4.7 المعادلات المتغيرة زمنياً المكافئة (Equivalent Time-Varying Equations) 

يمتد هذا القسم بمعادلات فضاء الحالة المكافئة (equivalent state-space) التي نوقشت في القسم 4.4 إلى حالة الزمن المتغير. اعتبر معادلة فضاء الحالة الخطية المتغيرة زمنياً ذات البعد $ n $

$$ \begin{array}{l} \dot {\mathbf {x}} (t) = \mathbf {A} (t) \mathbf {x} (t) + \mathbf {B} (t) \mathbf {u} (t) \tag {4.77} \\ \mathbf {y} (t) = \mathbf {C} (t) \mathbf {x} (t) + \mathbf {D} (t) \mathbf {u} (t) \\ \end{array} $$

لتكن $ \mathbf{P}(t) $ مصفوفة $ n \times n $ . يُفترض أن $ \mathbf{P}(t) $ غير منفردة (nonsingular) وأن $ \mathbf{P}(t) $ و $ \dot{\mathbf{P}}(t) $ مستمرتان لكل $ t $ . ليكن $ \bar{\mathbf{x}} = \mathbf{P}(t)\mathbf{x} $ . عندئذ تكون معادلة فضاء الحالة

$$ \begin{array}{l} \dot {\bar {\mathbf {x}}} (t) = \bar {\mathbf {A}} (t) \bar {\mathbf {x}} (t) + \bar {\mathbf {B}} (t) \mathbf {u} (t) \tag {4.78} \\ \mathbf {y} (t) = \bar {\mathbf {C}} (t) \bar {\mathbf {x}} (t) + \bar {\mathbf {D}} (t) \mathbf {u} (t) \\ \end{array} $$

حيث

$$ \begin{array}{l} \bar {\mathbf {A}} (t) = [ \mathbf {P} (t) \mathbf {A} (t) + \dot {\mathbf {P}} (t) ] \mathbf {P} ^ {- 1} (t) \\ \bar {\mathbf {B}} (t) = \mathbf {P} (t) \mathbf {B} (t) \\ \bar {\mathbf {C}} (t) = \mathbf {C} (t) \mathbf {P} ^ {- 1} (t) \\ \bar {\mathbf {D}} (t) = \mathbf {D} (t) \\ \end{array} $$

تُسمى مكافئة (جبريًا) لـ(4.77) وتُسمى $ \mathbf{P}(t) $ تحويل تكافؤ (equivalence transformation) (جبري).

تُستنتج المعادلة (4.78) من (4.77) بالتعويض $ \bar{\mathbf{x}} = \mathbf{P}(t)\mathbf{x} $ و $ \dot{\bar{\mathbf{x}}} = \dot{\mathbf{P}}(t)\mathbf{x} + \mathbf{P}(t)\dot{\bar{\mathbf{x}}} $ . لتكن $ \mathbf{X} $ مصفوفة أساسية (fundamental matrix) لـ(4.77). عندئذ نزعم أن

$$ \bar {\mathbf {X}} (t) := \mathbf {P} (t) \mathbf {X} (t) \tag {4.79} $$

هي مصفوفة أساسية لـ(4.78). حسب التعريف، $ \dot{\mathbf{X}}(t) = \mathbf{A}(t)\mathbf{X}(t) $ و $ \mathbf{X}(t) $ غير منفردة لكل $ t $ . وبما أن رتبة المصفوفة لا تتغير بضربها في مصفوفة غير منفردة

فإن المصفوفة $ \mathbf{P}(t)\mathbf{X}(t) $ أيضًا غير منفردة لكل $ t $ . الآن نُظهر أن $ \mathbf{P}(t)\mathbf{X}(t) $ تحقق المعادلة $ \dot{\bar{\mathbf{x}}} = \bar{\mathbf{A}}(t)\bar{\mathbf{x}} $ . بالفعل لدينا

$$ \begin{array}{l} \frac {d}{d t} [ \mathbf {P} (t) \mathbf {X} (t) ] = \dot {\mathbf {P}} (t) \mathbf {X} (t) + \mathbf {P} (t) \dot {\mathbf {X}} (t) = \dot {\mathbf {P}} (t) \mathbf {X} (t) + \mathbf {P} (t) \mathbf {A} (t) \mathbf {X} (t) \\ = [ \dot {\mathbf {P}} (t) + \mathbf {P} (t) \mathbf {A} (t) ] [ \mathbf {P} ^ {- 1} (t) \mathbf {P} (t) ] \mathbf {X} (t) = \bar {\mathbf {A}} (t) [ \mathbf {P} (t) \mathbf {X} (t) ] \\ \end{array} $$

وبذلك فإن $ \mathbf{P}(t)\mathbf{X}(t) $ مصفوفة أساسية لـ $ \dot{\bar{\mathbf{x}}}(t) = \bar{\mathbf{A}}(t)\bar{\mathbf{x}}(t) $ .

