4.5 التحقيقات (Realizations) 

    يمكن وصف كل نظام أحادي الدخل أحادي الخرج (SISO) خطي ثابت زمنياً (LTI) بوصف الدخل-الخرج

    $$ \hat {y} (s) = \hat {g} (s) \hat {u} (s) $$

    وإذا كان النظام مُجمّعًا (lumped) أيضًا، فبوصف معادلات فضاء الحالة (state-space)

    $$ \begin{array}{l} \dot {\mathbf {x}} (t) = \mathbf {A} \mathbf {x} (t) + \mathbf {b} u (t) \\ y (t) = \mathbf {c x} (t) + d u (t) \\ \end{array} $$

    إذا كانت معادلة فضاء الحالة معروفة، فيمكن حساب مصفوفة الانتقال (transfer matrix) على أنها $ \hat{g}(s) = \mathbf{c}(s\mathbf{I} - \mathbf{A})^{-1}\mathbf{b} + d $ . دالة الانتقال المحسوبة فريدة. ندرس الآن المسألة العكسية، أي إيجاد معادلة فضاء حالة من دالة انتقال معطاة. تُسمى هذه مسألة التحقيق (realization problem). وتُبرَّر هذه التسمية بحقيقة أنه باستخدام معادلة فضاء الحالة يمكننا بناء دارة مضخم تشغيلي (op-amp) لدالة الانتقال.

    تُسمى دالة الانتقال $ \hat{g}(s) $ قابلة للتحقيق (realizable) إذا وُجدت معادلة فضاء حالة ذات بعد منتهٍ أو ببساطة $ \{\mathbf{A}, \mathbf{b}, \mathbf{c}, d\} $ بحيث

    $$ \hat {g} (s) = \mathbf {c} (s \mathbf {I} - \mathbf {A}) ^ {- 1} \mathbf {b} + d $$

    وتُسمى $ \{\mathbf{A},\mathbf{b},\mathbf{c},d\} $ تحقيقًا (realization) لـ $ \hat{g} (s) $ . يمكن وصف نظام موزع ثابت زمنياً (LTI distributed system) بدالة انتقال، لكن ليس بمعادلة حالة ذات بعد منتهٍ. لذا فليست كل $ \hat{g} (s) $ قابلة للتحقيق. وإذا كانت $ \hat{g} (s) $ قابلة للتحقيق، فلها عدد لا نهائي من التحقيقات، وليس بالضرورة من البعد نفسه. لذا فإن مسألة التحقيق معقدة إلى حد كبير. ندرس هنا فقط شرط القابلية للتحقيق. أما القضايا الأخرى فستُدرس في فصول لاحقة.

    النظرية 4.2 

    دالة الانتقال $ \hat{g}(s) $ قابلة للتحقيق إذا وفقط إذا كانت $ \hat{g}(s) $ دالة كسرية صحيحة (proper rational function).

    نستخدم (3.19) لكتابة

    $$ \hat {g} _ {s p} (s) := \mathbf {c} (s \mathbf {I} - \mathbf {A}) ^ {- 1} \mathbf {b} = \frac {1}{\det (s \mathbf {I} - \mathbf {A})} \mathbf {c} [ \operatorname {A d j} (s \mathbf {I} - \mathbf {A}) ] \mathbf {b} \tag {4.30} $$

    إذا كانت $ \mathbf{A} $ بحجم $ n \times n $ ، فإن $ \operatorname*{det}(s\mathbf{I} - \mathbf{A}) $ درجتها $ n $ . كل مدخل في $ \mathrm{Adj}(s\mathbf{I} - \mathbf{A}) $ هو محدد لمصفوفة فرعية $ (n - 1) \times (n - 1) $ من $ (s\mathbf{I} - \mathbf{A}) $ ؛ لذا درجته على الأكثر $ (n - 1) $ . وتراكيبها الخطية درجتها أيضًا على الأكثر $ (n - 1) $ . لذلك نستنتج أن $ \mathbf{c}(s\mathbf{I} - \mathbf{A})^{-1}\mathbf{b} $ دالة كسرية صارمة (strictly proper). إذا كان $ d $ ثابتًا غير صفري، فإن $ \mathbf{c}(s\mathbf{I} - \mathbf{A})^{-1}\mathbf{b} + d $ تكون صحيحة (proper). هذا يبين أنه إذا كانت $ \hat{g}(s) $ قابلة للتحقيق، فهي دالة كسرية صحيحة. لاحظ أن لدينا

    $$ \hat {g} (\infty) = d $$

    بعد ذلك نُظهر العكس: أي إذا كانت $ \hat{g}(s) $ دالة كسرية صحيحة، فهناك تحقيق لها. نستخدم دالة الانتقال الكسرية الصحيحة التالية للتحقق من الادعاء:

    $$ \hat {g} (s) = \frac {\bar {N} (s)}{\bar {D} (s)} = \frac {\bar {b} _ {1} s ^ {4} + \bar {b} _ {2} s ^ {3} + \bar {b} _ {3} s ^ {2} + \bar {b} _ {4} s + \bar {b} _ {5}}{\bar {a} _ {1} s ^ {4} + \bar {a} _ {2} s ^ {3} + \bar {a} _ {3} s ^ {2} + \bar {a} _ {4} s + \bar {a} _ {5}} \tag {4.31} $$

    مع $ \bar{a}_1 \neq 0 $ . ومع ذلك فإن إجراء التحقيق ينطبق على أي دالة انتقال كسرية صحيحة.

