5.2 استقرار الدخل-الخرج (input-output stability) لأنظمة خطية ثابتة الزمن (LTI) 

اعتبر نظامًا خطيًا ثابت الزمن أحادي الدخل أحادي الخرج (SISO linear time-invariant, LTI) موصوفًا، كما اشتُق في (2.5)، بـ

$$ y (t) = \int_ {0} ^ {t} g (t - \tau) u (\tau) d \tau = \int_ {0} ^ {t} g (\tau) u (t - \tau) d \tau \tag {5.1} $$

حيث إن $ g(t) $ هي الاستجابة النبضية (impulse response) أو الخرج الناتج عن دخل نبضي (impulse input) مطبّق عند $ t = 0 $ . تذكّر أنه لكي يكون النظام قابلًا للوصف بـ (5.1)، يجب أن يكون خطيًا (linear)، وثابت الزمن (time-invariant)، وسببيًا (causal). إضافة إلى ذلك، يجب أن يكون النظام في حالة استرخاء ابتدائية (initially relaxed) عند $ t = 0 $ .

يُقال إن الدخل $ u(t) $ محدود (bounded) إذا كان $ u(t) $ لا ينمو إلى اللانهاية الموجبة أو السالبة؛ أو، على نحو مكافئ، يوجد ثابت $ u_m $ بحيث

$$ | u (t) | \leq u _ {m} < \infty \quad \text{for all} t \geq 0 $$

يُقال إن النظام مستقر بدخل محدود وخرج محدود (BIBO stable, bounded-input bounded-output) إذا كان كل دخل محدود يثير خرجًا محدودًا. هذا الاستقرار (stability) مُعرَّف لاستجابات صفر الحالة (zero-state responses) وينطبق فقط إذا كان النظام في حالة استرخاء ابتدائية (initially relaxed).

نظرية 5.1 

النظام SISO الموصوف بـ (5.1) مستقر BIBO (BIBO stable) إذا وفقط إذا كانت $ g(t) $ قابلة للتكامل المطلق (absolutely integrable) على $ [0, \infty) $ أو

$$ \int_ {0} ^ {\infty} | g (t) | d t \leq M < \infty $$

لبعض الثابت $ M $ .

برهان: أولًا نبيّن أنه إذا كانت $ g(t) $ قابلة للتكامل المطلق (absolutely integrable)، فإن كل دخل محدود يثير خرجًا محدودًا. لتكن $ u(t) $ أي دخل بحيث $ |u(t)| \leq u_m < \infty $ لكل $ t \geq 0 $ . عندئذ لدينا

$$ | y (t) | = \left| \int_ {0} ^ {t} g (\tau) u (t - \tau) d \tau \right| \leq \int_ {0} ^ {t} | g (\tau) | | u (t - \tau) | d \tau $$

تنجم المتباينة عن أن حد التكامل (integrand) في التكامل الأول قد يكون موجبًا أو سالبًا وقد يحدث فيه إلغاء (cancelation)، بينما حد التكامل (integrand) في التكامل الثاني كله موجب ولا يحدث فيه إلغاء. بالتعويض بـ $ |u(t)| \leq u_m $ لكل $ t \geq 0 $ نحصل على

$$ | y (t) | \leq u _ {m} \int_ {0} ^ {t} | g (\tau) | d \tau \leq u _ {m} \int_ {0} ^ {\infty} | g (\tau) | d \tau \leq u _ {m} M $$

لكل $ t \geq 0 $ . إذًا فالخرج محدود. بعد ذلك نبيّن أنه إذا كانت $ g(t) $ غير قابلة للتكامل المطلق، فإن النظام ليس مستقرًا BIBO. إذا لم تكن $ g(t) $ قابلة للتكامل المطلق، فلكل $ N $ كبير كيفما كان، يوجد $ t_1 $ بحيث

$$ \int_ {0} ^ {t _ {1}} | g (\tau) | d \tau > N $$

اعتبر الدخل $ u(t) $ ، عندما يكون $ t $ في $ [0, t_1] $ ، معرّفًا بـ

$$ u (t _ {1} - t) = \left\{ \begin{array}{l l} 1 & \text{if} g (t) \geq 0 \\ - 1 & \text{if} g (t) < 0 \end{array} \right. $$

وهو محدود. الخرج عند $ t_1 $ المثار بهذا الدخل يساوي

$$ y (t _ {1}) = \int_ {0} ^ {t _ {1}} g (\tau) u (t _ {1} - \tau) d \tau = \int_ {0} ^ {t _ {1}} | g (\tau) | d \tau > N $$

ولأن $ y(t_{1}) $ يمكن أن يكون كبيرًا اعتباطيًا، نستنتج أن دخلًا محدودًا يثير خرجًا غير محدود. وبذلك يكتمل برهان النظرية 5.1. Q.E.D.

