5.5 نظرية Lyapunov (Lyapunov Theorem)3 

    يقدّم هذا القسم طريقة للتحقق من الاستقرار التقاربي (asymptotic stability) للمعادلة $ \dot{\mathbf{x}}(t) = \mathbf{A}\mathbf{x}(t) $ . وللتيسير، نسمي $ \mathbf{A} $ مستقرة CT (CT stable) إذا كانت كل قيمة ذاتية (eigenvalue) لـ $ \mathbf{A} $ ذات جزء حقيقي سالب. القيم الذاتية لـ $ \mathbf{A} $ هي جذور متعددها المميِّز (characteristic polynomial) $ \Delta(s) := \det(s\mathbf{I} - \mathbf{A}) $ . إذا كان $ \Delta(s) $ كثير حدود مستقرًا CT (CT stable polynomial)، ويمكن التحقق من ذلك بحساب جذوره أو باستخدام اختبار Routh (Routh test) دون حساب الجذور، فإن $ \mathbf{A} $ تكون مستقرة CT. نناقش الآن طريقة للتحقق مما إذا كانت $ \mathbf{A} $ مستقرة CT دون حساب قيمها الذاتية.

    نظرية 5.5 

    المصفوفة $ \mathbf{A} $ مستقرة CT إذا وفقط إذا كان لكل مصفوفة متماثلة معرفة موجبًا (positive definite symmetric matrix) $ \mathbf{N} $ معطاة، فإن معادلة Lyapunov (Lyapunov equation)

    $$ \mathbf {A} ^ {\prime} \mathbf {M} + \mathbf {M} \mathbf {A} = - \mathbf {N} \tag {5.15} $$

    لها حل متماثل وحيد $ \mathbf{M} $ ويكون $ \mathbf{M} $ معرفًا موجبًا (positive definite).

    نتيجة 5.5 (Corollary 5.5) 

    المصفوفة $ n \times n $ $ \mathbf{A} $ مستقرة CT إذا وفقط إذا كانت لأي مصفوفة $ m \times n $ معطاة $ \bar{\mathbf{N}} $ حيث $ m < n $ ومع الشرط

    $$ \operatorname {r a n k} \mathcal {O} := \operatorname {r a n k} \left[ \begin{array}{c} \bar {\mathbf {N}} \\ \bar {\mathbf {N A}} \\ \vdots \\ \bar {\mathbf {N A}} ^ {n - 1} \end{array} \right] = n \quad (\text{full column rank}) \tag {5.16} $$

    حيث $ \mathcal{O} $ مصفوفة $ nm\times n $ ، فإن معادلة Lyapunov

    $$ \mathbf {A} ^ {\prime} \mathbf {M} + \mathbf {M} \mathbf {A} = - \bar {\mathbf {N}} ^ {\prime} \bar {\mathbf {N}} =: - \mathbf {N} \tag {5.17} $$

    لها حل متماثل وحيد $ \mathbf{M} $ ، ويكون $ \mathbf{M} $ معرفًا موجبًا.

    لكل $ \mathbf{N} $ ، فإن المصفوفة $ \mathbf{N} $ في (5.17) شبه معرفة موجبًا (positive semidefinite) (نظرية 3.7). النظرية 5.5 ونتيجتها صالحتان لأي $ \mathbf{N} $ معطاة؛ لذلك سنستخدم أبسط $ \mathbf{N} $ ممكنة. ومع ذلك، فإن استخدامهما للتحقق من استقرار CT للمصفوفة $ \mathbf{A} $ ليس بسيطًا. فمن الأسهل بكثير حساب قيم $ \mathbf{A} $ الذاتية باستخدام MATLAB ثم التحقق من أجزائها الحقيقية. لذا فإن أهمية النظرية 5.5 ونتيجتها ليست في التحقق من استقرار CT للمصفوفة $ \mathbf{A} $ بل في دراسة استقرار الأنظمة غير الخطية (nonlinear systems). فهما أساسيتان في استخدام الطريقة الثانية لـ Lyapunov (second method of Lyapunov). ونذكر أن النتيجة 5.5 يمكن استخدامها لإثبات اختبار Routh. انظر المرجع 6، الصفحات 417-419.