    الخطوة الأولى في التحقيق هي كتابة (4.31) على النحو

    $$ \hat {g} (s) = \frac {b _ {1} s ^ {3} + b _ {2} s ^ {2} + b _ {3} s + b _ {4}}{s ^ {4} + a _ {2} s ^ {3} + a _ {3} s ^ {2} + a _ {4} s + a _ {5}} + d =: \frac {N (s)}{D (s)} + d \tag {4.32} $$

    حيث $ D(s) \coloneqq s^4 + a_2s^3 + a_3s^2 + a_4s + a_5 $ مع $ a_1 = 1 $ . لاحظ أن $ N(s) / D(s) $ دالة صارمة (strictly proper) وأن $ D(s) $ أحادية (monic). يمكن تحقيق ذلك بقسمة البسط والمقام في (4.31) على $ \bar{a}_1 $ ثم إجراء قسمة مباشرة. الآن نزعم أن معادلة فضاء الحالة التالية تحقق (4.32) أو، بصورة مكافئة، (4.31):

    $$ \begin{array}{l} \dot {\mathbf {x}} (t) = \left[ \begin{array}{c c c c} - a _ {2} & - a _ {3} & - a _ {4} & - a _ {5} \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array} \right] \mathbf {x} (t) + \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right] u (t) \\ y (t) = \left[ \begin{array}{l l l l} b _ {1} & b _ {2} & b _ {3} & b _ {4} \end{array} \right] \mathbf {x} (t) + d u (t) \tag {4.33} \\ \end{array} $$

    حيث $ \mathbf{x}(t) = [x_1(t)x_2(t)x_3(t)x_4(t)]' $ . عدد متغيرات الحالة يساوي درجة مقام $ \hat{g} (s) $ . يمكن الحصول على هذه معادلة فضاء الحالة مباشرة من معاملات (4.32). نضع معاملات المقام، باستثناء المعامل الرئيسي 1، مع قلب الإشارة في الصف الأول من $ \mathbf{A} $ ، ونضع معاملات البسط، دون تغيير الإشارة، مباشرة كـ $ \mathbf{c} $ . الثابت $ d $ في (4.33) هو الحد الثابت في (4.32). أما بقية معادلة فضاء الحالة فلها أنماط ثابتة. الصف الثاني من $ \mathbf{A} $ هو $ [100\dots] $ . الصف الثالث من $ \mathbf{A} $ هو $ [010\dots] $ وهكذا. ومتجه العمود $ \mathbf{b} $ كله أصفار باستثناء عنصره الأول الذي يساوي 1.

    لإظهار أن (4.33) تحقيق لـ(4.32)، يجب أن نحسب دالة انتقاله. نكتب أولًا معادلة المصفوفة بصورة صريحة كما يلي

    $$ \begin{array}{l} \dot {x} _ {1} (t) = - a _ {2} x _ {1} (t) - a _ {3} x _ {2} (t) - a _ {4} x _ {3} (t) - a _ {5} x _ {4} (t) + u (t) \\ \dot {x} _ {2} (t) = x _ {1} (t) \\ \dot {x} _ {3} (t) = x _ {2} (t) \tag {4.34} \\ \dot {x} _ {4} (t) = x _ {3} (t) \\ \end{array} $$

    نرى أن معادلة الحالة ذات البعد أربعة في (4.33) تتكون في الواقع من أربع معادلات تفاضلية من الدرجة الأولى كما في (4.34). إن تطبيق تحويل لابلاس (Laplace transform) و

    افتراض شروط ابتدائية صفرية يعطي

    $$ \begin{array}{l} s \hat {x} _ {1} (s) = - a _ {2} \hat {x} _ {1} (s) - a _ {3} \hat {x} _ {2} (s) - a _ {4} \hat {x} _ {3} (s) - a _ {5} \hat {x} _ {4} (s) + \hat {u} (s) \\ s \hat {x} _ {2} (s) = \hat {x} _ {1} (s) \\ s \hat {x} _ {3} (s) = \hat {x} _ {2} (s) \\ s \hat {x} _ {4} (s) = \hat {x} _ {3} (s) \\ \end{array} $$