الشكل 5.1 دالة (Function).

قد تكون الدالة القابلة للتكامل المطلق (absolutely integrable) غير محدودة أو قد لا تقترب من الصفر عندما $ t \to \infty $ . بالفعل، اعتبر الدالة المعرّفة بـ

$$ f (t - n) = \left\{ \begin{array}{l l} n + (t - n) n ^ {4} & \text{for} (- 1 / n ^ {3}) < (t - n) \leq 0 \\ n - (t - n) n ^ {4} & \text{for} 0 \leq (t - n) \leq (1 / n ^ {3}) \end{array} \right. $$

لـ $ n = 2, 3, \ldots $ كما في الشكل 5.1. مساحة كل مثلث تساوي $ 1 / n^2 $ . لذا فإن التكامل المطلق للدالة يساوي $ \sum_{n=2}^{\infty} (1 / n^2) < \infty $ . هذه الدالة قابلة للتكامل المطلق، لكنها غير محدودة ولا تقترب من الصفر عندما $ t \to \infty $ .

مثال 5.2.1 اعتبر نظام التغذية الراجعة الموجبة (positive feedback) المبين في الشكل 2.5(a). حُسبت استجابته النبضية في (2.6) على أنها

$$ g (t) = \sum_ {i = 1} ^ {\infty} a ^ {i} \delta (t - i) $$

حيث يمكن أن يكون الكسب $ a $ موجبًا أو سالبًا. تُعرَّف النبضة (impulse) على أنها حد النبضة في الشكل 2.3 ويمكن اعتبارها موجبة. إذن لدينا

$$ | g (t) | = \sum_ {0} ^ {\infty} | a | ^ {i} \delta (t - i) $$

وباستخدام $ \int_0^\infty \delta (t - i)dt = 1 $ لكل $ i\geq 1 $

$$ \int_ {0} ^ {\infty} | g (t) | d t = \sum_ {0} ^ {\infty} | a | ^ {i} = \left\{ \begin{array}{l l} \infty & \text{if} | a | \geq 1 \\ 1 / (1 - | a |) < \infty & \text{if} | a | < 1 \end{array} \right. $$

إذًا نستنتج أن نظام التغذية الراجعة الموجبة في الشكل 2.5(a) مستقر BIBO إذا وفقط إذا كان مقدار الكسب $ a $ أقل من 1.

حُسبت دالة التحويل (transfer function) للنظام في مثال 2.3.4 على أنها

$$ \hat {g} (s) = \frac {a e ^ {- s}}{1 - a e ^ {- s}} \tag {5.2} $$

وهي دالة غير نسبية (irrational function) في $ s $ والنظام موزع (distributed).

نظرية 5.2 

إذا كان نظام ذو استجابة نبضية $ g(t) $ مستقرًا BIBO، فعندما $ t \to \infty $ ،

الخرج المثار بواسطة $ u(t) = a $ لكل $ t \geq 0 $ يقترب من $ \hat{g}(0) \cdot a $ ،
الخرج المثار بواسطة $ u(t) = \cos \omega_0 t $ لكل $ t \geq 0 $ يقترب من

$$ | \hat {g} (j \omega_ {0}) | \cos (\omega_ {0} t + \kappa \hat {g} (j \omega_ {0})) $$

الخرج المثار بواسطة $ u(t) = \sin \omega_0 t $ لكل $ t \geq 0 $ يقترب من

$$ | \hat {g} (j \omega_ {0}) | \sin (\omega_ {0} t + \kappa \hat {g} (j \omega_ {0})) $$

حيث إن $ \hat{g}(s) $ هو تحويل Laplace (Laplace transform) لـ $ g(t) $ أو

$$ \hat {g} (s) := \mathcal {L} [ g (t) ] := \int_ {t = 0} ^ {\infty} g (t) e ^ {- s t} d t = \int_ {\tau = 0} ^ {\infty} g (\tau) e ^ {- s \tau} d \tau \tag {5.3} $$

برهان: إذا كان $ u(t) = a $ لكل $ t \geq 0 $ ، فإن (5.1) تصبح

$$ y (t) = \int_ {\tau = 0} ^ {t} g (\tau) u (t - \tau) d \tau = a \int_ {\tau = 0} ^ {t} g (\tau) d \tau $$

