5.4 الاستقرار الداخلي (Internal Stability) 

    استقرار BIBO مُعرَّف لاستجابات صفر الحالة (zero-state responses). نناقش الآن استقرار استجابات صفر الدخل (zero-input responses). إذا كان $ u(t) $ يساوي الصفر تمامًا لكل $ t \geq 0 $ ، فإن معادلة فضاء الحالة تختزل إلى $ \dot{\mathbf{x}}(t) = \mathbf{A}\mathbf{x}(t) $ ، و $ y(t) = \mathbf{c}\mathbf{x}(t) $ . وبما أن الخرج تركيب خطي لجميع متغيرات الحالة، فإذا كانت لهذه المتغيرات خاصية ما، فإن الخرج يمتلك الخاصية نفسها. غير أن العكس غير صحيح لأنه يتضمن مسألة القابلية للملاحظة (observability) التي ستُناقش في الفصل التالي. لتبسيط المناقشة، ندرس هنا فقط استقرار

    $$ \dot {\mathbf {x}} (t) = \mathbf {A} \mathbf {x} (t) \tag {5.11} $$

    المثارة بحالة ابتدائية غير صفرية $ \mathbf{x}_o $ . ومن الواضح أن حل (5.11) هو

    $$ \mathbf {x} (t) = e ^ {\mathbf {A} t} \mathbf {x} _ {0} \tag {5.12} $$

    تعريف 5.1 استجابة $ \dot{\mathbf{x}}(t) = \mathbf{A}\mathbf{x}(t) $ تُسمى مستقرة حدّيًا (marginally stable) أو مستقرة بمعنى Lyapunov (stable in the sense of Lyapunov) إذا كانت كل حالة ابتدائية منتهية $ \mathbf{x}_0 $ تثير استجابة محدودة. وتُسمى مستقرة تقاربيًا (asymptotically stable) إذا كانت كل حالة ابتدائية منتهية تثير استجابة محدودة والتي، بالإضافة إلى ذلك، تقترب من $ \mathbf{0} $ عندما $ t \to \infty $ .

    نذكر أن هذا التعريف ينطبق فقط على الأنظمة الخطية (linear systems). أما التعريف المنطبق على الأنظمة الخطية وغير الخطية فيجب أن يُعرَّف باستخدام مفهوم حالات التكافؤ (equivalence states) ويمكن إيجاده، على سبيل المثال، في المرجع 6، الصفحات 401-403. يدرس هذا النص الأنظمة الخطية فقط؛ لذلك نستخدم التعريف المبسط 5.1.

    نظرية 5.4 

    1. المعادلة $ \dot{\mathbf{x}}(t) = \mathbf{A}\mathbf{x}(t) $ مستقرة حدّيًا إذا وفقط إذا كانت جميع القيم الذاتية (eigenvalues) للمصفوفة $ \mathbf{A} $ ذات أجزاء حقيقية سالبة أو صفرية وكانت تلك ذات الأجزاء الحقيقية الصفرية جذورًا بسيطة للمتعدد الأدنى (minimal polynomial) للمصفوفة $ \mathbf{A} $ .
    2. المعادلة $ \dot{\mathbf{x}}(t) = \mathbf{A}\mathbf{x}(t) $ مستقرة تقاربيًا إذا وفقط إذا كانت جميع القيم الذاتية للمصفوفة $ \mathbf{A} $ ذات أجزاء حقيقية سالبة.

    نبرهن أولًا أن أي تحويل تكافؤ (equivalence transformation) لن يغيّر استقرار معادلة فضاء الحالة. اعتبر $ \bar{\mathbf{x}}(t) = \mathbf{P}\mathbf{x}(t) $ ، حيث $ \mathbf{P} $ مصفوفة غير منفردة. عندئذ تكون $ \dot{\mathbf{x}}(t) = \mathbf{A}\mathbf{x}(t) $ مكافئة لـ $ \dot{\bar{\mathbf{x}}}(t) = \bar{\mathbf{A}}\bar{\mathbf{x}}(t) = \mathbf{P}\mathbf{A}\mathbf{P}^{-1}\bar{\mathbf{x}}(t) $ . وبما أن كل عنصر في $ \bar{\mathbf{x}} $ هو تركيب خطي لجميع عناصر $ \mathbf{x} $ كما يفهم من $ \bar{\mathbf{x}}(t) = \mathbf{P}\mathbf{x}(t) $ ، فإذا كانت $ \mathbf{x}(t) $ محدودة، فـ $ \bar{\mathbf{x}}(t) $ محدودة أيضًا. وإذا كانت $ \mathbf{x}(t) $ تقترب من الصفر، فـ $ \bar{\mathbf{x}}(t) $ تقترب من الصفر كذلك. وباستخدام $ \mathbf{x}(t) = \mathbf{P}^{-1}\bar{\mathbf{x}}(t) $ ، يمكننا إثبات العكس. وبالتالي فإن استقرار $ \dot{\mathbf{x}}(t) = \mathbf{A}\mathbf{x}(t) $ ثابت تحت أي تحويل تكافؤ. لاحظ أن $ \mathbf{A} $ و $ \bar{\mathbf{A}} $ لهما، كما بُيّن في القسم 4.4، المجموعة نفسها من القيم الذاتية.

