4.8 تحقيقات متغيرة زمنياً (Time-Varying Realizations) 

    درسنا في القسم 4.5 مسألة التحقيق (realization problem) للأنظمة الخطية ثابتة الزمن. في هذا القسم ندرس المسألة المقابلة للأنظمة الخطية المتغيرة زمنياً. لا يمكن استخدام تحويل لابلاس هنا؛ لذلك ندرس المسألة مباشرة في مجال الزمن.

    يمكن وصف كل نظام خطي متغير زمنياً بوصف الدخل-الخرج

    $$ \mathbf {y} (t) = \int_ {J _ {t _ {0}}} ^ {t} \mathbf {G} (t, \tau) \mathbf {u} (\tau) d \tau $$

    وإذا كان النظام مُجمّعًا (lumped) أيضًا، فبمعادلة فضاء الحالة

    $$ \begin{array}{l} \dot {\mathbf {x}} (t) = \mathbf {A} (t) \mathbf {x} (t) + \mathbf {B} (t) \mathbf {u} (t) \tag {4.86} \\ \mathbf {y} (t) = \mathbf {C} (t) \mathbf {x} (t) + \mathbf {D} (t) \mathbf {u} (t) \\ \end{array} $$

    إذا كانت معادلة فضاء الحالة متاحة، فيمكن حساب مصفوفة الاستجابة النبضية (impulse response matrix) من

    $$ \mathbf {G} (t, \tau) = \mathbf {C} (t) \mathbf {X} (t) \mathbf {X} ^ {- 1} (\tau) \mathbf {B} (\tau) + \mathbf {D} (t) \delta (t - \tau) \text{for} t \geq \tau \tag {4.87} $$

    حيث إن $ \mathbf{X}(t) $ مصفوفة أساسية لـ $ \dot{\mathbf{x}}(t) = \mathbf{A}(t)\mathbf{x}(t) $ . المسألة العكسية هي إيجاد معادلة فضاء حالة من مصفوفة استجابة نبضية معطاة. تُسمى مصفوفة الاستجابة النبضية $ \mathbf{G}(t, \tau) $ قابلة للتحقيق (realizable) إذا وُجدت $ \{\mathbf{A}(t), \mathbf{B}(t), \mathbf{C}(t), \mathbf{D}(t)\} $ لتلبية (4.87).

    النظرية 4.5 

    تكون مصفوفة استجابة نبضية $ q \times p $ $ \mathbf{G}(t, \tau) $ قابلة للتحقيق إذا وفقط إذا أمكن تحليل $ \mathbf{G}(t, \tau) $ على النحو

    $$ \mathbf {G} (t, \tau) = \mathbf {M} (t) \mathbf {N} (\tau) + \mathbf {D} (t) \delta (t - \tau) \tag {4.88} $$

    لكل $ t \geq \tau $ ، حيث إن $ \mathbf{M} $ ، $ \mathbf{N} $ ، و $ \mathbf{D} $ هي، على التوالي، مصفوفات $ q \times n $ ، $ n \times p $ ، و $ q \times p $ لبعض العدد الصحيح $ n $ .

    البرهان: إذا كانت $ \mathbf{G}(t, \tau) $ قابلة للتحقيق، فهناك تحقيق يحقق (4.87). إن تعيين $ \mathbf{M}(t) = \mathbf{C}(t)\mathbf{X}(t) $ و $ \mathbf{N}(\tau) = \mathbf{X}^{-1}(\tau)\mathbf{B}(\tau) $ يثبت الجزء الضروري من النظرية.

    إذا أمكن تحليل $ \mathbf{G}(t,\tau) $ كما في (4.88)، فإن معادلة فضاء الحالة ذات البعد $ n $

    $$ \begin{array}{l} \dot {\mathbf {x}} (t) = \mathbf {N} (t) \mathbf {u} (t) \\ \mathbf {y} (t) = \mathbf {M} (t) \mathbf {x} (t) + \mathbf {D} (t) \mathbf {u} (t) \tag {4.89} \\ \end{array} $$

    هي تحقيق. بالفعل، مصفوفة أساسية للمعادلة $ \dot{\mathbf{x}} = \mathbf{0} \cdot \mathbf{x} $ هي $ \mathbf{X}(t) = \mathbf{I} $ . وبالتالي فإن مصفوفة الاستجابة النبضية لـ(4.89) هي، باستخدام (4.87)،

    $$ \mathbf {M} (t) \mathbf {I} \cdot \mathbf {I} ^ {- 1} \mathbf {N} (\tau) + \mathbf {D} (t) \delta (t - \tau) $$

    وهي تساوي $ \mathbf{G}(t,\tau) $ . وهذا يثبت كفاية النظرية. Q.E.D.

    على الرغم من أن النظرية 4.5 يمكن تطبيقها أيضًا على الأنظمة ثابتة الزمن، إلا أن النتيجة غير مرضية كما يوضح المثال التالي.

    مثال 4.8.1 اعتبر $ g(t) = t e^{\lambda t} $ أو

    $$ g (t, \tau) = g (t - \tau) = (t - \tau) e ^ {\lambda (t - \tau)} $$

    ومن السهل التحقق من أن

    $$ g (t - \tau) = \left[ \begin{array}{l l} e ^ {\lambda t} & t e ^ {\lambda t} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} - \tau e ^ {- \lambda \tau} \\ e ^ {- \lambda \tau} \end{array} \right] $$

    وبالتالي فإن معادلة فضاء الحالة المتغيرة زمنياً ذات البعدين

    $$ \begin{array}{l} \dot {\mathbf {x}} (t) = \left[ \begin{array}{l l} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right] \mathbf {x} (t) + \left[ \begin{array}{c} - t e ^ {- \lambda t} \\ e ^ {- \lambda t} \end{array} \right] u (t) \tag {4.90} \\ y (t) = \left[ e ^ {\lambda t} t e ^ {\lambda t} \right] \mathbf {x} (t) \\ \end{array} $$

    هي تحقيق لاستجابة النبضة $ g(t) = t e^{\lambda t} $ .

    تحويل لابلاس لاستجابة النبضة هو

    $$ \hat {g} (s) = \mathcal {L} [ t e ^ {\lambda t} ] = \frac {1}{(s - \lambda) ^ {2}} = \frac {1}{s ^ {2} - 2 \lambda s + \lambda^ {2}} $$

    وباستخدام (4.33) يمكننا الحصول بسهولة على

    $$ \begin{array}{l} \dot {\mathbf {x}} (t) = \left[ \begin{array}{c c} 2 \lambda & - \lambda^ {2} \\ 1 & 0 \end{array} \right] \mathbf {x} (t) + \left[ \begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} \right] u (t) \tag {4.91} \\ y (t) = \left[ \begin{array}{c c} 0 & 1 \end{array} \right] \mathbf {x} (t) \\ \end{array} $$

    هذه معادلة فضاء حالة ثابتة الزمن (LTI state-space) تمثل تحقيقًا مختلفًا للاستجابة النبضية نفسها. وهذا التحقيق أوضح أنه أكثر ملاءمة لأنه يمكن تنفيذه بسهولة باستخدام دارة مضخم تشغيلي (op-amp). أما تنفيذ (4.90) فهو أصعب بكثير عمليًا.