5.3 حالة الزمن المتقطع (Discrete-Time Case) 

اعتبر نظامًا متقطع الزمن أحادي الدخل أحادي الخرج (SISO) موصوفًا بـ

$$ y [ k ] = \sum_ {m = 0} ^ {k} g [ k - m ] u [ m ] = \sum_ {m = 0} ^ {k} g [ m ] u [ k - m ] \tag {5.7} $$

حيث إن $ g[k] $ هو متتالية الاستجابة النبضية (impulse response sequence) أو متتالية الخرج المثارة بمتتالية نبضية (impulse sequence) مطبّقة عند $ k = 0 $ . تذكّر أنه لكي يكون النظام المتقطع قابلًا للوصف بـ (5.7)، يجب أن يكون خطيًا (linear)، وثابت الزمن (time-invariant)، وسببيًا (causal). إضافة إلى ذلك، يجب أن يكون النظام في حالة استرخاء ابتدائية (initially relaxed) عند $ k = 0 $ .

يُقال إن متتالية الدخل $ u[k] $ محدودة (bounded) إذا كانت $ u[k] $ لا تنمو إلى اللانهاية الموجبة أو السالبة أو إذا وجد ثابت $ u_m $ بحيث

$$ | u [ k ] | \leq u _ {m} < \infty \quad \text{for} k = 0, 1, 2, \dots $$

يُقال إن النظام مستقر بدخل محدود وخرج محدود (BIBO stable, bounded-input bounded-output) إذا كانت كل متتالية دخل محدودة تثير متتالية خرج محدودة. هذا الاستقرار (stability) مُعرَّف لاستجابة صفر الحالة (zero-state response) وينطبق فقط إذا كان النظام في حالة استرخاء ابتدائية (initially relaxed).

نظرية 5.D1 

النظام SISO المتقطع الموصوف بـ (5.7) مستقر BIBO إذا وفقط إذا كانت $ g[k] $ قابلة للجمع المطلق (absolutely summable) على $ [0, \infty) $ أو

$$ \sum_ {k = 0} ^ {\infty} | g [ k ] | \leq M < \infty $$

لبعض الثابت $ M $ .

برهان: أولًا نبيّن أنه إذا كانت $ g[k] $ قابلة للجمع المطلق (absolutely summable)، فإن كل دخل محدود يثير خرجًا محدودًا. لتكن $ u[k] $ متتالية دخل اعتباطية بحيث $ |u[k]| \leq u_m < \infty $ لكل $ k \geq 0 $ . عندئذ لدينا

$$ | y [ k ] | = \left| \sum_ {m = 0} ^ {k} g [ m ] u [ k - m ] \right| \leq \sum_ {0} ^ {k} | g [ m ] | | u [ k - m ] | $$

تنجم المتباينة عن أن $ g[m]u[k - m] $ قد تكون موجبة أو سالبة وقد يحدث إلغاء (cancelation) في مجموعها، بينما $ |g[m]||u[k - m]| $ كلها موجبة ولا يحدث فيها إلغاء. بالتعويض بـ $ |u[k]| \leq u_m $ لكل $ k \geq 0 $ نحصل على

$$ | y [ k ] | \leq u _ {m} \sum_ {0} ^ {k} | g [ m ] | \leq u _ {m} \sum_ {0} ^ {\infty} | g [ m ] | \leq u _ {m} M $$

وبذلك يكون الخرج محدودًا. بعد ذلك نبيّن أنه إذا كانت $ g[k] $ غير قابلة للجمع المطلق، فإن النظام ليس مستقرًا BIBO. إذا لم تكن $ g[k] $ قابلة للجمع المطلق، فلكل $ N $ كبير كيفما كان، يوجد $ k_{1} $ بحيث

$$ \sum_ {m = 0} ^ {k _ {1}} | g [ m ] | > N $$

اعتبر متتالية الدخل $ u[k] $ ، عندما يكون $ k $ في $ [0, k_1] $ ، معرّفة بـ

$$ u [ k _ {1} - k ] = \left\{ \begin{array}{c c} 1 & \text{if} g [ k ] \geq 0 \\ - 1 & \text{if} g [ k ] < 0 \end{array} \right. $$

وهي محدودة. الخرج عند $ k_{1} $ المثار بهذه المتتالية يساوي

$$ y [ k _ {1} ] = \sum_ {m = 0} ^ {k _ {1}} g [ m ] u [ k _ {1} - m ] = \sum_ {0} ^ {k _ {1}} | g [ m ] | > N $$

ولأن $ y[k_1] $ يمكن أن يكون كبيرًا اعتباطيًا، نستنتج أن دخلًا محدودًا يثير خرجًا غير محدود. وبذلك يكتمل برهان النظرية 5.D1. Q.E.D.

