5.5.1 حالة الزمن المتقطع (Discrete-Time Case) 

قبل مناقشة النظير المتقطع للنظريتين 5.5 و5.6، نناقش النظير المتقطع لمعادلة Lyapunov في (3.59). اعتبر

$$ \mathbf {M} - \mathbf {A M B} = \mathbf {C} \tag {5.25} $$

حيث إن $ \mathbf{A} $ و $ \mathbf{B} $ هما، على الترتيب، مصفوفتان من الرتبة $ n \times n $ و $ m \times m $ ، و $ \mathbf{M} $ و $ \mathbf{C} $ مصفوفتان من الرتبة $ n \times m $ . كما في (3.60)، يمكن كتابة المعادلة (5.25) على هيئة $ \mathbf{Y} \mathbf{m} = \mathbf{c} $ ، حيث $ \mathbf{Y} $ مصفوفة $ nm \times nm $ ؛ و $ \mathbf{m} $ و $ \mathbf{c} $ متجهان عموديان $ nm \times 1 $ تُرتَّب فيهما أعمدة $ \mathbf{M} $ و $ \mathbf{C} $ وعددها $ m $ على التوالي. وهكذا فإن (5.25) هي في الأساس مجموعة من المعادلات الجبرية الخطية. لتكن $ \eta_k $ قيمة ذاتية (eigenvalue) للمصفوفة $ \mathbf{Y} $ أو للمعادلة (5.25). عندئذ لدينا

$$ \eta_ {k} = 1 - \lambda_ {i} \mu_ {j} \quad \text{for} i = 1, 2, \dots , n; j = 1, 2, \dots , m $$

حيث إن $ \lambda_{i} $ و $ \mu_{j} $ هما، على الترتيب، القيم الذاتية للمصفوفتين $ \mathbf{A} $ و $ \mathbf{B} $ . يمكن إثبات ذلك حدسيًا (intuitively) كما يلي. لنعرف $ \mathcal{A}(\mathbf{M})\coloneqq \mathbf{M} - \mathbf{AMB} $ . عندئذ يمكن كتابة (5.25) على أنها $ \mathcal{A}(\mathbf{M}) = \mathbf{C} $ . العدد القياسي $ \eta $ يُسمى قيمة ذاتية لـ $ \mathcal{A} $ إذا وُجدت مصفوفة غير صفرية $ \mathbf{M} $ بحيث $ \mathcal{A}(\mathbf{M}) = \eta \mathbf{M} $ . لتكن $ \mathbf{u} $ متجهًا ذاتيًا أيمن $ n\times 1 $ للمصفوفة $ \mathbf{A} $ مرتبطًا بـ $ \lambda_{i} $ ، أي $ \mathbf{Au} = \lambda_{i}\mathbf{u} $ . ولتكن $ \mathbf{v} $ متجهًا ذاتيًا أيسر $ 1\times m $ للمصفوفة $ \mathbf{B} $ مرتبطًا بـ $ \mu_{j} $ ، أي $ \mathbf{vB} = \mathbf{v}\mu_{j} $ . تطبيق $ \mathcal{A} $ على المصفوفة غير الصفرية $ n\times m $ $ \mathbf{uv} $ يعطي

$$ \mathcal {A} (\mathbf {u v}) = \mathbf {u v} - \mathbf {A u v B} = (1 - \lambda_ {i} \mu_ {j}) \mathbf {u v} $$

وهكذا فإن القيم الذاتية لـ (5.25) هي $ 1 - \lambda_i \mu_j $ لكل $ i $ و $ j $ . إذا لم توجد $ i $ و $ j $ تحققان $ \lambda_i \mu_j = 1 $ ، فإن (5.25) غير منفردة ولأي $ \mathbf{C} $ يوجد حل وحيد $ \mathbf{M} $ في (5.25).

إذا كان $ \lambda_{i}\mu_{j} = 1 $ لبعض $ i $ و $ j $ ، فإن (5.25) تكون منفردة وقد توجد حلول وقد لا توجد لحالة $ \mathbf{C} $ معينة. الحالة هنا مشابهة لما نوقش في القسم 3.7.

نناقش طريقة للتحقق من الاستقرار التقاربي للمعادلة $ \dot{\mathbf{x}}[k + 1] = \mathbf{A}\mathbf{x}[k] $ . وللتيسير، نسمي $ \mathbf{A} $ مستقرة DT (DT stable) إذا كانت كل قيمة ذاتية لـ $ \mathbf{A} $ ذات مقدار أقل من 1. القيم الذاتية لـ $ \mathbf{A} $ هي جذور متعددها المميِّز $ \Delta(z) := \det(z\mathbf{I} - \mathbf{A}) $ . إذا كان $ \Delta(z) $ كثير حدود مستقرًا DT (DT stable polynomial)، ويمكن التحقق من ذلك بحساب جذوره أو باستخدام اختبار Jury (Jury test) دون حساب الجذور، فإن $ \mathbf{A} $ تكون مستقرة DT. نناقش الآن طريقة للتحقق مما إذا كانت $ \mathbf{A} $ مستقرة DT دون حساب قيمها الذاتية.

