) = \det (\lambda \mathbf {I} - \mathbf {A}) = \Delta (\lambda) \\ \end{array} $$

$$ \begin{array}{l} \hat {\mathbf {G}} (\mathbf {s}) = \bar {\mathbf {C}} (s \mathbf {I} - \bar {\mathbf {A}}) ^ {- 1} \bar {\mathbf {B}} + \bar {\mathbf {D}} = \mathbf {C P} ^ {- 1} [ \mathbf {P} (s \mathbf {I} - \mathbf {A}) \mathbf {P} ^ {- 1} ] ^ {- 1} \mathbf {P B} + \mathbf {D} \\ = \mathbf {C P} ^ {- 1} \mathbf {P} (s \mathbf {I} - \mathbf {A}) ^ {- 1} \mathbf {P} ^ {- 1} \mathbf {P B} = \mathbf {C} (s \mathbf {I} - \mathbf {A}) ^ {- 1} \mathbf {B} + \mathbf {D} = \hat {\mathbf {G}} (s) \\ \end{array} $$

إذًا فإن معادلات فضاء الحالة المكافئة لها كثير الحدود المميّز (characteristic polynomial) نفسه، وبناءً عليه مجموعة القيم الذاتية نفسها والمصفوفة الناقلة نفسها. في الواقع، تُحفظ جميع خصائص (4.24) أو تكون ثابتة (invariant) تحت أي تحويل تكافؤ.

اعتبر مجددًا الدارة المبينة في الشكل 4.4، والتي يمكن وصفها بـ(4.22) و(4.23). نُظهر أن المعادلتين مكافئتان. من الشكل 4.4 لدينا $ x_{1} = \bar{x}_{1} $ . وبما أن الجهد عبر المقاومة هو $ x_{2} $ ، فإن تيارها هو $ x_{2}/1 $ ويساوي

$ \bar{x}_1 - \bar{x}_2 $ . وبالتالي نحصل على

$$ \left[ \begin{array}{l} x _ {1} \\ x _ {2} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l l} 1 & 0 \\ 1 & - 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{l} \bar {x} _ {1} \\ \bar {x} _ {2} \end{array} \right] $$

أو

$$ \left[ \begin{array}{l} \bar {x} _ {1} \\ \bar {x} _ {2} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c c} 1 & 0 \\ 1 & - 1 \end{array} \right] ^ {- 1} \left[ \begin{array}{l} x _ {1} \\ x _ {2} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c c} 1 & 0 \\ 1 & - 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{l} x _ {1} \\ x _ {2} \end{array} \right] \tag {4.27} $$

لاحظ أنه بالنسبة لهذه $ \mathbf{P} $ ، فإن معكوسها يساوي نفسها. ومن السهل التحقق من أن (4.22) و(4.23) مرتبطتان بتحويل التكافؤ في (4.27).

تقوم دالة MATLAB ‏[ab, bb, cb, db] = ss2ss(a, b, c, d, p) بتنفيذ تحويلات التكافؤ (equivalence transformations).

تُسمى معادلتان لفضاء الحالة مكافئتين صفري الحالة (zero-state equivalent) إذا كان لهما المصفوفة الناقلة نفسها (transfer matrix) أو

$$ \mathbf {D} + \mathbf {C} (s \mathbf {I} - \mathbf {A}) ^ {- 1} \mathbf {B} = \bar {\mathbf {D}} + \bar {\mathbf {C}} (s \mathbf {I} - \bar {\mathbf {A}}) ^ {- 1} \bar {\mathbf {B}} $$

وهذا يصبح، بعد التعويض من (3.57)،

$$ \begin{array}{l} \mathbf {D} + \mathbf {C B s} ^ {- 1} + \mathbf {C A B s} ^ {- 2} + \mathbf {C A} ^ {2} \mathbf {B s} ^ {- 3} + \dots \\ = \bar {\mathbf {D}} + \bar {\mathbf {C}} \bar {\mathbf {B}} s ^ {- 1} + \bar {\mathbf {C}} \bar {\mathbf {A}} \bar {\mathbf {B}} s ^ {- 2} + \bar {\mathbf {C}} \bar {\mathbf {A}} ^ {2} \bar {\mathbf {B}} s ^ {- 3} + \dots \\ \end{array} $$

وهكذا نحصل على النظرية التالية.