مما يستلزم، عندما $ t\to \infty $

$$ y (t) \rightarrow a \int_ {\tau = 0} ^ {\infty} g (\tau) d \tau = a \hat {g} (0) $$

حيث استخدمنا (5.3) مع $ s = 0 $ . وهذا يثبت الجزء الأول من النظرية 5.2. وعلى الرغم من أن الجزأين الثاني والثالث يمكن إثباتهما مباشرة، فإن الأسهل هو إثباتهما باستخدام $ u(t) = e^{j\omega_0t} $ . لاحظ أن $ u(t) = e^{j\omega_0t} $ دالة مركبة (complex-valued) وكل المناقشات لا تزال منطبقة. إذا كان $ u(t) = e^{j\omega_0t} $ لكل $ t \geq 0 $ ، فإن (5.1) تصبح

$$ y (t) = \int_ {0} ^ {t} g (\tau) u (t - \tau) d \tau = \int_ {0} ^ {t} g (\tau) e ^ {j \omega_ {0} (t - \tau)} d \tau = e ^ {j \omega_ {0} t} \int_ {0} ^ {t} g (\tau) e ^ {- j \omega_ {0} \tau} d \tau $$

مما يستلزم، عندما $ t\to \infty $

$$ y (t) \rightarrow e ^ {j \omega_ {0} t} \int_ {0} ^ {\infty} g (\tau) e ^ {- j \omega_ {0} \tau} d \tau = \hat {g} (j \omega_ {0}) e ^ {j \omega_ {0} t} $$

حيث استخدمنا (5.3) مع $ s = j\omega_0 $ . لاحظ أنه على الرغم من أن $ g(t) $ ذات قيم حقيقية (real-valued)، فإن $ \hat{g}(j\omega_0) $ ذات قيم مركبة (complex-valued) عمومًا ويمكن التعبير عنها على أنها $ \hat{g}(j\omega_0) = $

$ A(\omega_0)e^{j\theta (\omega_0)} $ ، حيث $ A(\omega_0)\coloneqq |\hat{g} (j\omega_0)| $ و $ \theta (\omega_0)\coloneqq \neq \hat{g} (j\omega_0) $ . الآن إذا كان $ e^{j\omega_0t} = \cos (\omega_0t) + j\sin (\omega_0t) $ لكل $ t\geq 0 $ ، فإن الخرج يقترب، عندما $ t\to \infty $ ، من

$$ \begin{array}{l} y (t) \rightarrow \hat {g} (j \omega_ {0}) e ^ {j \omega_ {0} t} = A (\omega_ {0}) e ^ {j \theta (\omega_ {0})} e ^ {j \omega_ {0} t} = A (\omega_ {0}) e ^ {j (\omega_ {0} t + \theta (\omega_ {0}))} \\ = A \left(\omega_ {0}\right) \cos \left(\omega_ {0} + \theta \left(\omega_ {0}\right)\right) + j A \left(\omega_ {0}\right) \sin \left(\omega_ {0} + \theta \left(\omega_ {0}\right)\right) \\ \end{array} $$

الجزء الحقيقي من $ e^{j\omega_0t} $ يثير الجزء الحقيقي من $ y(t) $ ، وهو الجزء الثاني من النظرية. ويتبع الجزء الثالث من الأجزاء التخيلية. Q.E.D.

في هذه النظرية، شرط الاستقرار (stability condition) أساسي. على سبيل المثال، إذا كانت $ g(t) = 4e^{2t} $ عندما $ t \geq 0 $ ، فإن $ g(t) $ ليست قابلة للتكامل المطلق. لذا فالنظام ليس مستقرًا BIBO ولا تنطبق النظرية 5.2. لاحظ أن تحويل Laplace (Laplace transform) لـ $ g(t) = 4e^{2t} $ مُعرَّف جيدًا ويساوي $ \hat{g}(s) = 4/(s - 2) $ . إذا طبقنا $ u(t) = 1 $ ، فإن الخرج سينمو بلا حدود بدلًا من أن يقترب من $ \hat{g}(0) = 4/(-2) = -2 $ . إذا طبقنا $ \sin 2t $ ، فإن الخرج سينمو بلا حدود أيضًا بدلًا من أن يقترب من $ 4|\hat{g}(j2)|\sin (2t + \star \hat{g}(j2)) $ ، حيث

$$ \hat {g} (j 2) = \frac {4}{j 2 - 2} = \frac {2}{- 1 + j 1} = \frac {2}{1 . 4 1 4 e ^ {j 3 \pi / 4}} = 1. 4 1 4 e ^ {- j 3 \pi / 4} $$