النظرية 4.3 

لتكن $ \mathbf{A}_o $ مصفوفة ثابتة اعتباطية. عندئذ يوجد تحويل تكافؤ يحول (4.77) إلى (4.78) بحيث $ \bar{\mathbf{A}}(t) = \mathbf{A}_o $ .

البرهان: لتكن $ \mathbf{X}(t) $ مصفوفة أساسية لـ $ \dot{\mathbf{x}}(t) = \mathbf{A}(t)\mathbf{x}(t) $ . إن اشتقاق $ \mathbf{X}^{-1}(t)\mathbf{X}(t) = \mathbf{I} $ يعطي

$$ \dot {\mathbf {X}} ^ {- 1} (t) \mathbf {X} (t) + \mathbf {X} ^ {- 1} \dot {\mathbf {X}} (t) = \mathbf {0} $$

مما يعني

$$ \dot {\mathbf {X}} ^ {- 1} (t) = - \mathbf {X} ^ {- 1} (t) \mathbf {A} (t) \mathbf {X} (t) \mathbf {X} ^ {- 1} (t) = - \mathbf {X} ^ {- 1} (t) \mathbf {A} (t) \tag {4.80} $$

وبما أن $ \bar{\mathbf{A}}(t) = \mathbf{A}_0 $ مصفوفة ثابتة، فإن $ \bar{\mathbf{X}}(t) = e^{\mathbf{A}_0 t} $ هي مصفوفة أساسية لـ $ \dot{\bar{\mathbf{x}}}(t) = \bar{\mathbf{A}}(t) \bar{\mathbf{x}}(t) = \mathbf{A}_0 \bar{\mathbf{x}}(t) $ . اتباعًا لـ(4.79)، نعرّف

$$ \mathbf {P} (t) := \bar {\mathbf {X}} (t) \mathbf {X} ^ {- 1} (t) = e ^ {\mathbf {A} _ {0} t} \mathbf {X} ^ {- 1} (t) \tag {4.81} $$

ونحسب

$$ \begin{array}{l} \bar {\mathbf {A}} (t) = [ \mathbf {P} (t) \mathbf {A} (t) + \dot {\mathbf {P}} (t) ] \mathbf {P} ^ {- 1} (t) \\ = \left[ e ^ {\mathbf {A} _ {o} t} \mathbf {X} ^ {- 1} (t) \mathbf {A} (t) + \mathbf {A} _ {o} e ^ {\mathbf {A} _ {o} t} \mathbf {X} ^ {- 1} (t) + e ^ {\mathbf {A} _ {o} t} \dot {\mathbf {X}} ^ {- 1} (t) \right] \mathbf {X} (t) e ^ {- \mathbf {A} _ {o} t} \\ \end{array} $$

والتي تصبح، بعد التعويض بـ(4.80)،

$$ \bar {\mathbf {A}} (t) = \mathbf {A} _ {0} e ^ {\mathbf {A} _ {0} t} \mathbf {X} ^ {- 1} (t) \mathbf {X} (t) e ^ {- \mathbf {A} _ {0} t} = \mathbf {A} _ {0} $$

وهذا يثبت النظرية.

Q.E.D.

إذا اختيرت $ \mathbf{A}_o $ كمصفوفة صفرية، فإن $ \bar{\mathbf{X}}(t) = I $ و $ \mathbf{P}(t) = \mathbf{X}^{-1}(t) $ . وبالتالي تختزل (4.78) إلى

$$ \bar {\mathbf {A}} (t) = \mathbf {0}. \quad \bar {\mathbf {B}} (t) = \mathbf {X} ^ {- 1} (t) \mathbf {B} (t), \quad \bar {\mathbf {C}} (t) = \mathbf {C} (t) \mathbf {X} (t), \quad \bar {\mathbf {D}} (t) = \mathbf {D} (t) \tag {4.82} $$

رُسمت مخططات الكتل لـ(4.77) مع $ \mathbf{A}(t) \neq \mathbf{0} $ ومع $ \mathbf{A}(t) = \mathbf{0} $ في الشكل 4.8. مخطط الكتل مع $ \mathbf{A}(t) = \mathbf{0} $ لا يحتوي على تغذية راجعة وهو أبسط بكثير. يمكن تحويل كل معادلة فضاء حالة متغيرة زمنياً إلى مثل هذا المخطط. ومع ذلك، ولكي نفعل ذلك نحتاج إلى مصفوفتها الأساسية، والتي ليست متاحة عمومًا.

