المسائل 

    4.1 يمكن توليد اهتزاز (oscillation) بواسطة

    $$ \dot {\mathbf {x}} (t) = \left[ \begin{array}{r r} 0 & 1 \\\ - 1 & 0 \end{array} \right] \mathbf {x} (t) $$

    بيّن أن حله هو

    $$ \mathbf {x} (t) = \left[ \begin{array}{c c} \cos t & \sin t \\\ - \sin t & \cos t \end{array} \right] \mathbf {x} (0) $$

    4.2 استخدم طريقتين مختلفتين لإيجاد استجابة خطوة الوحدة (unit step response) لـ

    $$ \begin{array}{l} \dot {\mathbf {x}} (t) = \left[ \begin{array}{r r} 0 & 1 \\\ - 2 & - 2 \end{array} \right] \mathbf {x} (t) + \left[ \begin{array}{l} 1 \\\ 1 \end{array} \right] u (t) \\\ y (t) = [ 2 \quad 3 ] \mathbf {x} (t) (t) \\\ \end{array} $$

    4.3 أوجد حل معادلات الحالة (state equations) الآتية مع شروط ابتدائية اعتباطية.

    1. $ \dot{x} (t) = \left[ \begin{array}{ll}1 & 1\\\ 1 & 1 \end{array} \right]x(t) $
    2. $ \dot{x} (t) = \left[ \begin{array}{rrr}2 & 0 & 0\\\ 0 & -2 & 2\\\ 0 & 1 & -3 \end{array} \right]x(t) $
    3. $ x(k + 1) = \left[ \begin{array}{rrr}1 & -1 & 1\\\ 0 & 1 & 1\\\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right]x(k) $

    4.4 قم بتقطيع (discretize) معادلة فضاء الحالة (state-space equation) في المسألة 4.2 من أجل $ T = 1 $ و$ T = \pi $.
    4.5 أوجد المعادلات المكافئة بصيغة المرافق (companion-form) والصيغة النمطية (modal-form) للمعادلة

    $$ \begin{array}{l} \dot {\mathbf {x}} (t) = \left[ \begin{array}{r r r} - 2 & 0 & 0 \\\ 1 & 0 & 1 \\\ 0 & - 2 & - 2 \end{array} \right] \mathbf {x} (t) + \left[ \begin{array}{l} 1 \\\ 0 \\\ 1 \end{array} \right] u (t) \\\ y (t) = [ 1 - 1 0 ] \mathbf {x} (t) \\\ \end{array} $$

    4.6 اعتبر النظام الآتي المعطى بتمثيل فضاء الحالة (state-space representation)،

    $$ \dot {x} (t) = \left[ \begin{array}{r r r} - 2 & - 2 & 0 \\\ 0 & 0 & 1 \\\ 0 & - 3 & - 4 \end{array} \right] x (t) + \left[ \begin{array}{l} 1 \\\ 0 \\\ 0 \end{array} \right] u (t) $$
    1. استخرج الصيغة النمطية (modal form) المكافئة للنظام أعلاه.
    2. أوجد استجابة النظام عندما $ x(0) = \left[ \begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \end{array} \right]^\prime $ ومع الدخل أمر خطوة (step command) باستخدام (a).
    3. استخدم MATLAB لرسم شكل الاستجابة (response shape) للنظام بناءً على (b).

    4.7 أوجد معادلة فضاء حالة مكافئة (equivalent state-space equation) لمعادلة المسألة 4.5 بحيث تكون القيم العظمى لمقادير متغيرات الحالة تقريبًا مساوية للقيمة العظمى لمقدار الخرج.

