المسائل 

    5.1 هل الشبكة المبينة في الشكل 5.2 مستقرة BIBO (BIBO stable)؟ إن لم تكن، فأوجد مدخلًا محدودًا (bounded input) يثير خرجًا غير محدود (unbounded output).


    الشكل (Figure) 5.2

    5.2 اعتبر نظامًا بدالة انتقال غير كسرية (irrational transfer function) $ \hat{g}(s) $. بيّن أن شرطًا لازمًا ليكون النظام مستقراً BIBO (BIBO stable) هو أن $ |\hat{g}(s)| $ محدود لكل $ \operatorname{Re} s \geq 0 $.
    5.3 هل نظامٌ باستجابة نبضية (impulse response) $ g(t) = 1 / (t + 1) $ لـ $ t \geq 0 $ مستقر BIBO (BIBO stable)؟ ماذا عن $ g(t) = te^{-t} $ لـ $ t \geq 0 $؟
    5.4 هل نظامٌ بدالة انتقال (transfer function) $ \hat{g} (s) = e^{-2s} / (s + 1) $ مستقر BIBO (BIBO stable)؟
    5.5 بيّن أن نظام التغذية الراجعة السالبة (negative-feedback system) المبين في الشكل 2.5(b) مستقر BIBO (BIBO stable) إذا وفقط إذا كان مقدار الكسب $ a $ أقل من 1. عندما $ a = 1 $، أوجد مدخلًا محدودًا $ r(t) $ يثير خرجًا غير محدود.
    5.6 اعتبر نظامًا بدالة انتقال (transfer function) $ \hat{g} (s) = (s - 2) / (s + 1) $. ما الاستجابات في الحالة المستقرة (steady-state responses) المثارة بواسطة $ u(t) = 3 $، لـ $ t\geq 0 $، وبواسطة $ u(t) = \sin 2t $، لـ $ t\geq 0 $؟
    5.7 اعتبر نظامًا بدالة انتقال (transfer function) $ \hat{g}(s) = 1/(s - 1) $ ومدخلًا تحويل لابلاس (Laplace transform) له يساوي $ \hat{u}(s) = (s - 1)/s(s + 1) $. هل النظام مستقر BIBO (BIBO stable)؟ هل المدخل محدود؟ ما خرج النظام المثار بهذا المدخل؟ هل سيظهر استجابة القطب (pole) في الخرج؟ نرى من هذا المثال أن قطب النظام لن يُثار بمدخل إلا إذا كان تحويل لابلاس للمدخل يملك صفرًا (zero) يلغي هذا القطب. نادرًا ما يحدث ذلك في مدخل مولَّد اعتباطيًا. لذا فإن معظم المداخل ستثير كل قطب في النظام.
    5.8 بيّن أن نظامًا بدالة انتقال كسرية صحيحة (proper rational transfer function) يكون مستقرًا BIBO (BIBO stable) إذا وفقط إذا كانت استجابته للخطوة (step response) تؤول إلى ثابت صفري أو ثابت غير صفري.
    5.9 اعتبر

    $$ \dot {\mathbf {x}} (t) = \left[ \begin{array}{r r} - 1 & 5 \\\ 0 & 2 \end{array} \right] \mathbf {x} (t) + \left[ \begin{array}{l} 2 \\\ 0 \end{array} \right] u (t) $$
    $$ y (t) = \left[ - 2 \quad 4 \right] \mathbf {x} (t) - 2 u (t) $$

    هل هو مستقر BIBO (BIBO stable)؟

    5.10 اعتبر نظامًا زمنه متقطع (discrete-time system) باستجابة نبضية (impulse response sequence)

    $$ g [ k ] = k (0. 9) ^ {k} \quad \text{for} k \geq 0 $$

    هل النظام مستقر BIBO (BIBO stable)؟

    5.11 هل معادلة الحالة في المسألة 5.9 مستقرة هامشيًا (marginally stable)؟ مستقرة تقاربيًا (asymptotically stable)؟