نرى أن برهان النظرية 5.D1 مشابه لبرهان النظرية 5.1. ومع ذلك، توجد فروق مهمة بين حالتي الزمن المستمر (CT) والزمن المتقطع (DT). قد تكون دالة زمن مستمر $ g(t) $ قابلة للتكامل المطلق ولكنها غير محدودة ولا تقترب من الصفر عندما $ t \to \infty $ كما في الشكل 5.1. أما كل متتالية زمن متقطع $ g[k] $ تكون قابلة للجمع المطلق، فهي محدودة وتقترب من الصفر عندما $ k \to \infty $ . انظر المرجع 10، القسم 3.5.

نظرية 5.D2 

إذا كان نظام متقطع ذو متتالية استجابة نبضية $ g[k] $ مستقرًا BIBO، فعندما $ k \to \infty $ ،

الخرج المثار بواسطة $ u[k] = a $ لكل $ k \geq 0 $ يقترب من $ \hat{g}(1) \cdot a $ ،
الخرج المثار بواسطة $ u[k] = \cos \omega_0 k $ لكل $ k \geq 0 $ يقترب من

$$ | \hat {g} (e ^ {j \omega_ {0}}) | \cos (\omega_ {0} k + \star \hat {g} (e ^ {j \omega_ {0}})) $$

الخرج المثار بواسطة $ u[k] = \sin \omega_0 k $ لكل $ k \geq 0 $ يقترب من

$$ | \hat {g} (e ^ {j \omega_ {0}}) | \sin (\omega_ {0} k + \times \hat {g} (e ^ {j \omega_ {0}})) $$

حيث إن $ \hat{g} (z) $ هو تحويل $ z $ (z-transform) لـ $ g[k] $ أو

$$ \hat {g} (z) = \mathcal {Z} [ g [ k ] ] = \sum_ {k = 0} ^ {\infty} g [ k ] z ^ {- k} = \sum_ {m = 0} ^ {\infty} g [ m ] z ^ {- m} \tag {5.8} $$

برهان: إذا كان $ u[k] = a $ لكل $ k \geq 0 $ ، فإن (5.7) تصبح

$$ y [ k ] = \sum_ {m = 0} ^ {k} g [ m ] u [ k - m ] = a \sum_ {m = 0} ^ {k} g [ m ] $$

مما يستلزم، عندما $ k\to \infty $

$$ y [ k ] \rightarrow a \sum_ {m = 0} ^ {\infty} g [ m ] = a \hat {g} (1) $$

حيث استخدمنا (5.8) مع $ z = 1 $ . وهذا يثبت الجزء الأول من النظرية 5.D2. وعلى الرغم من أنه يمكن إثبات الجزأين الثاني والثالث مباشرة، فإن الأسهل هو اشتقاقهما باستخدام متتالية الأسّ المركبة (complex exponential sequence) $ u[k] = e^{j\omega_0k} $ ، لكل $ k \geq 0 $ . بالتعويض في (5.7) نحصل على

$$ \begin{array}{l} y [ k ] = \sum_ {m = 0} ^ {k} g [ m ] u [ k - m ] = \sum_ {m = 0} ^ {k} g (m) e ^ {j \omega_ {0} (k - m)} \\ = e ^ {j \omega_ {0} k} \sum_ {m = 0} ^ {k} g [ m ] e ^ {- j \omega_ {0} m} \\ \end{array} $$

مما يستلزم، عندما $ k\to \infty $

$$ y [ k ] \rightarrow e ^ {j \omega_ {0} k} \sum_ {m = 0} ^ {\infty} g [ m ] e ^ {- j \omega_ {0} m} = e ^ {j \omega_ {(0)} k} \hat {g} (e ^ {j \omega_ {(0)}}) $$