(a)

(b)
الشكل 4.8 (FIGURE 4.8) مخططات كتل مع تغذية راجعة وبدون تغذية راجعة.

مصفوفة الاستجابة النبضية لـ(4.77) معطاة في (4.70). أما مصفوفة الاستجابة النبضية لـ(4.78) فهي، باستخدام (4.79) و(4.80)،

$$ \begin{array}{l} \bar {\mathbf {G}} (t, \tau) = \bar {\mathbf {C}} (t) \bar {\mathbf {X}} (t) \bar {\mathbf {X}} ^ {- 1} (\tau) \bar {\mathbf {B}} (\tau) + \bar {\mathbf {D}} (t) \delta (t - \tau) \\ = \mathbf {C} (t) \mathbf {P} ^ {- 1} (t) \mathbf {P} (t) \mathbf {X} (t) \mathbf {X} ^ {- 1} (\tau) \mathbf {P} ^ {- 1} (\tau) \mathbf {P} (\tau) \mathbf {B} (\tau) + \mathbf {D} (t) \delta (t - \tau) \\ = \mathbf {C} (t) \mathbf {X} (t) \mathbf {X} ^ {- 1} (\tau) \mathbf {B} (\tau) + \mathbf {D} (t) \delta (t - \tau) = \mathbf {G} (t, \tau) \\ \end{array} $$

وعليه فإن مصفوفة الاستجابة النبضية ثابتة (invariant) تحت أي تحويل تكافؤ. ومع ذلك قد لا تُحفظ خصائص مصفوفة A في تحويلات التكافؤ. على سبيل المثال، يمكن تحويل أي مصفوفة A، كما في النظرية 4.3، إلى مصفوفة ثابتة أو صفرية. من الواضح أن المصفوفة الصفرية لا تملك أي خاصية من خصائص $ \mathbf{A}(t) $ . في حالة الزمن الثابت، يحفظ التحويل الجبري جميع خصائص معادلة فضاء الحالة الأصلية. لذا فإن التحويل الجبري في حالة الزمن الثابت ليس حالة خاصة من حالة الزمن المتغير.

تعريف 4.3 تُسمى المصفوفة $ \mathbf{P}(t) $ تحويلة ليابونوف (Lyapunov transformation) إذا كانت $ \mathbf{P}(t) $ غير منفردة، وكانت $ \mathbf{P}(t) $ و $ \dot{\mathbf{P}}(t) $ مستمرتين، وكانت $ \mathbf{P}(t) $ و $ \mathbf{P}^{-1}(t) $ محدودة (bounded) لكل $ t $ . تُسمى المعادلتان (4.77) و(4.78) متكافئتين ليابونوف (Lyapunov equivalent) إذا كانت $ \mathbf{P}(t) $ تحويلة ليابونوف.

من الواضح أنه إذا كانت $ \mathbf{P}(t) = \mathbf{P} $ مصفوفة ثابتة، فهي تحويلة ليابونوف. وبالتالي فإن التحويل (الجبري) في حالة الزمن الثابت هو حالة خاصة من

تحويلة ليابونوف. وإذا طُلب أن تكون $ \mathbf{P}(t) $ تحويلة ليابونوف، فإن النظرية 4.3 لا تنطبق عمومًا. بمعنى آخر، ليس كل معادلة فضاء حالة متغيرة زمنياً يمكن أن تكون مكافئة ليابونوف لمعـادلة ذات مصفوفة A ثابتة. غير أن هذا صحيح إذا كانت $ \mathbf{A}(t) $ دورية.

معادلات فضاء حالة دورية (Periodic state-space equations) 

اعتبر معادلة فضاء الحالة الخطية المتغيرة زمنياً في (4.77). يُفترض أن

$$ \mathbf {A} (t + T) = \mathbf {A} (t) $$

لكل $ t $ ولعدد ثابت موجب $ T $ . أي إن $ \mathbf{A}(t) $ دورية بدورية $ T $ . لتكن $ \mathbf{X}(t) $ مصفوفة أساسية لـ $ \dot{\mathbf{x}} = \mathbf{A}(t)\mathbf{x} $ أو $ \dot{\mathbf{X}}(t) = \mathbf{A}(t)\mathbf{X}(t) $ مع $ \mathbf{X}(0) $ غير منفردة. عندئذ نحصل على

$$ \dot {\mathbf {X}} (t + T) = \mathbf {A} (t + T) \mathbf {X} (t + T) = \mathbf {A} (t) \mathbf {X} (t + T) $$