    إذا كانت جميع الإشارات مطلوبة لتبقى ضمن $ \pm 10 $ فولت، وإذا كان الدخل دالة خطوة (step function) بمقدار $ a $، فما أكبر $ a $ مسموح؟

    4.8 اعتبر معادلة الحالة (state equation) الآتية لنظام خطي (linear system)

    $$ \dot {x} (t) = \left[ \begin{array}{c c} 0 & 1 \\\ - 5 & - 2 \end{array} \right] x (t) + \left[ \begin{array}{c} 0 \\\ 1 \end{array} \right] u (t) $$
    $$ y (t) = \left[ \begin{array}{l l} 1 & 0 \end{array} \right] x (t) $$
    1. أوجد استجابة الدخل الصفري (zero-input response) للنظام مع $ x(0) = \left[ \begin{array}{ll} 1 & 1 \end{array} \right] $.
    2. أوجد دالة الانتقال (transfer function) للنظام.
    3. أوجد تمثيلًا نمطيًا مكافئًا (equivalent modal representation) للنظام. هل التمثيل النمطي قابل للتحقيق فيزيائيًا (physically realizable)؟ إذا كانت الإجابة لا، فأوجد تمثيلًا قابلًا للتحقيق فيزيائيًا.

    4.9 طريقة التقطيع (discretization method) في القسم 4.2.1 مماثلة لنظام بيانات عينات (sampled-data system) في التحكم الرقمي لتحويل أنظمة الزمن المستمر (continuous-time systems) إلى أنظمة زمن متقطع (discrete-time). افترض أن دالة الانتقال (transfer function) لنظام زمن مستمر معطاة بـ

    $$ \hat {g} (s) = \frac {K}{s (s + 1)} $$

    في نظام بيانات عينات مع $ T = 0.1 $ ثانية. استخرج تمثيل فضاء الحالة المتقطع (discrete state-space representation) واحسب $ \hat{g}(z) $. لتكن $ K = 10 $ وأوجد استجابة كل من نظام الزمن المستمر ونظام الزمن المتقطع لأمر خطوة. ارسم استجابات الخطوة وقارن النتائج.

    4.10 اعتبر

    $$ \dot {\mathbf {x}} (t) = \left[ \begin{array}{l l} \lambda & 0 \\\ 0 & \bar {\lambda} \end{array} \right] \mathbf {x} (t) + \left[ \begin{array}{l} b _ {1} \\\ \bar {b} _ {1} \end{array} \right] u (t), \quad y (t) = [ c _ {1} \bar {c} _ {1} ] \mathbf {x} (t) $$

    حيث يشير الشريط العلوي إلى المرافق المركب (complex conjugate). تحقق أن المعادلة يمكن تحويلها إلى

    $$ \dot {\bar {\mathbf {x}}} (t) = \bar {\mathbf {A}} \bar {\mathbf {x}} (t) + \bar {\mathbf {b}} u (t), \quad y (t) = \bar {\mathbf {c}} \bar {\mathbf {x}} (t) $$

    مع

    $$ \bar {\mathbf {A}} = \left[ \begin{array}{l l} 0 & 1 \\\ - \lambda \bar {\lambda} & \lambda + \bar {\lambda} \end{array} \right], \quad \bar {\mathbf {b}} = \left[ \begin{array}{l} 0 \\\ 1 \end{array} \right], \quad \bar {\mathbf {c}} _ {1} = \left[ - 2 \operatorname {R e} (\bar {\lambda} b _ {1} c _ {1}) 2 \operatorname {R e} (b _ {1} c _ {1}) \right] $$

    باستخدام التحويل $ \mathbf{x} = \mathbf{Q}\bar{\mathbf{x}} $ مع

    $$ \mathbf {Q} _ {1} = \left[ \begin{array}{l l} - \bar {\lambda} b _ {1} & b _ {1} \\\ - \lambda \bar {b} _ {1} & \bar {b} _ {1} \end{array} \right] $$