    استجابة $ \dot{\bar{\mathbf{x}}} = \bar{\mathbf{A}}\bar{\mathbf{x}} $ المثارة بـ $ \bar{\mathbf{x}}(0) $ تساوي $ \bar{\mathbf{x}}(t) = e^{\bar{\mathbf{A}}t}\bar{\mathbf{x}}(0) $ . ومن الواضح أن الاستجابة محدودة إذا وفقط إذا كان كل عنصر في $ e^{\bar{\mathbf{A}}t} $ محدودًا لكل $ t \geq 0 $ . إذا كانت $ \bar{\mathbf{A}} $ في صيغة Jordan (Jordan form)، فإن $ e^{\bar{\mathbf{A}}t} $ تكون بالشكل المبين في (3.48). باستخدام (3.48)، يمكن إظهار أنه إذا كان لأحد القيم الذاتية جزء حقيقي سالب، فإن كل عنصر في (3.48) محدود ويقترب من الصفر عندما $ t \to \infty $ . وإذا كان لأحد القيم الذاتية جزء حقيقي صفري ولا يملك كتلة Jordan (Jordan block) من الرتبة 2 أو أعلى، فإن العنصر المناظر في (3.48) يكون ثابتًا أو جيبيًا لكل $ t $ وبالتالي يكون محدودًا. وهذا يثبت كفاية الجزء الأول من النظرية 5.4. إذا كانت $ \bar{\mathbf{A}} $ تملك قيمة ذاتية ذات جزء حقيقي موجب، فإن كل عنصر في (3.48) سينمو بلا حدود. وإذا كانت $ \bar{\mathbf{A}} $ تملك قيمة ذاتية ذات جزء حقيقي صفري وكتلة Jordan لها رتبة 2 أو أعلى، فإن (3.48) يحوي على الأقل عنصرًا واحدًا ينمو بلا حدود. وهذا يُكمل برهان الجزء الأول. ولكي تكون الاستجابة مستقرة تقاربيًا، يجب أن يقترب كل عنصر في (3.48) من الصفر عندما $ t \to \infty $ . لذلك لا يُسمح بأي قيمة ذاتية ذات جزء حقيقي صفري. وهذا يثبت الجزء الثاني من النظرية.

    مثال 5.4.1 اعتبر

    $$ \dot {\mathbf {x}} (t) = \left[ \begin{array}{c c c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 \end{array} \right] \mathbf {x} (t) $$

    متعددها المميِّز (characteristic polynomial) هو $ \Delta(\lambda) = \lambda^2 (\lambda + 1) $ ومتعددها الأدنى (minimal polynomial) هو $ \psi(\lambda) = \lambda (\lambda + 1) $ . للمصفوفة قيم ذاتية 0، 0 و-1. القيمة الذاتية 0 جذر بسيط للمتعدد الأدنى. لذا فالمعادلة مستقرة حدّيًا. أما المعادلة

    $$ \dot {\mathbf {x}} (t) = \left[ \begin{array}{l l l} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 \end{array} \right] \mathbf {x} (t) $$

    فهي ليست مستقرة حدّيًا لأن متعددها الأدنى هو $ \lambda^2 (\lambda +1) $ و $ \lambda = 0 $ ليس جذرًا بسيطًا للمتعدد الأدنى.

    كما نوقش سابقًا، فإن كل قطب في مصفوفة التحويل

    $$ \hat {\mathbf {G}} (s) = \mathbf {C} (s \mathbf {I} - \mathbf {A}) ^ {- 1} \mathbf {B} + \mathbf {D} $$

    هو قيمة ذاتية (eigenvalue) للمصفوفة $ \mathbf{A} $ . لذا فإن الاستقرار التقاربي (asymptotic stability) يستلزم استقرار BIBO. لاحظ أن الاستقرار التقاربي مُعرَّف لاستجابة صفر الدخل، بينما استقرار BIBO مُعرَّف لاستجابة صفر الحالة. النظام في مثال 5.2.2 له قيمة ذاتية 3 وليس مستقرًا تقاربيًا؛ ومع ذلك فهو مستقر BIBO. لذا فإن استقرار BIBO، عمومًا، لا يستلزم الاستقرار التقاربي. ونذكر أن الاستقرار الحدّي (marginal stability) مفيد فقط في تصميم المذبذبات (oscillators). وباستثناء المذبذبات، يُصمَّم كل نظام فيزيائي ليكون مستقراً تقاربيًا أو مستقراً BIBO.