حيث استخدمنا (5.8) مع $ z = e^{j\omega_0} $ . لاحظ أنه على الرغم من أن $ g[k] $ ذات قيم حقيقية (real-valued)، فإن $ \hat{g}(e^{j\omega_0}) $ ذات قيم مركبة (complex-valued) عمومًا ويمكن التعبير عنها على أنها $ \hat{g}(e^{j\omega_0}) = A(\omega_0)e^{j\theta(\omega_0)} $ ، حيث $ A(\omega_0) := |\hat{g}(e^{j\omega_0})| $ و $ \theta(\omega_0) := \neq \hat{g}(e^{j\omega_0}) $ . لذا إذا كان $ e^{j\omega_0k} = \cos(\omega_0k) + j\sin(\omega_0k) $ لكل $ k \geq 0 $ ، فإن الخرج يقترب، عندما $ k \to \infty $ ، من

$$ \begin{array}{l} y [ k ] \rightarrow \hat {g} (e ^ {j \omega_ {0}}) e ^ {j \omega_ {0} t} = A (\omega_ {0}) e ^ {j \theta (\omega_ {0})} e ^ {j \omega_ {0} k} = A (\omega_ {0}) e ^ {j (\omega_ {0} k + \theta (\omega_ {0}))} \\ = A \left(\omega_ {0}\right) \cos \left(\omega_ {0} k + \theta \left(\omega_ {0}\right)\right) + j A \left(\omega_ {0}\right) \sin \left(\omega_ {0} k + \theta \left(\omega_ {0}\right)\right) \\ \end{array} $$

الجزء الحقيقي من $ e^{j\omega_0k} $ يثير الجزء الحقيقي من $ y[k] $ وهو الجزء الثاني من النظرية. ويتبع الجزء الثالث من الأجزاء التخيلية. Q.E.D.

في هذه النظرية، شرط الاستقرار (stability condition) أساسي. على سبيل المثال، إذا كانت $ g[k] = 4 \cdot 2^k $ ، عندما $ k \geq 0 $ ، فإن $ g[k] $ ليست قابلة للجمع المطلق. لذا فالنظام ليس مستقرًا BIBO ولا تنطبق النظرية 5.D2. لاحظ أن تحويل $ z $ (z-transform) لـ $ g[k] = 4 \cdot 2^k $ مُعرَّف جيدًا ويساوي $ \hat{g}(z) = 4z / (z - 2) $ . إذا طبقنا $ u[k] = 1 $ ، فإن خرجه سينمو بلا حدود بدلًا من أن يقترب من $ \hat{g}(1) = 4 / (-1) = -4 $ . إذا طبقنا $ \sin 2k $ ، فإن خرجه سينمو بلا حدود أيضًا بدلًا من أن يقترب من $ 4|\hat{g}(e^{j2})| \sin (2k + \neq \hat{g}(e^{j2})) $ حيث

$$ \hat {g} \left(e ^ {j 2}\right) = \frac {4 e ^ {j 2}}{e ^ {j 2} - 2} = 1. 5 5 e ^ {- 0. 7 8 j} $$

مع $ |\hat{g}(e^{j2})| = 1.55 $ و $ \neq \hat{g}(e^{j2}) = -0.78 $ . من جهة أخرى، إذا كان نظام LTI متقطع الزمن مستقرًا BIBO، وإذا طبقنا دخل خطوة بسعة $ a $ ، فإن الخرج سيقترب من متتالية خطوة بسعة $ a\hat{g}(1) $ . وإذا طبقنا دخلًا جيبيًا، فإن الخرج سيقترب من متتالية جيبية بالتردد نفسه مع تعديل السعة والطور بواسطة $ \hat{g}(e^{j\omega}) $ .

اعتبر نظامًا ذا دالة تحويل $ \hat{g}(z) $ . نُسمي $ \hat{g}(e^{j\omega}) $ الاستجابة الترددية (frequency response) للنظام، ونُسمي مقدارها $ |\hat{g}(e^{j\omega})| $ استجابة المقدار (magnitude response)، ونُسمي طورها $ \times \hat{g}(e^{j\omega}) $ استجابة الطور (phase response). إذا لم يكن النظام مستقرًا BIBO، فإن استجابته الترددية لا معنى فيزيائي لها. إذا كان النظام مستقرًا BIBO، فإن متتالية دخل جيبي بتردد $ \omega_0 $ ستثير في النهاية متتالية جيبية بالتردد نفسه مع تعديل السعة والطور بواسطة الاستجابة الترددية عند $ \omega_0 $ . يعتمد تصميم المرشحات الرقمية (digital filter design) أساسًا على النظرية 5.D2: لإيجاد نظام BIBO متقطع زمن له استجابة ترددية مرغوبة أو محددة.