    4.11 تحقق أن معادلة صيغة Jordan (Jordan-form equation)

    $$ \dot {\mathbf {x}} (t) = \left[ \begin{array}{l l l l l l} \lambda & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\ 0 & \lambda & 1 & 0 & 0 & 0 \\\ 0 & 0 & \lambda & 0 & 0 & 0 \\\ 0 & 0 & 0 & \bar {\lambda} & 1 & 0 \\\ 0 & 0 & 0 & 0 & \bar {\lambda} & 1 \\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \bar {\lambda} \end{array} \right] \mathbf {x} (t) + \left[ \begin{array}{l} b _ {1} \\\ b _ {2} \\\ b _ {3} \\\ \bar {b} _ {1} \\\ \bar {b} _ {2} \\\ \bar {b} _ {3} \end{array} \right] u (t) $$
    $$ y (t) = \left[ \begin{array}{l l l l l l} c _ {1} & c _ {2} & c _ {3} & \bar {c} _ {1} & \bar {c} _ {2} & \bar {c} _ {3} \end{array} \right] \mathbf {x} (t) $$

    يمكن تحويلها إلى

    $$ \begin{array}{l} \dot {\bar {\mathbf {x}}} (t) = \left[ \begin{array}{l l l} \bar {\mathbf {A}} & \mathbf {I} _ {2} & \mathbf {0} \\\ \mathbf {0} & \bar {\mathbf {A}} & \mathbf {I} _ {2} \\\ \mathbf {0} & \mathbf {0} & \bar {\mathbf {A}} \end{array} \right] \bar {\mathbf {x}} (t) + \left[ \begin{array}{l} \bar {\mathbf {b}} \\\ \bar {\mathbf {b}} \\\ \bar {\mathbf {b}} \end{array} \right] u (t) \\\ y (t) = \left[ \begin{array}{c c c} \bar {\mathbf {c}} _ {1} & \bar {\mathbf {c}} _ {2} & \bar {\mathbf {c}} _ {3} \end{array} \right] \bar {\mathbf {x}} (t) \\\ \end{array} $$

    حيث $ \bar{\mathbf{A}} $ و$ \bar{\mathbf{b}} $ و$ \bar{\mathbf{c}}_i $ معرفة في المسألة 4.10 و$ \mathbf{I}_2 $ هي مصفوفة الوحدة (unit matrix) من الرتبة 2. [تلميح (Hint): غيّر ترتيب متغيرات الحالة من $ [x_1 x_2 x_3 x_4 x_5 x_6]^{\prime} $ إلى $ [x_1 x_4 x_2 x_5 x_3 x_6]^{\prime} $ ثم طبّق تحويل التكافؤ (equivalence transformation) $ \mathbf{x} = \mathbf{Q}\bar{\mathbf{x}} $ مع $ \mathbf{Q} = \mathrm{diag}(\mathbf{Q}_1, \mathbf{Q}_2, \mathbf{Q}_3) $.]

    4.12 هل مجموعتا معادلات فضاء الحالة

    $$ \dot {\mathbf {x}} (t) = \left[ \begin{array}{l l l} 2 & 1 & 2 \\\ 0 & 2 & 2 \\\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right] \mathbf {x} (t) + \left[ \begin{array}{l} 1 \\\ 1 \\\ 0 \end{array} \right] u (t), \quad y (t) = [ 1 - 1 0 ] \mathbf {x} (t) $$

    و

    $$ \dot {\mathbf {x}} (t) = \left[ \begin{array}{l l l} 2 & 1 & 1 \\\ 0 & 2 & 1 \\\ 0 & 0 & - 1 \end{array} \right] \mathbf {x} (t) + \left[ \begin{array}{l} 1 \\\ 1 \\\ 0 \end{array} \right] u (t), \quad y (t) = [ 1 - 1 0 ] \mathbf {x} (t) $$

    مكافئتان؟ مكافئتان صفريتا الحالة (zero-state equivalent)؟

    4.13 تحقق أن مصفوفة الانتقال (transfer matrix) في (4.41) لها التحقيق (realization) الآتي:

    $$ \begin{array}{l} \dot {\mathbf {x}} (t) = \left[ \begin{array}{c c c c c} - \alpha_ {1} \mathbf {I} _ {q} & \mathbf {I} _ {q} & \mathbf {0} & \dots & \mathbf {0} \\\ - \alpha_ {2} \mathbf {I} _ {q} & \mathbf {0} & \mathbf {I} _ {q} & \dots & \mathbf {0} \\\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\\ - \alpha_ {r - 1} \mathbf {I} _ {q} & \mathbf {0} & \mathbf {0} & \dots & \mathbf {I} _ {q} \\\ - \alpha_ {r} \mathbf {I} _ {q} & \mathbf {0} & \mathbf {0} & \dots & \mathbf {0} \end{array} \right] \mathbf {x} (t) + \left[ \begin{array}{c} \mathbf {N} _ {1} \\\ \mathbf {N} _ {2} \\\ \vdots \\\ \mathbf {N} _ {r - 1} \\\ \mathbf {N} _ {r} \end{array} \right] \mathbf {u} (t) \\\ \mathbf {y} (t) = \left[ \begin{array}{l l l l l} \mathbf {I} _ {q} & \mathbf {0} & \mathbf {0} & \dots & \mathbf {0} \end{array} \right] \mathbf {x} (t) \\\ \end{array} $$

    يسمى هذا تحقيقًا بصيغة مراقِبة كتلية (block observable form realization) وببُعد $ rq $. وهو ثنائي (dual) لـ (4.42).

    4.14 اعتبر المصفوفة الكسرية الصحيحة (proper rational matrix) $ 1 \times 2 $:

    $$ \begin{array}{l} \hat {\mathbf {G}} (s) = \left[ \begin{array}{l l} d _ {1} & d _ {2} \end{array} \right] + \frac {1}{s ^ {4} + \alpha_ {1} s ^ {3} + \alpha_ {2} s ^ {2} + \alpha_ {3} s + \alpha_ {4}} \\\ \times \left[ \beta_ {1 1} s ^ {3} + \beta_ {2 1} s ^ {2} + \beta_ {3 1} s + \beta_ {4 1} \quad \beta_ {1 2} s ^ {3} + \beta_ {2 2} s ^ {2} + \beta_ {3 2} s + \beta_ {4 2} \right] \\\ \end{array} $$

    بيّن أن تحقيقها بصيغة قابلة للملاحظة (observable form realization) يمكن اختزاله من المسألة 4.13 كما يلي

    $$ \begin{array}{l} \dot {\mathbf {x}} (t) = \left[ \begin{array}{l l l l} - \alpha_ {1} & 1 & 0 & 0 \\\ - \alpha_ {2} & 0 & 1 & 0 \\\ - \alpha_ {3} & 0 & 0 & 1 \\\ - \alpha_ {4} & 0 & 0 & 0 \end{array} \right] \mathbf {x} (t) + \left[ \begin{array}{l l} \beta_ {1 1} & \beta_ {1 2} \\\ \beta_ {2 1} & \beta_ {2 2} \\\ \beta_ {1 3} & \beta_ {3 2} \\\ \beta_ {4 1} & \beta_ {4 2} \end{array} \right] \mathbf {u} (t) \\\ y (t) = \left[ \begin{array}{l l l l} 1 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right] \mathbf {x} (t) + \left[ \begin{array}{l l} d _ {1} & d _ {2} \end{array} \right] \mathbf {u} (t) \\\ \end{array} $$

    4.15 أوجد تحقيقًا (realization) للمصفوفة الكسرية الصحيحة (proper rational matrix):

    $$ \hat {\mathbf {G}} (s) = \left[ \begin{array}{c c} \frac {2}{s + 1} & \frac {2 s - 3}{(s + 1) (s + 2)} \\\ \frac {s - 2}{s + 1} & \frac {s}{s + 2} \end{array} \right] $$

    4.16 أوجد تحقيقًا لكل عمود من $ \hat{\mathbf{G}}(s) $ في المسألة 4.15 ثم وصّلها كما هو مبين في الشكل 4.7(a) للحصول على تحقيق لـ $ \hat{\mathbf{G}}(s) $. ما بُعد هذا التحقيق؟ قارن هذا البعد مع البعد في المسألة 4.15.

