5.6 استقرار أنظمة LTV (Stability of LTV Systems) 

    اعتبر نظامًا خطيًا متغير الزمن أحادي الدخل أحادي الخرج (SISO linear time-varying, LTV) موصوفًا بـ

    $$ y (t) = \int_ {t _ {0}} ^ {t} g (t, \tau) u (\tau) d \tau \tag {5.32} $$

    يُقال إن النظام مستقر BIBO إذا كان كل دخل محدود يثير خرجًا محدودًا. الشرط لكي تكون (5.32) مستقرة BIBO هو وجود ثابت منتهٍ $ M $ بحيث

    $$ \int_ {t _ {0}} ^ {t} | g (t, \tau) | d \tau \leq M < \infty \tag {5.33} $$

    لكل $ t $ و $ t_0 $ مع $ t \geq t_0 $ . ينطبق البرهان في حالة الزمن الثابت هنا مع تعديلات طفيفة فقط.

    في حالة MIMO، تصبح (5.32)

    $$ \mathbf {y} (t) = \int_ {t _ {0}} ^ {t} \mathbf {G} (t, \tau) \mathbf {u} (\tau) d \tau \tag {5.34} $$

    الشرط لكي تكون (5.34) مستقرة BIBO هو أن يحقق كل عنصر من $ \mathbf{G}(t,\tau) $ الشرط في (5.33). بالنسبة لأنظمة MIMO، يمكن أيضًا التعبير عن الشرط بدلالة المعايير (norms). يمكن استخدام أي معيار تمت مناقشته في القسم 3.11. غير أن معيار اللانهاية

    $$ \left\| \mathbf {u} \right\| _ {\infty} = \max _ {i} \left| u _ {i} \right|, \quad \left\| \mathbf {G} \right\| _ {\infty} = \text{largest row absolute sum} $$

    ربما يكون الأكثر ملاءمة للاستخدام في دراسة الاستقرار. وللتيسير، لن يُلحق أي معيار بمؤشر سفلي. الشرط اللازم والكافي لكي تكون (5.34) مستقرة BIBO هو وجود ثابت منتهٍ $ M $ بحيث

    $$ \int_ {t _ {0}} ^ {t} | | \mathbf {G} (t, \tau) | | d \tau \leq M < \infty $$

    لكل $ t $ و $ t_0 $ مع $ t \geq t_0 $ .

    مصفوفة الاستجابة النبضية لمعادلة

    $$ \begin{array}{l} \dot {\mathbf {x}} (t) = \mathbf {A} (t) \mathbf {x} (t) + \mathbf {B} (t) \mathbf {u} (t) \tag {5.35} \\ \mathbf {y} (t) = \mathbf {C} (t) \mathbf {x} (t) + \mathbf {D} (t) \mathbf {u} (t) \\ \end{array} $$

    هي

    $$ \mathbf {G} (t, \tau) = \mathbf {C} (t) \boldsymbol {\Phi} (t, \tau) \mathbf {B} (\tau) + \mathbf {D} (t) \delta (t - \tau) $$

    واستجابة صفر الحالة هي

    $$ \mathbf {y} (t) = \int_ {t _ {0}} ^ {t} \mathbf {C} (t) \boldsymbol {\Phi} (t, \tau) \mathbf {B} (\tau) \mathbf {u} (\tau) d \tau + \mathbf {D} (t) \mathbf {u} (t) $$

    وبالتالي فإن (5.35) أو، على نحو أدق، استجابة صفر الحالة (zero-state response) لـ (5.35) تكون مستقرة BIBO إذا وفقط إذا وُجدت ثوابت $ M_{1} $ و $ M_{2} $ بحيث

    $$ \left| \left| \mathbf {D} (t) \right| \right| \leq M _ {1} < \infty $$

    و

    $$ \int_ {t _ {0}} ^ {t} | | \mathbf {G} (t, \tau) | | d \tau \leq M _ {2} < \infty $$

    لكل $ t $ و $ t_0 $ مع $ t \geq t_0 $ .