النظرية 4.1 

تكون معادلتان لفضاء الحالة الخطية ثابتة الزمن (linear time-invariant state-space) $ \{\mathbf{A},\mathbf{B},\mathbf{C},\mathbf{D}\} $ و $ \{\bar{\mathbf{A}},\bar{\mathbf{B}},\bar{\mathbf{C}},\bar{\mathbf{D}}\} $ مكافئتين صفري الحالة (zero-state equivalent) أو لهما المصفوفة الناقلة نفسها إذا وفقط إذا كان $ \mathbf{D} = \bar{\mathbf{D}} $ و

$$ \mathbf {C A} ^ {\prime \prime} \mathbf {B} = \bar {\mathbf {C}} \bar {\mathbf {A}} ^ {\prime \prime} \bar {\mathbf {B}}, \quad m = 0, 1, 2, \dots $$

من الواضح أن التكافؤ (الجبري) (algebraic equivalence) يستلزم التكافؤ صفري الحالة. ولكي تكون معادلتان لفضاء الحالة متكافئتين، يجب أن تكون لهما الأبعاد نفسها. لكن هذا الشرط ليس ضروريًا للتكافؤ صفري الحالة كما يبين المثال التالي.

مثال 4.4.2 اعتبر الدارتين المبينتين في الشكل 4.5. الدارة في الشكل 4.5(a) تحتوي على محثين، والدارة في الشكل 4.5(b) تحتوي على محث واحد فقط. نستخدم الممانعات (impedances) لحساب دوال الانتقال (transfer functions). ممانعة التوصيل على التوازي للمقاومة $ 1 - \Omega $ والمحث $ 1 - H $ في الشكل 4.5(a) هي $ s / (s + 1) $ . وبالتالي فإن دالة الانتقال من $ u $ إلى $ y $ في الشكل 4.5(a) هي

$$ \hat {g} _ {1} (s) = \frac {\hat {y} (s)}{\hat {u} (s)} = \frac {\frac {s}{s + 1}}{s + \frac {s}{s + 1}} = \frac {s}{s ^ {2} + 2 s} = \frac {1}{s + 2} $$

ودالة الانتقال من $ u $ إلى $ y $ في الشكل 4.5(b) هي

$$ \hat {g} _ {2} (s) = \frac {\hat {y} (s)}{\hat {u} (s)} = \frac {1}{s + 1 + 1} = \frac {1}{s + 2} $$

(a)

(b)
الشكل 4.5 (FIGURE 4.5) دائرتان مكافئتان صفري الحالة (zero-state equivalent).

وهي تساوي $ \hat{g}_1(s) $ . إذًا فإن الدارتين في الشكل 4.5 مكافئتان صفري الحالة.

لإيجاد معادلة فضاء حالة لوصف الشكل 4.5(a)، نُعيّن تيار المحث $ 1 - H $ المتسلسل مع مصدر الجهد على أنه $ x_{1}(t) $ والتيار في المحث الآخر على أنه $ x_{2}(t) $ . وعندئذ تكون جهودُهما، على التوالي، $ \dot{x}_{1}(t) $ و $ \dot{x}_{2}(t) $ . للمقاومة $ 1 - \Omega $ تيار $ x_{1}(t) - x_{2}(t) $ كما هو موضح، وبالتالي يكون جهدها $ 1 \times (x_{1}(t) - x_{2}(t)) $ . ومن حلقة الطرف الأيسر في الشكل 4.5(a) نحصل على

$$ \dot {x} _ {1} (t) = u (t) - \left(x _ {1} (t) - x _ {2} (t)\right) = - x _ {1} (t) + x _ {2} (t) + u (t) $$

ومن حلقة الطرف الأيمن في الشكل 4.5(a) نحصل على

$$ \dot {x} _ {2} (t) = x _ {1} (t) - x _ {2} (t) $$

و $ y(t) = x_{1}(t) - x_{2}(t) $ . ويمكن ترتيبها في صورة مصفوفية كما يلي

$$ \dot {\mathbf {x}} (t) = \left[ \begin{array}{c c} - 1 & 1 \\ 1 & - 1 \end{array} \right] \mathbf {x} (t) + \left[ \begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} \right] u (t) =: \mathbf {A x} (t) + \mathbf {b} u (t) $$

$$ y (t) = [ 1 - 1 ] \mathbf {x} (t) =: \mathbf {c x} (t) + 0 \cdot u (t) $$

هذه معادلة فضاء حالة ثنائية البعد تصف الدارة في الشكل 4.5(a).