مع $ |\hat{g}(j2)| = 1.414 $ و $ \star \hat{g}(j2) = -3\pi/4 $ . من جهة أخرى، إذا كان نظام LTI مستقرًا BIBO، وإذا طبّقنا دخل خطوة (step input) بسعة $ a $ ، فإن الخرج سيقترب من دالة خطوة بسعة $ a\hat{g}(0) $ . وإذا طبّقنا دخلًا جيبيًا (sinusoidal input)، فإن الخرج سيقترب من دالة جيبية بالتردد نفسه مع تعديل السعة والطور بواسطة $ \hat{g}(j\omega_0) $ .

اعتبر نظامًا ذا دالة تحويل $ \hat{g}(s) $ . نُسمي $ \hat{g}(j\omega) $ الاستجابة الترددية (frequency response) للنظام، ونُسمي مقدارها $ |\hat{g}(j\omega)| $ استجابة المقدار (magnitude response)، ونُسمي طورها $ \nprec \hat{g}(j\omega) $ استجابة الطور (phase response). إذا لم يكن النظام مستقرًا BIBO، فإن استجابته الترددية لا معنى فيزيائي لها. إذا كان النظام مستقرًا BIBO، فإن دخلًا جيبيًا بتردد $ \omega_0 $ سيُثير في النهاية دالة جيبية بالتردد نفسه مع تعديل السعة والطور بواسطة الاستجابة الترددية عند $ \omega_0 $ . يعتمد تصميم المرشحات (filter design) أساسًا على النظرية 5.2: لإيجاد نظام BIBO له استجابة ترددية مرغوبة أو محددة.

تنطبق النظرية 5.1 على الأنظمة LTI المجمّعة أو الموزعة. إذا كان نظام LTI مجمّعًا أيضًا، فيمكن وصفه بدالة تحويل نسبية (rational transfer function). نذكر الآن شرط استقرار BIBO بدلالة دوال التحويل النسبية الصحيحة (proper rational transfer functions). أولًا نقسم مستوى $ s $ المركب إلى ثلاثة أجزاء: النصف الأيمن (right half-plane, RHP)، والنصف الأيسر (left half-plane, LHP)، ومحور التخيّل أو محور $ j\omega $ . لاحظ أن نصفي المستوى الأيمن والأيسر لا يشملان محور $ j\omega $ .

نظرية 5.3 

النظام SISO ذو دالة التحويل النسبية الصحيحة $ \hat{g}(s) $ مستقر BIBO إذا وفقط إذا كان لكل قطب (pole) في $ \hat{g}(s) $ جزء حقيقي سالب أو، على نحو مكافئ، يقع داخل النصف الأيسر من مستوى $ s $ .

برهان: نثبت أولًا أن استجابة (التحويل العكسي لـ Laplace) لقطب، سواء كان حقيقيًا أو مركبًا، بسيطًا أو مكررًا، تقترب من الصفر عندما $ t \to \infty $ وتكون قابلة للتكامل المطلق إذا وفقط إذا كان للقطب جزء حقيقي سالب. إذا كان $ \hat{g}(s) $ له قطب $ p_i $ بتعددية $ m_i $ ، فإن التحويل العكسي لـ Laplace لـ $ \hat{g}(s) $ أو الاستجابة النبضية يحتوي العوامل

$$ e ^ {p _ {i} t}, \quad t e ^ {p _ {i} t}, \dots , t ^ {m _ {i} - 1} e ^ {p _ {i} t} \tag {5.4} $$

نفترض أولًا أن $ p_i $ حقيقي. إذا كان $ p_i $ يساوي 0، فإن الحد الأول يساوي 1 لكل $ t \geq 0 $ ، وتنمو الحدود الأخرى بلا حدود. إذا كان $ p_i $ موجبًا، فإن كل حد في (5.4) ينمو بلا حدود. وبالنتيجة، إذا كان $ p_i \geq 0 $ ، فإن كل حد في (5.4) لا يقترب من الصفر عندما $ t \to \infty $ وليس قابلًا للتكامل المطلق على $ [0, \infty) $ . الآن اعتبر $ p_i $ حقيقيًا وسالبًا مثل $ p_i = -0.01 $ . عندئذ لدينا $ e^{-0.01t} \to 0 $ عندما $ t \to \infty $ و

$$ \begin{array}{l} \int_ {0} ^ {\infty} \left| e ^ {- 0. 0 1 t} \right| d t = \int_ {0} ^ {\infty} e ^ {- 0. 0 1 t} d t = \frac {1}{- 0 . 0 1} e ^ {- 0. 0 1 t} \Big | _ {t = 0} ^ {\infty} = \frac {1}{- 0 . 0 1} [ 0 - 1 ] \\ = \frac {- 1}{- 0 . 0 1} = 1 0 0 \\ \end{array} $$