تنطبق النظرية 5.D1 على الأنظمة LTI المجمّعة أو الموزعة. إذا كان نظام LTI مجمّعًا أيضًا، فيمكن وصفه بدالة تحويل نسبية (rational transfer function). نذكر الآن شرط استقرار BIBO بدلالة دوال التحويل النسبية الصحيحة (proper rational transfer functions). نقسم أولًا مستوى $ z $ المركب إلى ثلاثة أجزاء: داخل الدائرة الواحدة (unit circle)، والدائرة الواحدة نفسها، وخارج الدائرة الواحدة.

نظرية 5.D3 

النظام SISO المتقطع ذو دالة التحويل النسبية الصحيحة $ \hat{g}(z) $ مستقر BIBO إذا وفقط إذا كان لكل قطب في $ \hat{g}(z) $ مقدار أقل من 1 أو، على نحو مكافئ، يقع داخل الدائرة الواحدة في مستوى $ z $ .

في برهان النظرية 5.3، أظهرنا أن استجابة القطب، حقيقيًا كان أو مركبًا، بسيطًا أو مكررًا، في دالة تحويل نسبية صحيحة مستمرة تقترب من الصفر عندما $ t \to \infty $ وتكون قابلة للتكامل المطلق إذا وفقط إذا كان القطب يقع داخل النصف الأيسر من مستوى $ s $ أو له جزء حقيقي سالب. لإثبات النظرية 5.D3، سنُظهر أن استجابة القطب، حقيقيًا كان أو مركبًا، بسيطًا أو مكررًا، في دالة تحويل نسبية صحيحة متقطعة تقترب من الصفر عندما $ k \to \infty $ وتكون قابلة للجمع المطلق إذا وفقط إذا كان القطب يقع داخل الدائرة الواحدة في مستوى $ z $ أو كان مقداره أقل من 1. البرهان مشابه لحالة الزمن المستمر ولكنه أبسط بكثير.

ليكن $ p_i $ قطبًا لـ $ \hat{g}(z) $ مكتوبًا بالصيغة القطبية $ p_i = \alpha_i e^{j\theta_i} $ ، حيث $ \alpha_i \geq 0 $ و $ \theta_i $ عددان حقيقيان. إذا كان $ \hat{g}(z) $ له قطب $ p_i $ بتعددية $ m_i $ ، فإن تحويل $ z $ العكسي لـ $ \hat{g}(z) $ أو متتالية الاستجابة النبضية يحتوي العوامل

$$ p _ {i} ^ {k} = \alpha_ {i} ^ {k} e ^ {j k \theta_ {i}}, \quad k p _ {i} ^ {k} = k \alpha_ {i} ^ {k} e ^ {j k \theta_ {i}}, \quad \dots , k ^ {m _ {i} - 1} p _ {i} ^ {k} = k ^ {m _ {i} - 1} \alpha_ {i} ^ {k} e ^ {j k \theta_ {i}} \tag {5.9} $$

لكل الأعداد الصحيحة $ k \geq 0 $ . وبما أن $ |e^{jk\theta_i}| = 1 $ لكل $ k $ و $ \theta_{i} $ ، فإننا نحصل على

$$ | k ^ {m} \alpha_ {i} ^ {k} e ^ {j k \theta_ {i}} | = k ^ {m} \alpha_ {i} ^ {k} $$