وبالتالي فإن $ \mathbf{X}(t + T) $ هي أيضًا مصفوفة أساسية. علاوةً على ذلك، يمكن التعبير عنها كالتالي

$$ \mathbf {X} (t + T) = \mathbf {X} (t) \mathbf {X} ^ {- 1} (0) \mathbf {X} (T) \tag {4.83} $$

ويمكن التحقق من ذلك بالتعويض المباشر. لنعرف $ \mathbf{Q} = \mathbf{X}^{-1}(0)\mathbf{X}(T) $ . إنها مصفوفة ثابتة غير منفردة. لهذه $ \mathbf{Q} $ توجد مصفوفة ثابتة $ \bar{\mathbf{A}} $ بحيث $ e^{\bar{\mathbf{A}} T} = \mathbf{Q} $ (المسألة 3.29). لذا يمكن كتابة (4.83) على النحو

$$ \mathbf {X} (t + T) = \mathbf {X} (t) e ^ {\bar {\mathbf {A}} T} \tag {4.84} $$

عرّف

$$ \mathbf {P} (t) := e ^ {\bar {\mathbf {A}} t} \mathbf {X} ^ {- 1} (t) \tag {4.85} $$

نُظهر أن $ \mathbf{P}(t) $ دورية بدورية $ T $ :

$$ \begin{array}{l} \mathbf {P} (t + T) = e ^ {\bar {\mathbf {A}} (t + T)} \mathbf {X} ^ {- 1} (t + T) = e ^ {\bar {\mathbf {A}} t} e ^ {\bar {\mathbf {A}} T} [ e ^ {- \bar {\mathbf {A}} T} \mathbf {X} ^ {- 1} (t) ] \\ = e ^ {\mathbf {A} t} \mathbf {X} ^ {- 1} (t) = \mathbf {P} (t) \\ \end{array} $$

النظرية 4.4 

اعتبر (4.77) حيث $ \mathbf{A}(t) = \mathbf{A}(t + T) $ لكل $ t $ ولبعض $ T > 0 $ . لتكن $ \mathbf{X}(t) $ مصفوفة أساسية لـ $ \dot{\mathbf{x}} = \mathbf{A}(t)\mathbf{x} $ . ولتكن $ \bar{\mathbf{A}} $ المصفوفة الثابتة المحسوبة من $ e^{\bar{\mathbf{A}}T} = \mathbf{X}^{-1}(0)\mathbf{X}(T) $ . عندئذ تكون (4.77) مكافئة ليابونوف (Lyapunov equivalent) لـ

$$ \begin{array}{l} \dot {\bar {\mathbf {x}}} (t) = \bar {\mathbf {A}} \bar {\mathbf {x}} (t) + \mathbf {P} (t) \mathbf {B} (t) \mathbf {u} (t) \\ \bar {\mathbf {y}} (t) = \mathbf {C} (t) \mathbf {P} ^ {- 1} (t) \bar {\mathbf {x}} (t) + \mathbf {D} (t) \mathbf {u} (t) \\ \end{array} $$

حيث إن $ \mathbf{P}(t) = e^{\bar{\mathbf{A}} t}\mathbf{X}^{-1}(t) $ .

تُحقق المصفوفة $ \mathbf{P}(t) $ في (4.85) جميع شروط التعريف 4.3، لذا فهي تحويلة ليابونوف. ويتبع باقي النظرية مباشرة من النظرية 4.3. والجزء المتجانس من النظرية 4.4 هو ما يُسمى نظرية فلوكيه (Floquet). وتنص على أن

إذا كانت $ \dot{\mathbf{x}}(t) = \mathbf{A}(t)\mathbf{x}(t) $ و $ \mathbf{A}(t + T) = \mathbf{A}(t) $ لكل $ t $ ، فإن مصفوفتها الأساسية تكون على الصورة $ \mathbf{P}^{-1}(t)e^{\bar{\mathbf{A}}t} $ ، حيث إن $ \mathbf{P}^{-1}(t) $ دالة دورية. علاوة على ذلك، فإن $ \dot{\mathbf{x}}(t) = \mathbf{A}(t)\mathbf{x}(t) $ مكافئة ليابونوف لـ $ \dot{\bar{\mathbf{x}}}(t) = \bar{\mathbf{A}}\bar{\mathbf{x}}(t) $ .