وبالنسبة لـ $ t e^{-0.01} $ نحصل، باستخدام قاعدة لُوبِيتال (l'Hopital's rule)، على

$$ \lim _ {t \rightarrow \infty} \left[ t e ^ {- 0. 0 1 t} = \frac {t}{e ^ {0 . 0 1 t}} = \frac {1}{0 . 0 1 e ^ {0 . 0 1 t}} \right] = \frac {1}{\infty} = 0 $$

وباستخدام جدول التكامل،

$$ \int_ {0} ^ {\infty} \left| t e ^ {- 0. 0 1 t} \right| d t = \int_ {0} ^ {\infty} t e ^ {- 0. 0 1 t} d t = \frac {(- 0 . 0 1 t - 1) e ^ {- 0 . 0 1 t}}{(- 0 . 0 1) ^ {2}} \Bigg | _ {t = 0} ^ {\infty} = \frac {0 - (- 1)}{1 0 ^ {- 4}} = 1 0 ^ {4} $$

وبالاستمرار، نستنتج أنه لأي عدد صحيح موجب $ m_i $ وأي عدد حقيقي سالب $ p_i $ ، فإن الدالة $ t^{m_i} e^{p_i t} $ تقترب من الصفر عندما $ t \to \infty $ وتكون قابلة للتكامل المطلق. وذلك لأن الدالة الأسية $ e^{p_i t} $ تقترب من الصفر أسرع بكثير من معدل اقتراب كثير الحدود $ t^{m_i} $ من $ \infty $ . لذا عندما $ t \to \infty $ ، تهيمن الدالة الأسية على كثير الحدود.

تنطبق المناقشة السابقة في الواقع على الأقطاب المركبة. لتكن $ p_i = \alpha_i + j\beta_i $ ، حيث $ \alpha_i $ و $ \beta_i $ عددان حقيقيان. لأن $ |e^{j\beta_i t}| = 1 $ لأي $ \beta_i $ حقيقي ولكل $ t $ ، فإننا نحصل، لأي عدد صحيح موجب $ m $ ولكل $ t \geq 0 $ ، على

$$ | t ^ {m} e ^ {p _ {i} t} | = t ^ {m} | e ^ {(\alpha_ {i} + j \beta_ {i}) t} | = t ^ {m} | e ^ {\alpha_ {i} t} | | e ^ {j \beta_ {i} t} | = t ^ {m} e ^ {\alpha_ {i} t} $$

حيث استخدمنا $ e^{\alpha_i t} \geq 0 $ لأي $ \alpha_i $ حقيقي موجب أو سالب. لذلك فإن قابلية التكامل المطلق لقطب مركب تُحدَّد بجزئه الحقيقي فقط وهي مستقلة عن جزئه التخيلي. وبما أن الحد السابق له الشكل في (5.4)، فإن كل المناقشة للأقطاب الحقيقية تنطبق على الأقطاب المركبة إذا اعتبرنا فقط أجزائها الحقيقية.¹ لذلك فإن استجابة القطب، حقيقيًا كان أو مركبًا، بسيطًا أو مكررًا، تقترب من الصفر عندما $ \rightarrow \infty $ وتكون قابلة للتكامل المطلق إذا كان للقطب جزء حقيقي سالب أو يقع داخل النصف الأيسر من مستوى $ s $ .