    5.12 هل معادلة الحالة المتجانسة (homogeneous state equation)

    $$ \dot {\mathbf {x}} (t) = \left[ \begin{array}{r r r} - 1 & 0 & 2 \\\ 0 & 0 & 0 \\\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right] \mathbf {x} (t) $$

    مستقرة هامشيًا (marginally stable)؟ مستقرة تقاربيًا (asymptotically stable)؟

    5.13 هل معادلة الحالة المتجانسة (homogeneous state equation)

    $$ \dot {\mathbf {x}} (t) = \left[ \begin{array}{c c c} - 1 & 0 & 2 \\\ 0 & 0 & 1 \\\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right] \mathbf {x} (t) $$

    مستقرة هامشيًا (marginally stable)؟ مستقرة تقاربيًا (asymptotically stable)؟

    5.14 استقصِ استقرار النظام الآتي.

    $$ \begin{array}{l} \dot {x} (t) = \left[ \begin{array}{l l l l l l} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\ 0 & 0 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\\ 0 & 0 & 0 & - 1 & 1 & 0 \\\ 0 & 0 & 0 & 0 & - 1 & 0 \\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & - 2 \end{array} \right] x (t) + \left[ \begin{array}{l} 0 \\\ 1 \\\ 0 \\\ 0 \\\ 1 \\\ 1 \end{array} \right] u (t) \\\ y (t) = \left[ \begin{array}{l l l l l l} 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right] x (t) \\\ \end{array} $$

    5.15 إذا كان النظام موصوفًا بـ

    $$ \dot {x} (t) = \left[ \begin{array}{r r r} 0 & 1 & 0 \\\ 0 & 0 & 1 \\\ - 3 & - 2 k & - 3 \end{array} \right] x (t) + \left[ \begin{array}{l} 0 \\\ 0 \\\ k \end{array} \right] u (t) $$

    حدّد مجال $ k $ الذي يجعل النظام مستقرًا تقاربيًا (asymptotically stable). أوجد $ k $ في الحالة المستقرة هامشيًا (marginally stable) واحسب التردد الذي يتذبذب عنده النظام.

    5.16 اعتبر النظام الممثل بمعادلة الحالة

    $$ \begin{array}{l} \dot {x} (t) = \left[ \begin{array}{c c c} 0 & 0 & 0 \\\ 0 & 0 & 0 \\\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right] x (t) + \left[ \begin{array}{c} 1 \\\ 0 \\\ 0 \end{array} \right] u (t) \\\ y (t) = \left[ \begin{array}{l l l} 1 & 1 & 1 \end{array} \right] x (t) \\\ \end{array} $$

    أوجد جميع حالات الاتزان (equilibrium states) للنظام. هل كل حالة مستقرة بمعنى ليابونوف (Lyapunov)؟ هل هو مستقر تقاربيًا (asymptotically stable)؟ هل استجابة الحالة الصفرية (zero state response) مستقرة BIBO (BIBO stable)؟

    5.17 اعتبر النظام الممثل بدالة الانتقال

    $$ \hat {g} (s) = \left(s + k _ {1}\right) / \left(s ^ {3} + 2 s ^ {2} + k _ {2} s + 4\right) $$

    أوجد مجال $ k_{1} $ و$ k_{2} $ بحيث يكون النظام مستقرًا BIBO (BIBO stable). افترض أن النظام موصول في نظام تغذية راجعة وحدة تقليدي (unity feedback system). أوجد مجال $ k_{1} $ و$ k_{2} $ لاستقرار BIBO (BIBO stability) لنظام التغذية الراجعة.

    5.18 اعتبر تمثيل فضاء الحالة (state-space representation) لنظام زمن مستمر مستقر،

    $$ \begin{array}{l} \dot {x} (t) = A x (t) + B u (t) \\\ y (t) = C x (t) \\\ \end{array} $$

    لتُستبدل المصفوفة $ A $ بـ (a) $ A' $، (b) $ A^{-1} $، (c) $ A^r $، (d) $ kA $، (e) $ A + kI $، حيث $ r $ و$ k $ أعداد صحيحة موجبة. استقصِ حالة الاستقرار لكل حالة. كرّر الاستقصاء لنظام زمن متقطع مستقر (stable discrete-time system).

