5.4.1 حالة الزمن المتقطع (Discrete-Time Case) 

    تدرس هذه الفقرة الفرعية الاستقرار الداخلي للأنظمة المتقطعة أو استقرار

    $$ \mathbf {x} [ k + 1 ] = \mathbf {A x} [ k ] \tag {5.13} $$

    المثارة بحالة ابتدائية غير صفرية $ \mathbf{x}_o $ . وحل (5.13) هو، كما اشتُق في الفقرة الفرعية 4.2.2،

    $$ \mathbf {x} [ k ] = \mathbf {A} ^ {k} \mathbf {x} _ {0} \tag {5.14} $$

    تُسمى المعادلة (5.13) مستقرة حدّيًا (marginally stable) أو مستقرة بمعنى Lyapunov (stable in the sense of Lyapunov) إذا كانت كل حالة ابتدائية منتهية $ \mathbf{x}_0 $ تثير استجابة محدودة. وتُسمى مستقرة تقاربيًا (asymptotically stable) إذا كانت كل حالة ابتدائية منتهية تثير استجابة محدودة والتي، بالإضافة إلى ذلك، تقترب من 0 عندما $ k\to \infty $ . هذه التعريفات مطابقة لحالة الزمن المستمر.

    نظرية 5.D4 

    1. المعادلة $ \mathbf{x}[k + 1] = \mathbf{A}\mathbf{x}[k] $ مستقرة حدّيًا إذا وفقط إذا كانت جميع القيم الذاتية (eigenvalues) للمصفوفة $ \mathbf{A} $ ذات مقادير أقل من أو تساوي 1، وكانت تلك التي تساوي 1 جذورًا بسيطة للمتعدد الأدنى (minimal polynomial) للمصفوفة $ \mathbf{A} $ .

    2. المعادلة $ \mathbf{x}[k + 1] = \mathbf{A}\mathbf{x}[k] $ مستقرة تقاربيًا إذا وفقط إذا كانت جميع القيم الذاتية للمصفوفة $ \mathbf{A} $ ذات مقادير أقل من 1.

    كما في حالة الزمن المستمر، فإن أي تحويل تكافؤ (algebraic equivalent transformation) لن يغيّر استقرار معادلة فضاء الحالة. لذا يمكننا استخدام صيغة Jordan (Jordan form) لإثبات النظرية. البرهان مشابه لحالة الزمن المستمر ولن يُعاد. الاستقرار التقاربي يستلزم استقرار BIBO ولكن ليس العكس. ونذكر أن الاستقرار الحدّي مفيد فقط في تصميم المذبذبات (oscillators). وباستثناء المذبذبات، يُصمَّم كل نظام فيزيائي ليكون مستقراً تقاربيًا أو مستقراً BIBO.