    ندرس الآن استقرار $ \dot{\mathbf{x}} = \mathbf{A}(t)\mathbf{x} $ . كما في حالة الزمن الثابت، نُعرّف المعادلة بأنها مستقرة حدّيًا (marginally stable) إذا كانت كل حالة ابتدائية منتهية تثير استجابة محدودة. وبما أن الاستجابة محكومة بـ

    $$ \mathbf {x} (t) = \boldsymbol {\Phi} (t, t _ {0}) \mathbf {x} (t _ {0}) \tag {5.36} $$

    نستنتج أن الاستجابة مستقرة حدّيًا إذا وفقط إذا وُجد ثابت منتهٍ $ M $ بحيث

    $$ \left\| \Phi (t, t _ {0}) \right\| \leq M < \infty \tag {5.37} $$

    لكل $ t_0 $ ولكل $ t \geq t_0 $ . المعادلة $ \dot{\mathbf{x}} = \mathbf{A}(t)\mathbf{x} $ مستقرة تقاربيًا (asymptotically stable) إذا كانت الاستجابة المثارة بكل حالة ابتدائية منتهية محدودة وتقترب من الصفر عندما $ t \to \infty $ . شروط الاستقرار التقاربي هي شرط المحدودية في (5.37) و

    $$ \left|\left| \Phi (t, t _ {0}) \right|\right|\rightarrow 0 \quad \text{as} t \rightarrow \infty \tag {5.38} $$

    يمكن القول الكثير بشأن هذه التعريفات والشروط. هل يعتمد الثابت $ M $ في (5.37) على $ t_0 $ ؟ ما معدل اقتراب مصفوفة انتقال الحالة من الصفر في (5.38)؟ يُحال القارئ المهتم إلى المراجع 4 و19.

    المعادلة ثابتة الزمن $ \dot{\mathbf{x}}(t) = \mathbf{A}\mathbf{x}(t) $ مستقرة تقاربيًا إذا كانت جميع قيم $ \mathbf{A} $ الذاتية ذات أجزاء حقيقية سالبة. هل ينطبق ذلك أيضًا على الحالة المتغيرة زمنًا؟ الإجابة بالنفي كما يبين المثال التالي.

    مثال 5.6.1 اعتبر المعادلة الخطية المتغيرة زمنًا

    $$ \dot {\mathbf {x}} (t) = \mathbf {A} (t) \mathbf {x} (t) = \left[ \begin{array}{c c} - 1 & e ^ {2 t} \\ 0 & - 1 \end{array} \right] \mathbf {x} (t) \tag {5.39} $$

    متعددها المميِّز (characteristic polynomial) هو

    $$ \det (\lambda \mathbf {I} - \mathbf {A} (t)) = \det \left[ \begin{array}{c c} \lambda + 1 & - e ^ {2 t} \\ 0 & \lambda + 1 \end{array} \right] = (\lambda + 1) ^ {2} $$

    لذا فإن $ \mathbf{A}(t) $ لها قيم ذاتية $ -1 $ و $ -1 $ لكل $ t $ . يمكن التحقق مباشرة أن

    $$ \Phi (t, 0) = \left[ \begin{array}{c c} e ^ {- t} & 0. 5 \left(e ^ {t} - e ^ {- t}\right) \\ 0 & e ^ {- t} \end{array} \right] $$

    تحقق (4.61)، وبالتالي فهي مصفوفة انتقال الحالة للمعادلة (5.39). انظر أيضًا المسألة 4.20. وبما أن العنصر (1,2) في $ \Phi $ ينمو بلا حدود، فإن المعادلة ليست مستقرة تقاربيًا ولا حدّيًا. يبيّن هذا المثال أنه على الرغم من إمكانية تعريف القيم الذاتية لـ $ \mathbf{A}(t) $ عند كل $ t $ ، فإن مفهوم القيم الذاتية ليس مفيدًا في حالة الزمن المتغير.

    كل خصائص الاستقرار في حالة الزمن الثابت ثابتة تحت أي تحويل تكافؤ (equivalence transformation). في حالة الزمن المتغير، يكون استقرار BIBO أيضًا ثابتًا لأن أي تحويل تكافؤ لن يغيّر، كما نوقش في القسم 4.7، الاستجابة النبضية. يمكن لتحويل تكافؤ، كما بُيّن في النظرية 4.3، أن يحوّل أي $ \dot{\mathbf{x}}(t) = \mathbf{A}(t)\mathbf{x}(t) $ إلى $ \dot{\bar{\mathbf{x}}}(t) = \mathbf{A}_t\bar{\mathbf{x}}(t) $ ، حيث $ \mathbf{A}_t $ مصفوفة ثابتة كيفما كانت بما فيها المصفوفة الصفرية. لذلك، في حالة الزمن المتغير، فإن الاستقرارين الحدّي والتقاربي ليسا ثابتين تحت أي تحويل تكافؤ.