    4.17 أوجد تحقيقًا لكل صف من $ \mathbf{G}(s) $ في المسألة 4.15 ثم وصّلها كما هو مبين في الشكل 4.7(b) للحصول على تحقيق لـ $ \mathbf{G}(s) $. ما بُعد هذا التحقيق؟ قارن هذا البعد مع البعدين في المسألتين 4.15 و4.16.

    4.18 أوجد تحقيقًا لـ

    $$ \hat {\mathbf {G}} (s) = \left[ \begin{array}{l l} - (1 2 s + 6) & 2 2 s + 2 3 \\\ \hline 3 s + 3 4 & 3 s + 3 4 \end{array} \right] $$

    4.19 اعتبر معادلة فضاء الحالة (state-space equation) ذات البعد $ n $

    $$ \dot {\mathbf {x}} (t) = \mathbf {A} \mathbf {x} (t) + \mathbf {b} u (t), \quad y (t) = \mathbf {c x} (t) $$

    ولتكن $ \hat{g}(s) $ دالة الانتقال (transfer function) لها. بيّن أن $ \hat{g}(s) $ لها $ m $ أصفار (zeros) أو، بشكل مكافئ، أن بسط $ \hat{g}(s) $ درجته $ m $ إذا وفقط إذا

    $$ \mathbf {c A} ^ {i} \mathbf {b} = 0 \quad \text{for} i = 0, 1, 2, \dots , n - m - 2 $$

    و$ \mathbf{cA}^{n - m - 1}\mathbf{b}\neq 0 $ . أو بشكل مكافئ، فإن الفرق بين درجتي مقام وبسط $ \hat{g} (s) $ هو $ \alpha = n - m $ إذا وفقط إذا

    $$ \mathbf {c A} ^ {\alpha - 1} \mathbf {b} \neq 0 \quad \text{and} \quad \mathbf {c A} ^ {i} \mathbf {b} = 0 $$

    لـ $ i = 0,1,2,\ldots ,\alpha -2 $

    4.20 أوجد المصفوفات الأساسية (fundamental matrices) ومصفوفات انتقال الحالة (state transition matrices) لـ

    $$ \dot {\mathbf {x}} (t) = \left[ \begin{array}{l l} 0 & 1 \\\ 0 & t \end{array} \right] \mathbf {x} (t) $$

    و

    $$ \dot {\mathbf {x}} (t) = \left[ \begin{array}{c c} - 1 & e ^ {2 t} \\\ 0 & - 1 \end{array} \right] \mathbf {x} (t) $$

    4.21 اعتبر نظامًا بدالة انتقال صحيحة (proper transfer function) $ \hat{g}(s) $ وتحقيقه غير القابل للاختزال (irreducible realization) $ \{A, b, c, d\} $. بيّن أنه إذا كان الدخل $ u(t) $ المطبق على النظام على صورة $ e^{\lambda t} $، حيث $ \lambda $ ليس قطبًا (pole) لـ $ \hat{g}(s) $، فإن الخرج الناتج عن الحالة الابتدائية $ x(0) = -(A - \lambda I)^{-1}b $ والدخل $ u(t) = e^{\lambda t} $ يساوي $ y(t) = \hat{g}(\lambda)e^{\lambda t} $ لـ $ t \geq 0 $. تلميح (Hint): استخدم الهوية الآتية لإثبات النتيجة،

    $$ (s I - A) ^ {- 1} (s - \lambda) ^ {- 1} = (\lambda I - A) ^ {- 1} (s - \lambda) ^ {- 1} + (s I - A) ^ {- 1} (A - \lambda I) ^ {- 1} $$

    4.22 للنظام الآتي أوجد الشروط الابتدائية بحيث يكون للمدخل $ u(t) = e^{-4t} $ الخرج $ y(t) $ على صورة $ e^{-4t} $ دون احتواء أي طور عابر (transient).

    $$ \begin{array}{l} \dot {x} (t) = \left[ \begin{array}{c c} - 1 & 1 \\\ - 0. 5 & 0 \end{array} \right] x (t) + \left[ \begin{array}{c} 0 \\\ 0. 5 \end{array} \right] u (t) \\\ y (t) = \left[ \begin{array}{l l} 1 & 0 \end{array} \right] x (t) \\\ \end{array} $$

    تلميح (Hint): استخدم نتيجة المسألة 4.5 (مسألة جديدة (New Problem)).