إذا كان $ \hat{g}(s) $ يحتوي عددًا من الأقطاب، فإن استجابته النبضية $ g(t) $ هي تركيب خطي من الاستجابات النبضية $ g_i(t) $ لكل الأقطاب أو

$$ g (t) = \sum_ {i} a _ {i} g _ {i} (t) + b \delta (t) $$

لبعض الثوابت $ a_i $ و $ b $ . يكون الثابت $ b $ مساويًا للصفر إذا كانت $ \hat{g}(s) $ صحيحة تمامًا (strictly proper) وغير صفري إذا كانت $ \hat{g}(s) $ ثنائية الصحة (biproper). الحد $ b\delta(t) $ قابل للتكامل المطلق وليس مرتبطًا بأي قطب. لذا سيتم إسقاطه في المعادلة التالية. لأن

$$ \int_ {0} ^ {\infty} | g (t) | d t = \int_ {0} ^ {\infty} \left| \sum_ {i} a _ {i} g _ {i} (t) \right| d t \leq \int_ {0} ^ {\infty} \sum_ {i} | a _ {i} g _ {i} (t) | d t = \sum_ {i} | a _ {i} | \int_ {0} ^ {\infty} | g _ {i} (t) | d t $$

إذا كانت كل $ g_i(t) $ قابلة للتكامل المطلق، فإن $ g(t) $ كذلك. وبناءً على النظرية 5.1 يكون النظام مستقرًا BIBO. وبذلك يكتمل برهان النظرية 5.3. Q.E.D.

أقطاب دالة التحويل النسبية $ \hat{g}(s) = N(s) / D(s) $ هي جذور $ D(s) $ إذا كان $ N(s) $ و $ D(s) $ متباينين أوليًا (coprime)، لذلك نتحقق فقط من جذور كثير الحدود عند استخدام النظرية 5.3. يُعرَّف كثير الحدود بأنه مستقر CT (CT stable) إذا كانت جميع جذوره ذات أجزاء حقيقية سالبة. إذا كان المقام $ D(s) $ مستقرًا CT، فإن دالة التحويل تكون مستقرة BIBO. يمكن التحقق مما إذا كان $ D(s) $ مستقرًا CT بحساب جميع جذوره باستدعاء دالة MATLAB المسماة roots. ويمكن أيضًا التحقق باستخدام اختبار Routh (Routh test) دون حساب الجذور. انظر المراجع 7 و10.

نتيجة 5.3 (Corollary 5.3) 

النظام SISO ذو دالة التحويل النسبية الصحيحة $ \hat{g}(s) $ مستقر BIBO إذا وفقط إذا كانت استجابته النبضية $ g(t) $ تقترب من الصفر عندما $ t \to \infty $ .

الاستجابة النبضية لدالة تحويل نسبية صحيحة هي تركيب خطي من استجابات جميع الأقطاب. وقد بُيّن في برهان النظرية 5.3 أن الاستجابات تقترب من الصفر عندما $ t \to \infty $ إذا وفقط إذا كان كل قطب في $ \hat{g}(s) $ يقع داخل النصف الأيسر من مستوى $ s $ أو، على نحو مكافئ، إذا كان النظام مستقرًا BIBO. لذلك تستنتج النظرية 5.3 مباشرة النتيجة 5.3.

نناقش بعض الفروقات بين النظريتين 5.1 و5.3. عرّفنا $ \lambda $ بأنه قطب لدالة التحويل النسبية الصحيحة $ \hat{g}(s) $ إذا كان $ \hat{g}(\lambda) = \infty $ أو $ -\infty $ . هل يمكن استخدام التعريف نفسه لدوال التحويل غير النسبية (irrational transfer functions)؟ بالنسبة لـ $ \hat{g}(s) $ في (5.2) مع $ a = 1 $ ، إذا كان $ s = jm(2\pi) $ لكل عدد صحيح $ m $ ، فإن

$$ \hat {g} (j 2 m \pi) = \left. \frac {e ^ {- s}}{1 - e ^ {- s}} \right| _ {s = j 2 m \pi} = \frac {1}{1 - 1} = \infty $$

وبالتالي فإن دالة التحويل غير النسبية في (5.2) مع $ a = 1 $ لها عدد لا نهائي من الأقطاب إذا اعتمدنا التعريف السابق. القطب $ p_i $ في دالة تحويل نسبية يولّد الدالة الزمنية $ e^{p_i t} $ في الاستجابة النبضية. غير أنه ليس واضحًا ما الذي يعنيه القطب في دالة تحويل غير نسبية. تنص النظرية 5.3 على أن دالة التحويل النسبية الصحيحة مستقرّة BIBO إذا وفقط إذا كان كل قطب يقع داخل النصف الأيسر من مستوى $ s $ أو، على نحو مكافئ، إذا وفقط إذا لم يوجد أي قطب داخل النصف الأيمن من مستوى $ s $ أو على محور $ j\omega $ . دالة التحويل غير النسبية في (5.2) مع $ a = 1 $ لها أقطاب على محور $ j\omega $ وليست مستقرة BIBO. في هذا المثال، تنطبق النظرية 5.3. لكن هذا ليس صحيحًا عمومًا. على سبيل المثال، اعتبر نظام LTI ذو استجابة نبضية