لكل الأعداد الصحيحة الموجبة $ k $ و $ m $ وأي $ \alpha_{i} \geq 0 $ . لذلك فإن قابلية الجمع المطلق لكل حد في (5.9) تتحكم فيها فقط قيمة مقدار القطب (بغض النظر عن الطور). وهذا على عكس حالة الزمن المستمر حيث تتحكم قابلية التكامل المطلق فقط بالجزء الحقيقي للقطب (بغض النظر عن الجزء التخيلي). شرط لازم لكي تكون المتتالية قابلة للجمع المطلق هو أن تقترب المتتالية من الصفر عندما $ k \to \infty $ . إذا كان $ \alpha_{i} \geq 1 $ ، فإن كل حد في (5.9) لا يقترب من الصفر عندما $ k \to \infty $ وليس قابلًا للجمع المطلق. إذا كان $ 0 \leq \alpha_{i} < 1 $ ، وباستخدام $ |e^{jk\theta_{i}}| = 1 $ ، و $ |e^{j(k + 1)\theta_{i}}| = 1 $ ، واختبار النسبة (ratio test) التالي

$$ \lim _ {k \rightarrow \infty} \frac {\left| (k + 1) ^ {m} \alpha_ {i} ^ {k + 1} e ^ {j (k + 1) \theta_ {i}} \right|}{\left| k ^ {m} \alpha_ {i} ^ {k} e ^ {j k \theta_ {i}} \right|} = \lim _ {k \rightarrow \infty} \left(\frac {k + 1}{k}\right) ^ {m} \alpha_ {i} = \alpha_ {i} < 1 $$

لكل $ m $ عدد صحيح موجب، نستنتج أن كل حد في (5.9) قابل للجمع المطلق وبالتالي يقترب من الصفر عندما $ k \to \infty $ . لاحظ أن $ \alpha_{i}^{k} $ متتالية تتناقص أُسّيًا عندما $ \alpha_{i} < 1 $ ، لأن هناك عددًا حقيقيًا سالبًا $ \lambda $ بحيث $ \alpha_{i}^{k} = e^{\lambda k} $ لكل $ k \geq 0 $ . على سبيل المثال، لدينا $ \alpha_{i}^{k} = 0.9^{k} = e^{\lambda k} = e^{-0.1054k} $ . ينص اختبار النسبة على أن كل متتالية في (5.9) تُهيمن عليها متتالية تتناقص أُسّيًا عندما $ k \to \infty $ . لذلك فإن كل متتالية في (5.9) قابلة للجمع المطلق عندما $ \alpha_{i} < 1 $ . بقية البرهان مشابه لبقية برهان النظرية 5.3 ويُحذف.

قبل المتابعة، نناقش استخدام النظرية 5.D3. يُعرَّف كثير الحدود بأنه مستقر DT (DT stable) إذا كانت كل جذوره ذات مقادير أقل من 1. إذا كان مقام $ D(z) $ لدالة تحويل نسبية صحيحة مستقرًا DT، فإن دالة التحويل المتقطعة تكون مستقرة BIBO. يمكن التحقق مما إذا كان $ D(z) $ مستقرًا DT بحساب جميع جذوره باستخدام دالة MATLAB المسماة roots. ويمكن أيضًا التحقق باستخدام اختبار Jury (Jury test) دون حساب الجذور. انظر المرجع 10.

نتيجة 5.D3 (Corollary 5.D3) 

النظام SISO المتقطع ذو دالة التحويل النسبية الصحيحة $ \hat{g}(z) $ مستقر BIBO إذا وفقط إذا كانت استجابته النبضية تقترب من الصفر عندما $ k \to \infty $ .

على خلاف حالة الزمن المستمر، يمكن توليد الاستجابة النبضية لنظام متقطع بسهولة. إذا كان نظام DT معروفًا بأنه LTI ومجمّع، فإن استقراره BIBO يمكن التحقق منه بسهولة بالقياس أو الاختبار. نطبق متتالية نبضية كدخل، ثم يكون النظام مستقرًا إذا وفقط إذا تلاشت الاستجابة. لاحظ أن هذا قد لا يكون صحيحًا إذا كان النظام موزعًا كما يوضح المثال التالي.

مثال 5.3.1 اعتبر نظامًا LTI متقطعًا ذو متتالية استجابة نبضية $ g[k] = 1 / k $ ، لـ $ k = 1,2,\ldots $ ، و $ g[0] = 0 $ . الاستجابة النبضية تقترب من الصفر عندما $ k\to \infty $ . قبل أن نستخدم النتيجة 5.D3، يجب أن نحسب دالة تحويله. حُسبت دالة تحويله في (2.54) على أنها

$$ \hat {g} (z) = - \ln (1 - z ^ {- 1}) $$

وهي ليست دالة نسبية في $ z $ . لذلك فإن النتيجة 5.D3 غير قابلة للتطبيق.