    4.23 أوجد حل النظام المتغير مع الزمن (time-varying system) الآتي،

    $$ \dot {x} (t) = \left[ \begin{array}{c c} 1 & \cos t \\\ 0 & 0 \end{array} \right] x (t), x (0) = \left[ \begin{array}{c} 0 \\\ 1 \end{array} \right] $$

    4.24 بيّن أن

    $$ \frac {d}{d t} \left[ \Phi^ {- 1} (t, t _ {0}) \right] = - \Phi^ {- 1} (t, t _ {0}) \left[ \frac {d}{d t} \Phi (t, t _ {0}) \right] \Phi^ {- 1} (t, t _ {0}) $$

    4.25 أوجد مصفوفة انتقال الحالة (state transition matrix) للمعادلة المتغيرة مع الزمن الآتية

    $$ \begin{array}{l} \dot {x} _ {1} (t) = t x _ {1} (t) \\\ \dot {x} _ {2} (t) = 2 t x _ {1} (t) - t x _ {2} (t) \\\ \end{array} $$

    وأوجد استجابة الدخل الصفري (zero-input response) للنظام إذا كان $ x_{1}(0) = x_{2}(0) = 1 $.

    4.26 بيّن أن $ \partial \Phi (t_0,t) / \partial t = -\Phi (t_0,t)\mathbf{A}(t) $
    4.27 إذا كان

    $$ \mathbf {A} (t) = \left[ \begin{array}{l l} a _ {1 1} (t) & a _ {1 2} (t) \\\ a _ {2 1} (t) & a _ {2 2} (t) \end{array} \right] $$

    فبيّن أن

    $$ \det \Phi (t, t _ {0}) = \exp \left[ \int_ {t _ {0}} ^ {t} \left(a _ {1 1} (\tau) + a _ {2 2} (\tau)\right) d \tau \right] $$

    4.28 Lct

    $$ \boldsymbol {\Phi} (t, t _ {0}) = \left[ \begin{array}{l l} \boldsymbol {\Phi} _ {1 1} (t, t _ {0}) & \boldsymbol {\Phi} _ {1 2} (t, t _ {0}) \\\ \boldsymbol {\Phi} _ {2 1} (t, t _ {0}) & \boldsymbol {\Phi} _ {2 2} (t, t _ {0}) \end{array} \right] $$

    لتكن مصفوفة انتقال الحالة (state transition matrix) لـ

    $$ \dot {\mathbf {x}} (t) = \left[ \begin{array}{c c} \mathbf {A} _ {1 1} (t) & \mathbf {A} _ {1 2} (t) \\\ \mathbf {0} & \mathbf {A} _ {2 2} (t) \end{array} \right] \mathbf {x} (t) $$

    بيّن أن $ \Phi_{21}(t,t_0) = 0 $ لكل $ t $ و$ t_0 $ وأن $ (\partial/\partial t)\Phi_{ii}(t,t_0) = \mathbf{A}_{ii}\Phi_{ii}(t,t_0) $، من أجل $ i = 1,2 $.

    4.29 أوجد مصفوفة انتقال الحالة (state transition matrix) لـ

    $$ \dot {\mathbf {x}} (t) = \left[ \begin{array}{c c} - \sin t & 0 \\\ 0 & - \cos t \end{array} \right] \mathbf {x} (t) $$

    4.30 تحقق أن $ \mathbf{X}(t) = e^{\mathbf{A}t}\mathbf{C}e^{\mathbf{B}t} $ هو حل

    $$ \dot {\mathbf {X}} (t) = \mathbf {A} \mathbf {X} (t) + \mathbf {X} (t) \mathbf {B}, \quad \mathbf {X} (0) = \mathbf {C} $$

    4.31 بيّن أنه إذا كان $ \dot{\mathbf{A}}(t) = \mathbf{A}_1\mathbf{A}(t) - \mathbf{A}(t)\mathbf{A}_1 $، فإن

    $$ \mathbf {A} (t) = e ^ {\mathbf {A} _ {1} t} \mathbf {A} (0) e ^ {- \mathbf {A} _ {1} t} $$

    وبيّن أيضًا أن القيم الذاتية (eigenvalues) لـ $ \mathbf{A}(t) $ مستقلة عن $ t $.