$$ g _ {1} (t) = \sin \left(t ^ {2} / 2\right) $$

لـ $ t \geq 0 $ و $ g_{1}(t) = 0 $ عندما $ t < 0 $ . تحويل Laplace لـ $ \hat{g}_{1}(s) $ ليس دالة نسبية في $ s $ ، والنظام موزع (distributed). حساب $ \hat{g}_{1}(s) $ صعب، لكن يُبيَّن في المرجع 17 أن $ \hat{g}_{1}(s) $ يحقق معادلة تفاضلية ما وهو تحليلي (analytic) (لا يحوي نقطة مفردة أو قطبًا) داخل النصف الأيمن من مستوى $ s $ وعلى محور $ j\omega $ . لذلك فإن النظام سيكون مستقرًا BIBO لو كانت النظرية 5.3 قابلة للتطبيق. النظام في الواقع غير مستقر BIBO وفقًا للنظرية 5.1 لأن $ g_{1}(t) $ ليست قابلة للتكامل المطلق.

اعتبر نظام LTI ذو استجابة نبضية

$$ g _ {2} (t) = \frac {1}{t + 1} $$

لـ $ t \geq 0 $ . إنها تقترب من الصفر عندما $ t \to \infty $ . النظام مستقر BIBO وفقًا للنتيجة 5.3 لكنه في الواقع غير مستقر BIBO لأن

$$ \int_ {0} ^ {\infty} | g _ {2} (t) | d t = \int_ {0} ^ {\infty} \frac {1}{t + 1} d t = \ln (t + 1) | _ {0} ^ {\infty} = \infty $$

(النظرية 5.1). لا يوجد تناقض هنا لأن النتيجة 5.3 غير قابلة للتطبيق فعليًا لأن تحويل Laplace لـ $ \frac{1}{(t + 1)} $ ليس دالة نسبية في $ s $ . وخلاصة القول، إن مفهوم الأقطاب لدوال التحويل النسبية (أنظمة LTI المجمّعة) قد لا يمتد إلى دوال التحويل غير النسبية (أنظمة LTI الموزعة). وقد لا تنطبق النظرية 5.3 ولا نتيجتها على هذه الأخيرة. لذا فإن دراسة الأنظمة الموزعة LTI أكثر تعقيدًا بكثير من دراسة الأنظمة المجمعة LTI.

للنتيجة 5.3 دلالة مهمة؛ يمكن استخدامها للتحقق من استقرار BIBO للنظام بقياس واحد. لاحظ أنه ليس ممكنًا توليد نبضة (impulse) كدخل. لنطبق الدخل $ u(t) = 1 $ عندما يكون $ t $ في $ [0, t_0] $ مع $ t_0 > 0 $ اعتباطي، و $ u(t) = 0 $ لكل $ t > t_0 $ . هذا الدخل يثير كل أقطاب دالة تحويل نسبية صحيحة. انظر المسألة 5.7. بعد إزالة الدخل، يتكون الخرج فقط من استجابات الأقطاب. لذا يكون النظام مستقرًا BIBO إذا وفقط إذا كان الخرج يقترب من الصفر عندما $ t \to \infty $ . انظر أيضًا المسألة 5.8. عمومًا، إذا طبقنا دخلًا اعتباطيًا ذا مدة محدودة على نظام LTI مجمّع، فإن النظام مستقر BIBO إذا وفقط إذا تلاشت الاستجابة.

بالنسبة لأنظمة MIMO، لدينا النتائج التالية.

نظرية 5.M1 

النظام MIMO ذو مصفوفة الاستجابة النبضية $ \mathbf{G}(t) = [g_{ij}(t)] $ مستقر BIBO إذا وفقط إذا كانت كل $ g_{ij}(t) $ قابلة للتكامل المطلق على $ [0,\infty) $ .

نظرية 5.M3 

النظام MIMO ذو مصفوفة التحويل النسبية الصحيحة $ \hat{\mathbf{G}}(s) = [\hat{g}_{ij}(s)] $ مستقر BIBO إذا وفقط إذا كان لكل قطب من أقطاب كل $ \hat{g}_{ij}(s) $ جزء حقيقي سالب.