    برهان: برهان النظرية 5.5 (الضرورة): المعادلة (5.15) حالة خاصة من (3.59) مع $ \mathbf{A} = \mathbf{A}' $ و $ \mathbf{B} = \mathbf{A} $ . وبما أن $ \mathbf{A} $ و $ \mathbf{A}' $ لهما المجموعة نفسها من القيم الذاتية، فإذا كانت $ \mathbf{A} $ مستقرة، فلا تملك قيمتين ذاتيتين تحققان $ \lambda_{i} + \lambda_{j} = 0 $ . لذا تكون معادلة Lyapunov غير منفردة (nonsingular) ولها حل وحيد $ \mathbf{M} $ لأي $ \mathbf{N} $ . ندّعي أن الحل يمكن التعبير عنه بـ

    $$ \mathbf {M} = \int_ {0} ^ {\infty} e ^ {\mathbf {A} ^ {\prime} t} \mathbf {N} e ^ {\mathbf {A} t} d t \tag {5.18} $$

    وبالفعل، بالتعويض بـ (5.18) في (5.15) نحصل على

    $$ \begin{array}{l} \mathbf {A} ^ {\prime} \mathbf {M} + \mathbf {M A} = \int_ {0} ^ {\infty} \mathbf {A} ^ {\prime} e ^ {\mathbf {A} ^ {\prime} t} \mathbf {N} e ^ {\mathbf {A} t} d t + \int_ {0} ^ {\infty} e ^ {\mathbf {A} ^ {\prime} t} \mathbf {N} e ^ {\mathbf {A} t} \mathbf {A} d t \\ = \int_ {0} ^ {\infty} \frac {d}{d t} \left(e ^ {\mathbf {A} ^ {\prime} t} \mathbf {N} e ^ {\mathbf {A} t}\right) d t = e ^ {\mathbf {A} ^ {\prime} t} \mathbf {N} e ^ {\mathbf {A} t} \Big | _ {t = 0} ^ {\infty} \\ = \mathbf {0} - \mathbf {N} = - \mathbf {N} \tag {5.19} \\ \end{array} $$

    حيث استخدمنا حقيقة أن $ e^{\mathbf{A}t} = \mathbf{0} $ عندما $ t = \infty $ للمصفوفة $ \mathbf{A} $ المستقرة. وهذا يبين أن $ \mathbf{M} $ في (5.18) هو الحل. ومن الواضح أنه إذا كانت $ \mathbf{N} $ متماثلة، فإن $ \mathbf{M} $ متماثلة أيضًا. لنحلل $ \mathbf{N} $ على أنها $ \mathbf{N} = \bar{\mathbf{N}}' \bar{\mathbf{N}} $ ، حيث $ \bar{\mathbf{N}} $ غير منفردة (نظرية 3.7)، ونعتبر

    $$ \mathbf {x} ^ {\prime} \mathbf {M} \mathbf {x} = \int_ {0} ^ {\infty} \mathbf {x} ^ {\prime} e ^ {\mathbf {A} ^ {\prime} t} \bar {\mathbf {N}} ^ {\prime} \bar {\mathbf {N}} e ^ {\mathbf {A} t} \mathbf {x} d t = \int_ {0} ^ {\infty} | | \bar {\mathbf {N}} e ^ {\mathbf {A} t} \mathbf {x} | | _ {2} ^ {2} d t \tag {5.20} $$

    وبما أن كلًا من $ \bar{\mathbf{N}} $ و $ e^{\mathbf{A}t} $ غير منفردتين، فإن حد التكامل (integrand) في (5.20) موجب لكل $ t $ ولكل $ \mathbf{x} \neq \mathbf{0} $ . لذا فإن $ \mathbf{x}'\mathbf{M}\mathbf{x} $ موجبة لأي $ \mathbf{x} \neq \mathbf{0} $ . وهذا يثبت أن $ \mathbf{M} $ معرفة موجبًا. الكفاية: نُظهر أنه إذا كانت $ \mathbf{N} $ و $ \mathbf{M} $ معرفتين موجبًا، فإن $ \mathbf{A} $ مستقرة. لتكن $ \lambda $ قيمة ذاتية لـ $ \mathbf{A} $ و $ \mathbf{v} \neq \mathbf{0} $ متجهًا ذاتيًا مرافقًا لها، أي $ \mathbf{A}\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v} $ . وعلى الرغم من أن $ \mathbf{A} $ مصفوفة حقيقية، فإن قيمتها الذاتية ومتجهها الذاتي قد يكونان مركبين كما في مثال 3.5.2. بأخذ النقل المرافق المركب (complex conjugate transpose) للمعادلة $ \mathbf{A}\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v} $ نحصل على $ \mathbf{v}^{*}\mathbf{A}^{*} = \mathbf{v}^{*}\mathbf{A}^{\prime} = \lambda^{*}\mathbf{v}^{*} $ ، حيث تشير النجمة إلى النقل المرافق المركب. بالضرب المسبق بـ $ \mathbf{v}^{*} $ واللاحق بـ $ \mathbf{v} $ في (5.15) نحصل على

    $$ \begin{array}{l} - \mathbf {v} ^ {*} \mathbf {N} \mathbf {v} = \mathbf {v} ^ {*} \mathbf {A} ^ {\prime} \mathbf {M} \mathbf {v} + \mathbf {v} ^ {*} \mathbf {M} \mathbf {A} \mathbf {v} \\ = (\lambda^ {*} + \lambda) \mathbf {v} ^ {*} \mathbf {M} \mathbf {v} = 2 \operatorname {R e} (\lambda) \mathbf {v} ^ {*} \mathbf {M} \mathbf {v} \tag {5.21} \\ \end{array} $$