لإيجاد معادلة فضاء حالة تصف الدارة في الشكل 4.5(b)، نُعيّن تيار المحث $ 1 - H $ على أنه $ \bar{x}(t) $ . عندئذ يكون الجهد عبر المحث $ \dot{\bar{x}}(t) $ . يمر التيار نفسه عبر المقاومتين $ 1 - \Omega $ ، لذا نحصل على $ u(t) = \dot{\bar{x}}(t) + \bar{x}(t) + \bar{x}(t) $ و $ y(t) = \bar{x}(t) $ أو

$$ \dot {\bar {x}} (t) = - 2 \bar {x} (t) + u (t) =: \bar {A} \bar {x} (t) + \bar {b} u (t) $$

$$ y (t) = \bar {x} (t) =: \bar {c} \bar {x} (t) + \bar {d} u (t) $$

مع $ \bar{A} = -2 $ ، $ \bar{b} = 1 $ ، $ \bar{c} = 1 $ ، $ \bar{d} = 0 $ . هذه معادلة فضاء حالة أحادية البعد تصف الدارة في الشكل 4.5(b).

بعد ذلك نستخدم النظرية 4.1 لإظهار أن معادلتي فضاء الحالة ذات البعدين والبعد الواحد مكافئتان صفري الحالة. بالنسبة لمعادلة فضاء الحالة أحادية البعد، لدينا $ \bar{d} = 0 $ و $ \bar{c}\bar{A}^{m}\bar{b} = 1\cdot (-2)^{m}\cdot 1 = (-2)^{m} $ . بالنسبة لمعادلة فضاء الحالة ثنائية البعد، نستخدم أولًا النظرية 3.5 لحساب $ \mathbf{A}^m $ . القيم الذاتية (eigenvalues) للمصفوفة $ \mathbf{A} $ هي

$$ \det (\lambda \mathbf {I} - \mathbf {A}) = \det \left[ \begin{array}{c c} \lambda + 1 & - 1 \\ - 1 & \lambda + 1 \end{array} \right] = (\lambda + 1) ^ {2} - 1 = \lambda^ {2} + 2 \lambda = \lambda (\lambda + 2) $$

وعليه فإن $ \mathbf{A} $ لها القيم الذاتية 0 و $ -2 $ . لتكن $ f(\lambda) = \lambda^m $ و $ h(\lambda) = \beta_0 + \beta_1\lambda $ . على طيف (spectrum) $ \mathbf{A} $ لدينا $ f(0) = 0 = h(0) = \beta_0 $ و $ f(-2) = (-2)^m = h(-2) = 0 + \beta_1(-2) $ ، مما يعني $ \beta_1 = (-2)^{m-1} $ . وبالتالي نحصل على

$$ \mathbf {A} ^ {m} = \beta_ {0} \mathbf {I} + \beta_ {1} \mathbf {A} = (- 2) ^ {m - 1} \mathbf {A} $$

لأي عدد صحيح موجب $ m $ . وبناءً عليه نحصل على

$$ \begin{array}{l} \mathbf {c} \mathbf {A} ^ {m} \mathbf {b} = \left[ \begin{array}{l l} 1 & - 1 \end{array} \right] \cdot (- 2) ^ {m - 1} \left[ \begin{array}{l l} - 1 & 1 \\ 1 & - 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} \right] = (- 2) ^ {m - 1} [ 1 - 1 ] \left[ \begin{array}{l} - 1 \\ 1 \end{array} \right] \\ = (- 2) ^ {m - 1} (- 2) = (- 2) ^ {m} \\ \end{array} $$

نرى أن $ d = \bar{d} = 0 $ و $ \mathbf{cA}^m\mathbf{b} = \bar{cA}^m\bar{b} = (-2)^m $ لـ $ m = 0, 1, \ldots $ . إذًا فإن معادلتي فضاء الحالة مكافئتان صفري الحالة. وستُناقَش دلالتها العملية في الفقرة 7.2.2.