    ومن المعادلات من الثانية إلى الأخيرة يمكننا الحصول على

    $$ \hat {x} _ {2} (s) = \frac {\hat {x} _ {1} (s)}{s}, \quad \hat {x} _ {3} (s) = \frac {\hat {x} _ {2} (s)}{s} = \frac {\hat {x} _ {1} (s)}{s ^ {2}}, \quad \hat {x} _ {4} (s) = \frac {\hat {x} _ {1} (s)}{s ^ {3}} \tag {4.35} $$

    بالتعويض بهذه في المعادلة الأولى نحصل على

    $$ \left[ s + a _ {2} + \frac {a _ {3}}{s} + \frac {a _ {4}}{s ^ {2}} + \frac {a _ {5}}{s ^ {3}} \right] \hat {x} _ {1} (s) = \hat {u} (s) $$

    أو

    $$ \left[ \frac {s ^ {4} + a _ {2} s ^ {3} + a _ {3} s ^ {2} + a _ {4} s + a _ {5}}{s ^ {3}} \right] \hat {x} _ {1} (s) = \hat {u} (s) $$

    مما يعني

    $$ \hat {x} _ {1} (s) = \frac {s ^ {3}}{s ^ {4} + a _ {2} s ^ {3} + a _ {3} s ^ {2} + a _ {4} s + a _ {5}} U (s) =: \frac {s ^ {3}}{D (s)} \hat {u} (s) \tag {4.36} $$

    وبالتعويض بـ(4.35) و(4.36) في تحويل لابلاس التالي لمعادلة الخرج في (4.33) نحصل على

    $$ \begin{array}{l} \hat {y} (s) = b _ {1} \hat {x} _ {1} (s) + b _ {2} \hat {x} _ {2} (s) + b _ {3} \hat {x} _ {3} (s) + b _ {4} \hat {x} _ {4} (s) + d \hat {u} (s) \\ = \left[ \frac {b _ {1} s ^ {3}}{D (s)} + \frac {b _ {2} s ^ {3}}{D (s) s} + \frac {b _ {3} s ^ {3}}{D (s) s ^ {2}} + \frac {b _ {4} s ^ {3}}{D (s) s ^ {3}} \right] \hat {u} (s) + d \hat {u} (s) \\ = \left[ \frac {b _ {1} s ^ {3} + b _ {2} s ^ {2} + b _ {3} s + b _ {4}}{D (s)} + d \right] \hat {u} (s) \\ \end{array} $$

    وهذا يبين أن دالة الانتقال في (4.33) تساوي (4.32). لذا فإن (4.33) تحقيق لـ(4.32) أو (4.31). تسمى معادلة فضاء الحالة في (4.33) صيغة قابلة للتحكم (controllable form) لسبب سيُذكر في الفصل 7. كما ستُطوَّر مرة أخرى هناك باستخدام طريقة مختلفة.

    للمصفوفتين $ \mathbf{P} $ و $ \mathbf{Q} $ ولعدد عددي $ d $ ، لدينا $ (\mathbf{PQ})' = \mathbf{Q}'\mathbf{P}' $ و $ d' = d $ ، حيث تشير الشرطة إلى النقل (transpose). إن تطبيق النقل على $ \hat{g}(s) = \mathbf{c}(s\mathbf{I} - \mathbf{A})^{-1}\mathbf{b} + d $ يعطي

    $$ \hat {g} (s) = [ \hat {g} (s) ] ^ {\prime} = [ \mathbf {c} (s \mathbf {I} - \mathbf {A}) ^ {- 1} \mathbf {b} + d ] ^ {\prime} = \mathbf {b} ^ {\prime} (s ^ {\prime} \mathbf {I} ^ {\prime} - \mathbf {A} ^ {\prime}) ^ {- 1} \mathbf {c} ^ {\prime} + d ^ {\prime} = \mathbf {b} ^ {\prime} (s \mathbf {I} - \mathbf {A} ^ {\prime}) ^ {- 1} \mathbf {c} ^ {\prime} + d $$

    وبالتالي فإن $ \{\mathbf{A}',\mathbf{c}',\mathbf{b}',d\} $ تحقيق مختلف لـ $ \hat{g} (s) $ . ومن (4.33) نحصل على تحقيق مختلف لـ(4.32) كما يلي

    $$ \begin{array}{l} \dot {\mathbf {x}} (t) = \left[ \begin{array}{l l l l} - a _ {2} & 1 & 0 & 0 \\ - a _ {3} & 0 & 1 & 0 \\ - a _ {4} & 0 & 0 & 1 \\ - a _ {5} & 0 & 0 & 0 \end{array} \right] \mathbf {x} (t) + \left[ \begin{array}{l} b _ {1} \\ b _ {2} \\ b _ {3} \\ b _ {4} \end{array} \right] u (t) \\ y (t) = \left[ \begin{array}{l l l l} 1 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right] \mathbf {x} (t) + d u (t) \tag {4.37} \\ \end{array} $$

    وهذا يسمى تحقيق صيغة القابلية للملاحظة (observable-form realization).