    4.32 أوجد معادلة فضاء حالة ثابتة مع الزمن (time-invariant state-space equation) مكافئة لمعادلة المسألة 4.29.
    4.33 حوّل $ (\mathbf{A},\mathbf{B},\mathbf{C}) $ الثابتة مع الزمن (time-invariant) إلى $ (0,\bar{\mathbf{B}} (t),\bar{\mathbf{C}} (t)) $ بتحويل تكافؤ متغير مع الزمن (time-varying equivalence transformation).
    4.34 أوجد تحقيقًا (realization) متغيرًا مع الزمن وتحقيقًا ثابتًا مع الزمن للاستجابة النبضية (impulse response) $ g(t) = t^{2}e^{\lambda t} $.
    4.35 أوجد تحقيقًا (realization) لـ $ g(t, \tau) = \sin t (e^{-(t - \tau)}) \cos \tau $. هل يمكن إيجاد تحقيق بمعادلة فضاء حالة ثابتة مع الزمن (time-invariant state-space equation)؟

    الحلول 

    4.2 $ y(t) = 5e^{-t}\sin t $ لـ $ t\geq 0 $
    4.4 من أجل $ T = \pi $

    $$ \begin{array}{l} \mathbf {x} [ k + 1 ] = \left[ \begin{array}{c c} - 0. 0 4 3 2 & 0 \\\ 0 & - 0. 0 4 3 2 \end{array} \right] \mathbf {x} [ k ] + \left[ \begin{array}{c} 1. 5 6 4 8 \\\ - 1. 0 4 3 2 \end{array} \right] u [ k ] \\\ y [ k ] = [ 2 3 ] \mathbf {x} [ k ] \\\ \end{array} $$

    4.7 يعطي MATLAB قيم $ |y|_{max} = 0.55 $، و$ |x_1|_{max} = 0.5 $، و$ |x_2|_{max} = 1.05 $ و$ |x_3|_{max} = 0.52 $ لمدخل خطوة واحد. عرّف $ \bar{x}_1 = x_1 $، و$ \bar{x}_2 = 0.5x_2 $ و$ \bar{x}_3 = x_3 $. عندئذ

    $$ \dot {\bar {\mathbf {x}}} = \left[ \begin{array}{c c c} - 2 & 0 & 0 \\\ 0. 5 & 0 & 0. 5 \\\ 0 & - 4 & - 2 \end{array} \right] \bar {\mathbf {x}} + \left[ \begin{array}{l} 1 \\\ 0 \\\ 1 \end{array} \right] u, \quad y = [ 1 - 2 0 ] \bar {\mathbf {x}} $$

    أكبر $ a $ مسموح هو $ 10 / 0.55 = 18.2 $ .

    4.12 ليستا مكافئتين لكنهما مكافئتان صفريتا الحالة (zero-state equivalent).
    4.15 باستخدام (4.34)، لدينا

    $$ \begin{array}{l} \dot {\mathbf {x}} = \left[ \begin{array}{r r r r} - 3 & 0 & - 2 & 0 \\\ 0 & - 3 & 0 & - 2 \\\ 1 & 0 & 0 & 0 \\\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{array} \right] \mathbf {x} + \left[ \begin{array}{r r} 1 & 0 \\\ 0 & 1 \\\ 0 & 0 \\\ 0 & 0 \end{array} \right] u \\\ \mathbf {y} = \left[ \begin{array}{r r r r} 2 & 2 & 4 & - 3 \\\ - 3 & - 2 & - 6 & - 2 \end{array} \right] \mathbf {x} + \left[ \begin{array}{l l} 0 & 0 \\\ 1 & 1 \end{array} \right] u \\\ \end{array} $$