    وبما أن $ \mathbf{v}^{*}\mathbf{M}\mathbf{v} $ و $ \mathbf{v}^{*}\mathbf{N}\mathbf{v} $ كلاهما، كما نوقش في القسم 3.9، حقيقيان وموجبان، فإن (5.21) تستلزم $ \operatorname{Re}(\lambda) < 0 $ . وهذا يبين أن كل قيمة ذاتية لـ $ \mathbf{A} $ لها جزء حقيقي سالب. Q.E.D.

    برهان النتيجة 5.5 يتبع برهان النظرية 5.5 مع بعض التعديلات. سنناقش فقط المواضع التي لا ينطبق فيها برهان النظرية 5.5. اعتبر (5.20). الآن $ \bar{\mathbf{N}} $ مصفوفة $ m \times n $ حيث $ m < n $ و $ \mathbf{N} = \bar{\mathbf{N}}' \bar{\mathbf{N}} $ شبه معرفة موجبًا. ومع ذلك يمكن أن تكون $ \mathbf{M} $ في (5.18) معرفة موجبًا إذا لم يكن حد التكامل (integrand) في (5.20) صفرًا على نحو مطابق لكل $ t $ . افترض أن حد التكامل (integrand) في (5.20) صفر على نحو مطابق أو $ \mathbf{N}e^{\mathbf{A}t}\mathbf{x} \equiv \mathbf{0} $ . عندئذ فإن مشتقته بالنسبة لـ $ t $ تعطي $ \bar{\mathbf{N}}\mathbf{A}e^{\mathbf{A}t}\mathbf{x} = \mathbf{0} $ . وبالاستمرار، يمكن الحصول على

    $$ \left[ \begin{array}{c} \bar {\mathbf {N}} \\ \bar {\mathbf {N A}} \\ \vdots \\ \bar {\mathbf {N A}} ^ {n - 1} \end{array} \right] e ^ {\mathbf {A} t} \mathbf {x} = \mathbf {0} \tag {5.22} $$

    تشير هذه المعادلة إلى أنه، بسبب (5.16) وعدم تفرد $ e^{\mathbf{A}t} $ ، فإن المتجه الوحيد $ \mathbf{x} $ الذي يحقق (5.22) هو $ \mathbf{0} $ . وبالتالي لا يمكن أن يكون حد التكامل (integrand) في (5.20) صفرًا على نحو مطابق لأي $ \mathbf{x} \neq \mathbf{0} $ . لذا فإن $ \mathbf{M} $ معرفة موجبًا تحت الشرط في (5.16). وهذا يثبت ضرورة النتيجة 5.5. بعد ذلك نعتبر (5.21) مع $ \mathbf{N} = \bar{\mathbf{N}}\bar{\mathbf{N}}\mathbf{or}^4 $

    $$ 2 \operatorname {R e} (\lambda) \mathbf {v} ^ {*} \mathbf {M} \mathbf {v} = - \mathbf {v} ^ {*} \bar {\mathbf {N}} ^ {\prime} \bar {\mathbf {N}} \mathbf {v} = - \| \bar {\mathbf {N}} \mathbf {v} \| _ {2} ^ {2} \tag {5.23} $$

    نبيّن أن $ \bar{\mathbf{N}}\mathbf{v} $ غير صفري تحت الشرط (5.16). وبما أن $ \mathbf{A}\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v} $ ، فإن $ \mathbf{A}^2\mathbf{v} = \lambda \mathbf{A}\mathbf{v} = \lambda^2\mathbf{v}, \ldots, \mathbf{A}^{n-1}\mathbf{v} = \lambda^{n-1}\mathbf{v} $ . اعتبر

    $$ \left[ \begin{array}{c} \bar {\mathbf {N}} \\ \bar {\mathbf {N A}} \\ \vdots \\ \bar {\mathbf {N A}} ^ {n - 1} \end{array} \right] \mathbf {v} = \left[ \begin{array}{c} \bar {\mathbf {N v}} \\ \bar {\mathbf {N A v}} \\ \vdots \\ \bar {\mathbf {N A}} ^ {n - 1} \mathbf {v} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} \bar {\mathbf {N v}} \\ \lambda \bar {\mathbf {N v}} \\ \vdots \\ \lambda^ {n - 1} \bar {\mathbf {N v}} \end{array} \right] $$