    قبل المتابعة، نذكر أنه إذا كانت $ \hat{g}(s) $ صارمة (strictly proper)، فلا حاجة إلى قسمة مباشرة ويكون لدينا $ d = 0 $ . بمعنى آخر، لا يوجد جزء نقل مباشر (direct transmission part) من $ u $ إلى $ y $ .

    مثال 4.5.1 اعتبر دالة الانتقال

    $$ \hat {g} (s) = \frac {3 s ^ {4} + 5 s ^ {3} + 2 4 s ^ {2} + 2 3 s - 5}{2 s ^ {4} + 6 s ^ {3} + 1 5 s ^ {2} + 1 2 s + 5} \tag {4.38} $$

    نقسم أولًا البسط والمقام على 2 لنحصل على

    $$ \hat {g} (s) = \frac {1 . 5 s ^ {4} + 2 . 5 s ^ {3} + 1 2 s ^ {2} + 1 1 . 5 s - 2 . 5}{s ^ {4} + 3 s ^ {3} + 7 . 5 s ^ {2} + 6 s + 2 . 5} $$

    والتي يمكن كتابتها، باستخدام القسمة المباشرة، كما يلي

    $$ \hat {g} (s) = \frac {- 2 s ^ {3} + 0 . 7 5 s ^ {2} + 2 . 5 s - 6 . 2 5}{s ^ {4} + 3 s ^ {3} + 7 . 5 s ^ {2} + 6 s + 2 . 5} + 1. 5 $$

    وعليه فإن تحقيق صيغة القابلية للتحكم (controllable-form) لها هو، باستخدام (4.33)،

    $$ \begin{array}{l} \dot {\mathbf {x}} (t) = \left[ \begin{array}{c c c c} - 3 & - 7. 5 & - 6 & - 2. 5 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array} \right] \mathbf {x} (t) + \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right] u (t) \\ y (t) = \left[ - 2 0. 7 5 2. 5 - 6. 2 5 \right] \mathbf {x} (t) + 1. 5 u (t) \\ \end{array} $$

    وتحقيق صيغة القابلية للملاحظة (observable-form) لها هو، باستخدام (4.37)،

    $$ \begin{array}{l} \dot {\mathbf {x}} (t) = \left[ \begin{array}{r r r r} - 3 & 1 & 0 & 0 \\ - 7. 5 & 0 & 1 & 0 \\ - 6 & 0 & 0 & 1 \\ - 2. 5 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right] \mathbf {x} (t) + \left[ \begin{array}{r} - 2 \\ 0. 7 5 \\ 2. 5 \\ - 6. 2 5 \end{array} \right] u (t) \\ y (t) = \left[ \begin{array}{l l l l} 1 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right] \mathbf {x} (t) + 1. 5 u (t) \\ \end{array} $$

    نرى أن التحقيقات يمكن قراءتها مباشرة من معاملات دالة الانتقال.

    مثال 4.5.2 اعتبر الدارة في الشكل 2.8(a). تم حساب دالة انتقالها في (2.37) على أنها

    $$ \hat {g} (s) = \frac {4 s + 3}{4 0 s ^ {3} + 3 0 s ^ {2} + 9 s + 3} $$

    نقوم أولًا بتطبيع معامل المقام الرئيسي إلى 1 لنحصل على

    $$ H (s) = \frac {0 . 1 s + 0 . 0 7 5}{s ^ {3} + 0 . 7 5 s ^ {2} + 0 . 2 2 5 s + 0 . 0 7 5} $$

    وهي دالة صارمة (strictly proper) و $ d = 0 $ . لذلك فإن تحقيق صيغة القابلية للتحكم لها هو

    $$ \begin{array}{l} \dot {\mathbf {x}} (t) = \left[ \begin{array}{c c c} - 0. 7 5 & - 0. 2 2 5 & - 0. 0 7 5 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{array} \right] \mathbf {x} (t) + \left[ \begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right] u (t) \\ y (t) = \left[ \begin{array}{l l l} 0 & 0. 1 & 0. 0 7 5 \end{array} \right] \mathbf {x} (t) + 0 \cdot u (t) \\ \end{array} $$

    وهذه في الحقيقة معادلة فضاء الحالة في (2.39) التي تم الحصول عليها باستخدام دالة MATLAB ‏ tf2ss. وعلى الرغم من أنها تختلف عن وصف معادلة فضاء الحالة للدائرة المطور في (2.26)، فإن المعادلتين متكافئتان (equivalent).