    4.17

    $$ \dot {\mathbf {x}} = \left[ \begin{array}{r r r r} - 3 & 1 & 0 & 0 \\\ - 2 & 0 & 0 & 0 \\\ 0 & 0 & - 3 & 1 \\\ 0 & 0 & - 2 & 0 \end{array} \right] \mathbf {x} + \left[ \begin{array}{r r} 2 & 2 \\\ 4 & - 3 \\\ - 3 & - 2 \\\ - 6 & - 2 \end{array} \right] u $$
    $$ \mathbf {y} = \left[ \begin{array}{l l l l} 1 & 0 & 0 & 0 \\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array} \right] \mathbf {x} + \left[ \begin{array}{l l} 0 & 0 \\\ 1 & 1 \end{array} \right] u $$

    كلاهما ببعد 4.

    4.20

    $$ \begin{array}{l} \mathbf {X} (t) = \left[ \begin{array}{c c} 1 & \int_ {0} ^ {t} e ^ {0. 5 \tau^ {2}} d \tau \\\ 0 & e ^ {0. 5 t ^ {2}} \end{array} \right] \\\ \boldsymbol {\Phi} (t, t _ {0}) = \left[ \begin{array}{c c} 1 & - e ^ {0. 5 t ^ {2}} \int_ {t _ {0}} ^ {t} e ^ {0. 5 \tau^ {2}} d \tau \\\ 0 & e ^ {0. 5 \left(t ^ {2} - t _ {0} ^ {2}\right)} \end{array} \right] \\\ \mathbf {X} (t) = \left[ \begin{array}{c c} e ^ {- t} & e ^ {t} \\\ 0 & 2 e ^ {- t} \end{array} \right] \\\ \Phi (t, t _ {0}) = \left[ \begin{array}{c c} e ^ {- (t - t _ {0})} & 0. 5 \left(e ^ {t} e ^ {t _ {0}} - e ^ {- t} e ^ {t _ {0}} \right. \\\ 0 & e ^ {- (t - t _ {0})} \end{array} \right] \\\ \end{array} $$

    4.29

    $$ \Phi (t, t _ {0}) = \left[ \begin{array}{c c} e ^ {\cos t - \cos t _ {0}} & 0 \\\ 0 & e ^ {- \sin t + \sin t _ {0}} \end{array} \right] $$

    4.32 لتكن $ \bar{\mathbf{x}}(t) = \mathbf{P}(t)\mathbf{x}(t) $ مع

    $$ \mathbf {P} (t) = \left[ \begin{array}{c c} e ^ {- \cos t} & 0 \\\ 0 & e ^ {\sin t} \end{array} \right] $$

    عندئذ $ \dot{\bar{\mathbf{x}}}(t) = \bar{\mathbf{0}} \cdot \bar{\mathbf{x}} = \bar{\mathbf{0}} $ .

    4.34

    $$ \begin{array}{l} \dot {\mathbf {x}} = \mathbf {0} \cdot \mathbf {x} + \left[ \begin{array}{c} t ^ {2} e ^ {- \lambda t} \\\ - 2 t e ^ {- \lambda t} \\\ e ^ {- \lambda t} \end{array} \right] u \quad y = \left[ e ^ {\lambda t} t e ^ {\lambda t} t ^ {2} e ^ {\lambda t} \right] \mathbf {x} \\\ \dot {\mathbf {x}} = \left[ \begin{array}{c c c} 3 \lambda & - 3 \lambda^ {2} & \lambda^ {3} \\\ 1 & 0 & 0 \\\ 0 & 1 & 0 \end{array} \right] \mathbf {x} + \left[ \begin{array}{c} 1 \\\ 0 \\\ 0 \end{array} \right] u, \quad y = [ 0 0 2 ] \mathbf {x} \\\ \end{array} $$