نظرية 5.D5 

المصفوفة $ n \times n $ $ \mathbf{A} $ مستقرة DT إذا وفقط إذا كان لأي مصفوفة متماثلة معرفة موجبًا (positive definite symmetric matrix) $ \mathbf{N} $ معطاة أو لـ $ \mathbf{N} = \bar{\mathbf{N}}' \bar{\mathbf{N}} $ ، حيث $ \bar{\mathbf{N}} $ مصفوفة $ m \times n $ معطاة مع $ m < n $ وتحقق الشرط في (5.16)، فإن معادلة Lyapunov المتقطعة

$$ \mathbf {M} - \mathbf {A} ^ {\prime} \mathbf {M} \mathbf {A} = \mathbf {N} \tag {5.26} $$

لها حل متماثل وحيد $ \mathbf{M} $ ويكون $ \mathbf{M} $ معرفًا موجبًا.

نرسم بإيجاز برهانها عندما $ \mathbf{N} > 0 $ . إذا كانت جميع القيم الذاتية للمصفوفة $ \mathbf{A} $ وبالتالي لـ $ \mathbf{A}' $ ذات مقادير أقل من 1، فإن $ |\lambda_i\lambda_j| < 1 $ لكل $ i $ و $ j $ . لذا فإن $ \lambda_i\lambda_j \neq 1 $ وتكون (5.26) غير منفردة. لذلك، لأي $ \mathbf{N} $ ، يوجد حل وحيد في (5.26). ندّعي أن الحل يمكن التعبير عنه بـ

$$ \mathbf {M} = \sum_ {m = 0} ^ {\infty} \left(\mathbf {A} ^ {\prime}\right) ^ {m} \mathbf {N} \mathbf {A} ^ {m} \tag {5.27} $$

وبما أن $ |\lambda_i| < 1 $ لكل $ i $ ، فإن السلسلة اللانهائية تتقارب وهي معرّفة جيدًا. بالتعويض بـ (5.27) في (5.26) نحصل على

$$ \begin{array}{l} \sum_ {m = 0} ^ {\infty} \left(\mathbf {A} ^ {\prime}\right) ^ {m} \mathbf {N} \mathbf {A} ^ {m} - \mathbf {A} ^ {\prime} \left(\sum_ {m = 0} ^ {\infty} \left(\mathbf {A} ^ {\prime}\right) ^ {m} \mathbf {N} \mathbf {A} ^ {m}\right) \mathbf {A} \\ = \mathbf {N} + \sum_ {m = 1} ^ {\infty} \left(\mathbf {A} ^ {\prime}\right) ^ {m} \mathbf {N} \mathbf {A} ^ {m} - \sum_ {m = 1} ^ {\infty} \left(\mathbf {A} ^ {\prime}\right) ^ {m} \mathbf {N} \mathbf {A} ^ {m} = \mathbf {N} \\ \end{array} $$

وهكذا فإن (5.27) هي الحل. إذا كانت $ \mathbf{N} $ متماثلة، فإن $ \mathbf{M} $ متماثلة أيضًا. وإذا كانت $ \mathbf{N} $ معرفة موجبًا، فإن $ \mathbf{M} $ معرفة موجبًا. وهذا يثبت الضرورة. لإثبات الكفاية، لتكن $ \lambda $ قيمة ذاتية لـ $ \mathbf{A} $ و $ \mathbf{v} \neq \mathbf{0} $ متجهًا ذاتيًا مرافقًا لها، أي $ \mathbf{A}\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v} $ . عندئذ نحصل على

$$ \begin{array}{l} \mathbf {v} ^ {*} \mathbf {N} \mathbf {v} = \mathbf {v} ^ {*} \mathbf {M} \mathbf {v} - \mathbf {v} ^ {*} \mathbf {A} ^ {\prime} \mathbf {M} \mathbf {A} \mathbf {v} \\ = \mathbf {v} ^ {*} \mathbf {M} \mathbf {v} - \lambda^ {*} \mathbf {v} ^ {*} \mathbf {M} \mathbf {v} \lambda = (1 - | \lambda | ^ {2}) \mathbf {v} ^ {*} \mathbf {M} \mathbf {v} \\ \end{array} $$

وبما أن $ \mathbf{v}^*\mathbf{N}\mathbf{v} $ و $ \mathbf{v}^*\mathbf{M}\mathbf{v} $ كلاهما حقيقيان وموجبان، نستنتج أن $ (1 - |\lambda|^2) > 0 $ أو $ |\lambda|^2 < 1 $ . وهذا يثبت النظرية عندما $ \mathbf{N} > 0 $ . ويمكن إثبات حالة $ \mathbf{N} \geq 0 $ بطريقة مشابهة.