    إذا كان $ \mathbf{N}\mathbf{v} = \mathbf{0} $ ، فإن المصفوفة اليمنى تكون صفرية؛ أما المصفوفة اليسرى فغير صفرية تحت شروط (5.16) و $ \mathbf{v} \neq \mathbf{0} $ . وهذا تناقض. إذن $ \mathbf{N}\mathbf{v} $ غير صفري و(5.23) تستلزم $ \operatorname{Re}(\lambda) < 0 $ . وهذا يُكمل برهان النتيجة 5.5.

    في برهان نظرية 5.5، أثبتنا النتيجة التالية. ولتسهيل الرجوع إليها، نصوغها كنظرية.

    نظرية 5.6 

    إذا كانت المصفوفة $ \mathbf{A} $ مستقرة CT، فإن معادلة Lyapunov

    $$ \mathbf {A} ^ {\prime} \mathbf {M} + \mathbf {M A} = - \mathbf {N} $$

    لها حل وحيد لكل $ \mathbf{N} $ ، ويمكن التعبير عن الحل بـ

    $$ \mathbf {M} = \int_ {0} ^ {\infty} e ^ {\mathbf {A} ^ {\prime} t} \mathbf {N} e ^ {\mathbf {A} t} d t \tag {5.24} $$

    وبسبب أهمية هذه النظرية، نقدّم برهانًا مختلفًا لوحدانية الحل. افترض وجود حلين $ \mathbf{M}_1 $ و $ \mathbf{M}_2 $ . عندئذ لدينا

    $$ \mathbf {A} ^ {\prime} \left(\mathbf {M} _ {1} - \mathbf {M} _ {2}\right) + \left(\mathbf {M} _ {1} - \mathbf {M} _ {2}\right) \mathbf {A} = \mathbf {0} $$

    مما يستلزم

    $$ e ^ {\mathbf {A} ^ {\prime} t} \left[ \mathbf {A} ^ {\prime} \left(\mathbf {M} _ {1} - \mathbf {M} _ {2}\right) + \left(\mathbf {M} _ {1} - \mathbf {M} _ {2}\right) \mathbf {A} \right] e ^ {\mathbf {A} t} = \frac {d}{d t} \left[ e ^ {\mathbf {A} ^ {\prime} t} \left(\mathbf {M} _ {1} - \mathbf {M} _ {2}\right) e ^ {\mathbf {A} t} \right] = \mathbf {0} $$

    وبتكاملها من 0 إلى $ \infty $ نحصل على

    $$ \left. \left[ e ^ {\mathbf {A} ^ {\prime} t} \left(\mathbf {M} _ {1} - \mathbf {M} _ {2}\right) e ^ {\mathbf {A} t} \right] \right| _ {0} ^ {\infty} = \mathbf {0} $$

    أو، باستخدام $ e^{\mathbf{A}t}\rightarrow \mathbf{0} $ عندما $ t\to \infty $

    $$ \mathbf {0} - \left(\mathbf {M} _ {1} - \mathbf {M} _ {2}\right) = \mathbf {0} $$

    وهذا يثبت وحدانية $ \mathbf{M} $ . على الرغم من إمكانية التعبير عن الحل كما في (5.24)، فإن التكامل لا يُستخدم في حساب الحل. فمن الأسهل ترتيب معادلة Lyapunov، بعد بعض التحويلات، على هيئة معادلة جبرية خطية قياسية كما في (3.60) ثم حلها. لاحظ أنه حتى إذا لم تكن $ \mathbf{A} $ مستقرة CT، فإن حلاً وحيدًا ما يزال موجودًا إذا لم يكن لـ $ \mathbf{A} $ قيمتان ذاتيتان تحققان $ \lambda_{i} + \lambda_{j} = 0 $ . غير أن الحل لا يمكن التعبير عنه كما في (5.24)؛ إذ سيتباعد التكامل ويصبح بلا معنى. إذا كانت $ \mathbf{A} $ منفردة أو، بصورة مكافئة، لها قيمة ذاتية واحدة على الأقل تساوي الصفر، فإن معادلة Lyapunov تكون دائمًا منفردة وقد توجد حلول وقد لا توجد تبعًا لما إذا كانت $ \mathbf{N} $ تقع في فضاء المجال (range space) للمعادلة أم لا.