نناقش الآن استقرار BIBO لمعادلات فضاء الحالة (state-space equations). اعتبر

$$ \dot {\mathbf {x}} (t) = \mathbf {A} \mathbf {x} (t) + \mathbf {B} \mathbf {u} (t) \tag {5.5} $$

$$ \mathbf {y} (t) = \mathbf {C x} (t) + \mathbf {D u} (t) $$

ومصفوفة التحويل هي

$$ \hat {\mathbf {G}} (s) = \mathbf {C} (s \mathbf {I} - \mathbf {A}) ^ {- 1} \mathbf {B} + \mathbf {D} $$

وبالتالي فإن المعادلة (5.5) أو، بدقة أكبر، الاستجابة صفر الحالة (zero-state response) للمعادلة (5.5) تكون مستقرة BIBO إذا وفقط إذا كان لكل قطب في $ \hat{\mathbf{G}}(s) $ جزء حقيقي سالب. تذكّر أن كل قطب لكل عنصر في $ \hat{\mathbf{G}}(s) $ يُسمّى قطبًا لـ $ \hat{\mathbf{G}}(s) $ .

نناقش العلاقة بين أقطاب $ \hat{\mathbf{G}}(s) $ والقيم الذاتية (eigenvalues) للمصفوفة $ \mathbf{A} $ . بسبب

$$ \hat {\mathbf {G}} (s) = \frac {1}{\det (s \mathbf {I} - \mathbf {A})} \mathbf {C} [ \operatorname {A d j} (s \mathbf {I} - \mathbf {A}) ] \mathbf {B} + \mathbf {D} \tag {5.6} $$

فإن كل قطب في $ \hat{\mathbf{G}}(s) $ هو قيمة ذاتية (eigenvalue) للمصفوفة $ \mathbf{A} $ . لذا إذا كانت كل القيم الذاتية للمصفوفة $ \mathbf{A} $ ذات أجزاء حقيقية سالبة، فإن كل الأقطاب ذات أجزاء حقيقية سالبة، وتكون (5.5) مستقرة BIBO. من ناحية أخرى، وبسبب الإلغاء الممكن في (5.6)، ليست كل قيمة ذاتية قطبًا. لذا حتى إذا كان لـ $ \mathbf{A} $ بعض القيم الذاتية ذات أجزاء حقيقية صفرية أو موجبة، فقد تبقى (5.5) مستقرة BIBO، كما يوضح المثال التالي.

مثال 5.2.2 اعتبر معادلة فضاء الحالة

$$ \dot {\mathbf {x}} (t) = \left[ \begin{array}{c c} - 2 & 5 \\ 0 & 3 \end{array} \right] \mathbf {x} (t) + \left[ \begin{array}{c} 4 \\ 0 \end{array} \right] u (t) $$

$$ y (t) = [ 7 \quad 8 ] \mathbf {x} (t) + 1. 5 u (t) $$

المصفوفة $ \mathbf{A} $ مثلثية علوية وقيمها الذاتية هي ببساطة عناصرها القطرية أي -2 و3. نحسب

$$ [ s \mathbf {I} - \mathbf {A} ] ^ {- 1} = \left[ \begin{array}{c c} s + 2 & - 5 \\ 0 & s - 3 \end{array} \right] ^ {- 1} = \left[ \begin{array}{c c} \frac {1}{s + 2} & \frac {5}{(s + 2) (s - 3)} \\ 0 & \frac {1}{s - 3} \end{array} \right] $$

وعليه فإن دالة التحويل لمعادلة فضاء الحالة هي

$$ \begin{array}{l} \hat {g} (s) = \mathbf {c} [ s \mathbf {I} - \mathbf {A} ] ^ {- 1} \mathbf {b} + d = \left[ \begin{array}{l l} 7 & 8 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{l l} \frac {1}{s + 2} & \frac {5}{(s + 2) (s - 3)} \\ 0 & \frac {1}{s - 3} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{l} 4 \\ 0 \end{array} \right] + 1. 5 \\ = [ 7 \quad 8 ] \left[ \begin{array}{c} \frac {4}{s + 2} \\ 0 \end{array} \right] + 1. 5 = \frac {2 8}{s + 2} + 1. 5 = \frac {1 . 5 s + 3 1}{s + 2} \\ \end{array} $$

وله قطب واحد فقط عند $ -2 $ ؛ لذلك تكون معادلة فضاء الحالة مستقرة BIBO على الرغم من أن $ \mathbf{A} $ لها قيمة ذاتية 3 تقع داخل النصف الأيمن من مستوى $ s $ . نرى أن ليست كل قيمة ذاتية لـ $ \mathbf{A} $ تظهر كقطب في دالة التحويل. سيُذكر السبب في الفصل التالي.