نظرية 5.D6 

إذا كانت $ \mathbf{A} $ مستقرة DT، فإن معادلة Lyapunov المتقطعة

$$ \mathbf {M} - \mathbf {A} ^ {\prime} \mathbf {M} \mathbf {A} = \mathbf {N} $$

لها حل وحيد لكل $ \mathbf{N} $ ، ويمكن التعبير عن الحل بـ

$$ \mathbf {M} = \sum_ {m = 0} ^ {\infty} \left(\mathbf {A} ^ {\prime}\right) ^ {\prime \prime} \mathbf {N} \mathbf {A} ^ {\prime \prime} $$

من المهم ذكر أنه حتى إذا كانت $ \mathbf{A} $ تملك قيمة ذاتية واحدة أو أكثر ذات مقدار أكبر من 1، فإن حلاً وحيدًا ما يزال موجودًا في معادلة Lyapunov المتقطعة إذا كان $ \lambda_{i}\lambda_{j} \neq 1 $ لكل $ i $ و $ j $ . في هذه الحالة، لا يمكن التعبير عن الحل كما في (5.27) لكنه يمكن حسابه من مجموعة من المعادلات الجبرية الخطية.

لنناقش العلاقة بين معادلات Lyapunov المستمرة والمتقطعة. شرط الاستقرار CT للأنظمة المستمرة هو أن تقع كل القيم الذاتية داخل النصف الأيسر من مستوى $ s $ . شرط الاستقرار DT للأنظمة المتقطعة هو أن تقع كل القيم الذاتية داخل الدائرة الواحدة في مستوى $ z $ . ويمكن ربط هذين الشرطين بالتحويل الثنائي الخطي (bilinear transformation)

$$ s = \frac {z - 1}{z + 1}, \quad z = \frac {1 + s}{1 - s} \tag {5.28} $$

الذي يحوّل النصف الأيسر من مستوى $ s $ إلى داخل الدائرة الواحدة في مستوى $ z $ وبالعكس. انظر المرجع 7، ص. 520 مع $ T = 2 $ . وللتمييز بين حالتي الزمن المستمر والمتقطع، نكتب

$$ \mathbf {A} ^ {\prime} \mathbf {M} + \mathbf {M A} = - \mathbf {N} \tag {5.29} $$

$$ \mathbf {M} _ {d} - \mathbf {A} _ {d} ^ {\prime} \mathbf {M} _ {d} \mathbf {A} _ {d} = \mathbf {N} _ {d} \tag {5.30} $$

يمكن ربط هاتين المعادلتين عبر، باتباع (5.28)،

$$ \mathbf {A} = (\mathbf {A} _ {d} + \mathbf {I}) ^ {- 1} (\mathbf {A} _ {d} - \mathbf {I}), \quad \mathbf {A} _ {d} = (\mathbf {I} + \mathbf {A}) (\mathbf {I} - \mathbf {A}) ^ {- 1} $$

بالتعويض بالمعادلة اليمنى في (5.30) وبإجراء تبسيط بسيط نحصل على

$$ \mathbf {A} ^ {\prime} \mathbf {M} _ {d} + \mathbf {M} _ {d} \mathbf {A} = - 0. 5 (\mathbf {I} - \mathbf {A} ^ {\prime}) \mathbf {N} _ {d} (\mathbf {I} - \mathbf {A}) $$

وبمقارنة ذلك مع (5.29) نحصل على

$$ \mathbf {A} = \left(\mathbf {A} _ {d} + \mathbf {I}\right) ^ {- 1} \left(\mathbf {A} _ {d} - \mathbf {I}\right), \quad \mathbf {M} = \mathbf {M} _ {d}, \quad \mathbf {N} = 0. 5 \left(\mathbf {I} - \mathbf {A} ^ {\prime}\right) \mathbf {N} _ {d} (\mathbf {I} - \mathbf {A}) \tag {5.31} $$

وهذا يربط (5.29) و(5.30).

دالة MATLAB المسماة l yap تحسب معادلة Lyapunov في (5.29)، و dlyap تحسب معادلة Lyapunov المتقطعة في (5.30). تقوم الدالة dlyap بتحويل (5.30) إلى (5.29) باستخدام (5.31) ثم تستدعي l yap. والنتيجة تعطي $ \mathbf{M} = \mathbf{M}_d $ .