4.6.1 حالة الزمن المتقطع (Discrete-Time Case) 

    اعتبر معادلة فضاء الحالة للزمن المتقطع

    $$ \mathbf {x} [ k + 1 ] = \mathbf {A} [ k ] \mathbf {x} [ k ] + \mathbf {B} [ k ] \mathbf {u} [ k ] \tag {4.72} $$
    $$ \mathbf {y} [ k ] = \mathbf {C} [ k ] \mathbf {x} [ k ] + \mathbf {D} [ k ] \mathbf {u} [ k ] \tag {4.73} $$

    هذه معادلات جبرية ويمكن حساب حلولها تكراريًا بمجرد إعطاء الحالة الابتدائية $ \mathbf{x}[k_0] $ والمدخل $ \mathbf{u}[k] $ ، لـ $ k \geq k_0 $ . الوضع هنا أبسط بكثير من حالة الزمن المستمر.

    وكما في حالة الزمن المستمر، يمكننا تعريف مصفوفة الانتقال الحيزي المتقطعة (discrete state transition matrix) على أنها حل

    $$ \Phi [ k + 1, k _ {0} ] = \mathbf {A} [ k ] \Phi [ k, k _ {0} ] \quad \text{with} \Phi [ k _ {0}, k _ {0} ] = \mathbf {I} $$

    لـ $ k = k_0, k_0 + 1, \ldots $ . وهذه هي النظير المتقطع لـ(4.61) ويمكن الحصول على حلها مباشرة على النحو

    $$ \Phi [ k, k _ {0} ] = \mathbf {A} [ k - 1 ] \mathbf {A} [ k - 2 ] \dots \mathbf {A} [ k _ {0} ] \tag {4.74} $$

    لـ $ k > k_0 $ و $ \Phi[k_0, k_0] = \mathbf{I} $ . نناقش فرقًا جوهريًا بين حالتي الزمن المستمر والزمن المتقطع. لأن المصفوفة الأساسية في حالة الزمن المستمر غير منفردة لكل $ t $ ، فإن مصفوفة الانتقال الحيزي $ \Phi(t, t_0) $ معرّفة لـ $ t \geq t_0 $ و $ t < t_0 $ ويمكنها التحكم في تطور متجه الحالة في اتجاهي الزمن الموجب والسالب. في حالة الزمن المتقطع، قد تكون مصفوفة A منفردة؛ لذا قد لا يكون معكوس $ \Phi[k, k_0] $ معرفًا. لذلك فإن $ \Phi[k, k_0] $ معرّفة فقط لـ $ k \geq k_0 $ وتتحكم في تطور متجه الحالة في اتجاه الزمن الموجب فقط. ومن ثم فإن النظير المتقطع لـ(4.64) أو

    $$ \Phi [ k, k _ {0} ] = \Phi [ k, k _ {1} ] \Phi [ k _ {1}, k _ {0} ] $$

    ينطبق فقط لـ $ k \geq k_1 \geq k_0 $ .

    وباستخدام مصفوفة الانتقال الحيزي المتقطعة، يمكننا التعبير عن حلول (4.72) و(4.73) على النحو التالي، لـ $ k > k_0 $ ،

    $$ \mathbf {x} [ k ] = \boldsymbol {\Phi} [ k, k _ {0} ] \mathbf {x} _ {0} + \sum_ {m = k _ {0}} ^ {k - 1} \boldsymbol {\Phi} [ k, m + 1 ] \mathbf {B} [ m ] \mathbf {u} [ m ] $$
    $$ \begin{array}{l} \mathbf {y} [ k ] = \mathbf {C} [ k ] \boldsymbol {\Phi} [ k, k _ {0} ] \mathbf {x} _ {0} + \mathbf {C} [ k ] \sum_ {m = k _ {(1)}} ^ {k - 1} \boldsymbol {\Phi} [ k, m + 1 ] \mathbf {B} [ m ] \mathbf {u} [ m ] \\ + \mathbf {D} [ k ] \mathbf {u} [ k ] \tag {4.75} \\ \end{array} $$

    اشتقاقاتهما مشابهة لتلك في القسم السابق ولن نكررها. إذا كانت الحالة الابتدائية صفرًا، فإن المعادلة (4.75) تختزل إلى

    $$ \mathbf {y} [ k ] = \mathbf {C} [ k ] \sum_ {m = k _ {0}} ^ {k - 1} \Phi [ k, m + 1 ] \mathbf {B} [ m ] \mathbf {u} [ m ] + \mathbf {D} [ k ] \mathbf {u} [ k ] \tag {4.76} $$

    لـ $ k > k_0 $ . هذا يصف استجابة الحالة الصفرية (zero-state response) لـ(4.73). إذا عرّفنا $ \Phi[k, m] = 0 $ لـ $ k < m $ ، فإن (4.76) يمكن كتابتها على النحو

    $$ \mathbf {y} [ k ] = \sum_ {m = k _ {(1)}} ^ {k} (\mathbf {C} [ k ] \Phi [ k, m + 1 ] \mathbf {B} [ m ] + \mathbf {D} [ m ] \delta_ {d} [ k - m ]) \mathbf {u} [ m ] $$

    حيث إن تسلسل النبضة $ \delta_d[k - m] $ يساوي 1 إذا كان $ k = m $ و0 إذا كان $ k \neq m $ . بمقارنة ذلك مع النسخة المتقطعة من (2.17)، نحصل على

    $$ \mathbf {G} [ k, m ] = \mathbf {C} [ k ] \boldsymbol {\Phi} [ k, m + 1 ] \mathbf {B} [ m ] + \mathbf {D} [ m ] \delta_ {d} [ k - m ] $$

    لـ $ k \geq m $ . هذا يربط بين تسلسل الاستجابة النبضية ومعادلة فضاء الحالة وهو النظير المتقطع لـ(4.70).