    نظرية 5.7 

    الاستقرار الحدّي والاستقرار التقاربي للمعادلة $ \dot{\mathbf{x}}(t) = \mathbf{A}(t)\mathbf{x}(t) $ ثابتان تحت أي تحويلة Lyapunov (Lyapunov transformation).

    كما نوقش في القسم 4.6، إذا كانت $ \mathbf{P}(t) $ و $ \dot{\mathbf{P}}(t) $ مستمرتين، وكانت $ \mathbf{P}(t) $ غير منفردة لكل $ t $ ، فإن $ \bar{\mathbf{x}} = \mathbf{P}(t)\mathbf{x} $ تحويل تكافؤ. وإذا كانت $ \mathbf{P}(t) $ و $ \mathbf{P}^{-1}(t) $ محدودتين لكل $ t $ ، فإن $ \bar{\mathbf{x}} = \mathbf{P}(t)\mathbf{x} $ تحويلة Lyapunov. المصفوفة الأساسية (fundamental matrix) $ \mathbf{X}(t) $ للمعادلة $ \dot{\mathbf{x}} = \mathbf{A}(t)\mathbf{x} $ والمصفوفة الأساسية $ \bar{\mathbf{X}}(t) $ للمعادلة $ \dot{\bar{\mathbf{x}}} = \bar{\mathbf{A}}(t)\bar{\mathbf{x}} $ مرتبطتان، كما اشتُق في (4.79)، بـ

    $$ \bar {\mathbf {X}} (t) = \mathbf {P} (t) \mathbf {X} (t) $$

    مما يستلزم

    $$ \begin{array}{l} \bar {\Phi} (t, \tau) = \bar {\mathbf {X}} (t) \bar {\mathbf {X}} ^ {- 1} (\tau) = \mathbf {P} (t) \mathbf {X} (t) \mathbf {X} ^ {- 1} (\tau) \mathbf {P} ^ {- 1} (\tau) \\ = \mathbf {P} (t) \boldsymbol {\Phi} (t, \tau) \mathbf {P} ^ {- 1} (\tau) \tag {5.40} \\ \end{array} $$

    وبما أن $ \mathbf{P}(t) $ و $ \mathbf{P}^{-1}(t) $ كلاهما محدودتان، فإذا كان $ ||\Phi(t,\tau)|| $ محدودًا فإن $ ||\bar{\Phi}(t,\tau)|| $ يكون محدودًا أيضًا؛ وإذا كان $ ||\Phi(t,\tau)|| \to 0 $ عندما $ t \to \infty $ ، فإن $ ||\bar{\Phi}(t,\tau)|| $ كذلك. وهذا يثبت النظرية 5.7.

    في حالة الزمن الثابت، الاستقرار التقاربي لاستجابات صفر الدخل يستلزم دائمًا استقرار BIBO لاستجابات صفر الحالة. هذا ليس بالضرورة صحيحًا في حالة الزمن المتغير. تكون المعادلة المتغيرة زمنًا مستقرة تقاربيًا إذا

    $$ \left|\left| \Phi (t, t _ {0}) \right|\right|\rightarrow 0 \quad \text{as} t \rightarrow \infty \tag {5.41} $$

    لكل $ t, t_0 $ مع $ t \geq t_0 $ . وتكون مستقرة BIBO إذا

    $$ \int_ {t _ {0}} ^ {t} \left| \left| \mathbf {C} (t) \Phi (t, \tau) \mathbf {B} (\tau) \right| \right| d \tau < \infty \tag {5.42} $$

    لكل $ t, t_0 $ مع $ t \geq t_0 $ . قد تقترب دالة من الصفر عندما $ t \to \infty $ ومع ذلك لا تكون قابلة للتكامل المطلق. لذلك قد لا يستلزم الاستقرار التقاربي استقرار BIBO في حالة الزمن المتغير. ومع ذلك، إذا كان $ ||\Phi(t, \tau)|| $ يتناقص إلى الصفر بسرعة - وبخاصة أسيًا - وإذا كانت $ \mathbf{C}(t) $ و $ \mathbf{B}(t) $ محدودتين لكل $ t $ ، فإن الاستقرار التقاربي يستلزم استقرار BIBO. انظر المراجع 4 و6 و19.