تنطبق النظرية 5.D1 على الأنظمة LTI المجمّعة أو الموزعة. نتحقق مما إذا كانت $ g[k] $ قابلة للجمع المطلق. نحسب

$$ \begin{array}{l} S := \sum_ {k = 0} ^ {\infty} | g [ k ] | = \sum_ {k = 1} ^ {\infty} \frac {1}{k} = 1 + \frac {1}{2} + \frac {1}{3} + \frac {1}{4} + \dots \\ = 1 + \frac {1}{2} + \left(\frac {1}{3} + \frac {1}{4}\right) + \left(\frac {1}{5} + \dots + \frac {1}{8}\right) + \left(\frac {1}{9} + \dots + \frac {1}{1 6}\right) + \dots \\ \end{array} $$

مجموع الحدود داخل كل قوسين يساوي 1/2 أو أكبر. لذلك نحصل على

$$ S > 1 + \frac {1}{2} + \frac {1}{2} + \frac {1}{2} + \dots = \infty $$

وبعبارة أخرى، متتالية الاستجابة النبضية ليست قابلة للجمع المطلق. وبالتالي فإن النظام المتقطع ليس مستقرًا BIBO وفقًا للنظرية 5.D1.

بالنسبة لأنظمة MIMO المتقطعة، لدينا النتائج التالية.

نظرية 5.MD1 

النظام MIMO المتقطع ذو مصفوفة متتالية الاستجابة النبضية $ \mathbf{G}[k] = [g_{ij}[k]] $ مستقر BIBO إذا وفقط إذا كانت كل $ g_{ij}[k] $ قابلة للجمع المطلق.

نظرية 5.MD3 

النظام MIMO المتقطع ذو مصفوفة التحويل النسبية الصحيحة المتقطعة $ \hat{\mathbf{G}}(z) = [\hat{g}_{ij}(z)] $ مستقر BIBO إذا وفقط إذا كان لكل قطب من أقطاب كل $ \hat{g}_{ij}(z) $ مقدار أقل من 1.

نناقش الآن استقرار BIBO لمعادلات فضاء الحالة المتقطعة. اعتبر

$$ \begin{array}{l} \mathbf {x} [ k + 1 ] = \mathbf {A x} [ k ] + \mathbf {B u} [ k ] \tag {5.10} \\ \mathbf {y} [ k ] = \mathbf {C x} [ k ] + \mathbf {D u} [ k ] \\ \end{array} $$

ومصفوفة التحويل المتقطعة هي

$$ \hat {\mathbf {G}} (z) = \mathbf {C} (z \mathbf {I} - \mathbf {A}) ^ {- 1} \mathbf {B} + \mathbf {D} $$

وبالتالي فإن المعادلة (5.10) أو، بدقة أكبر، الاستجابة صفر الحالة (zero-state response) للمعادلة (5.10) تكون مستقرة BIBO إذا وفقط إذا كان لكل قطب في $ \hat{\mathbf{G}}(z) $ مقدار أقل من 1.

نناقش العلاقة بين أقطاب $ \hat{\mathbf{G}}(z) $ والقيم الذاتية (eigenvalues) للمصفوفة $ \mathbf{A} $ . بسبب

$$ \hat {\mathbf {G}} (z) = \frac {1}{\det (z \mathbf {I} - \mathbf {A})} \mathbf {C} [ \operatorname {A d j} (z \mathbf {I} - \mathbf {A}) ] \mathbf {B} + \mathbf {D} $$

فإن كل قطب في $ \hat{\mathbf{G}}(z) $ هو قيمة ذاتية (eigenvalue) للمصفوفة $ \mathbf{A} $ . لذا إذا كانت كل القيم الذاتية للمصفوفة $ \mathbf{A} $ ذات مقادير أقل من 1، فإن (5.10) تكون مستقرة BIBO. ومن ناحية أخرى، حتى إذا كان لـ $ \mathbf{A} $ بعض القيم الذاتية ذات مقدار 1 أو أكبر، فقد تبقى (5.10) مستقرة BIBO، كما في حالة الزمن المستمر.