    5.19 هل معادلة الحالة المتجانسة الزمنية المتقطعة (discrete-time homogeneous state equation)

    $$ \mathbf {x} [ k + 1 ] = \left[ \begin{array}{c c c} 0. 9 & 0 & 2 \\\ 0 & 1 & 0 \\\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right] \mathbf {x} [ k ] $$

    مستقرة هامشيًا (marginally stable)؟ مستقرة تقاربيًا (asymptotically stable)؟

    5.20 هل معادلة الحالة المتجانسة الزمنية المتقطعة (discrete-time homogeneous state equation)

    $$ \mathbf {x} [ k + 1 ] = \left[ \begin{array}{c c c} 0. 9 & 0 & 2 \\\ 0 & 1 & 1 \\\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right] \mathbf {x} [ k ] $$

    مستقرة هامشيًا (marginally stable)؟ مستقرة تقاربيًا (asymptotically stable)؟

    5.21 كوّن كثيرات حدود من الدرجة 3 تكون

    1. مستقرة في الزمن المستمر CT (CT stable) ومستقرة في الزمن المتقطع DT (DT stable).
    2. مستقرة في الزمن المستمر CT (CT stable) ولكن غير مستقرة في الزمن المتقطع DT (DT stable).
    3. مستقرة في الزمن المتقطع DT (DT stable) ولكن غير مستقرة في الزمن المستمر CT (CT stable).
    4. غير مستقرة في الزمن المستمر CT (CT unstable) وغير مستقرة في الزمن المتقطع DT (DT unstable).

    5.22 استخدم النظرية 5.5 لإثبات أن المصفوفة

    $$ \mathbf {A} = \left[ \begin{array}{r r} 0 & 1 \\\ - 0. 5 & - 1 \end{array} \right] $$

    مستقرة في الزمن المستمر CT (CT stable).

    5.23 استخدم النظرية 5.D5 لإثبات أن المصفوفة $ \mathbf{A} $ في المسألة 5.22 مستقرة في الزمن المتقطع DT (DT stable).

    5.24 لأي قيم ذاتية حقيقية سالبة مميزة (distinct negative real) $ \lambda_{i} $ ولأي $ a_{i} $ حقيقي غير صفري، بيّن أن المصفوفة

    $$ \mathbf {M} = \left[ \begin{array}{c c c} - \frac {a _ {1} ^ {2}}{2 \lambda_ {1}} & - \frac {a _ {1} a _ {2}}{\lambda_ {1} + \lambda_ {2}} & - \frac {a _ {1} a _ {3}}{\lambda_ {1} + \lambda_ {3}} \\\ - \frac {a _ {2} a _ {1}}{\lambda_ {2} + \lambda_ {1}} & - \frac {a _ {2} ^ {2}}{2 \lambda_ {2}} & - \frac {a _ {2} a _ {3}}{\lambda_ {2} + \lambda_ {3}} \\\ - \frac {a _ {3} a _ {1}}{\lambda_ {1} + \lambda_ {3}} & - \frac {a _ {3} a _ {2}}{\lambda_ {2} + \lambda_ {3}} & - \frac {a _ {3} ^ {2}}{2 \lambda_ {3}} \end{array} \right] $$

    مُعرَّفة موجبًا (positive definite). (تلميح (Hint): استخدم النتيجة 5.5 و$ \mathbf{A} = \mathrm{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3) $.)

    5.25 تُعرَّف المصفوفة الحقيقية $ \mathbf{M} $ (ليس بالضرورة متناظرة) بأنها مُعرَّفة موجبًا (positive definite) إذا كان $ \mathbf{x}'\mathbf{M}\mathbf{x} > 0 $ لأي $ \mathbf{x} $ غير صفري. هل صحيح أن المصفوفة $ \mathbf{M} $ مُعرَّفة موجبًا إذا كانت كل قيمها الذاتية (eigenvalues) حقيقية وموجبة أو إذا كانت جميع المحددات الرئيسية المتتالية (leading principal minors) موجبة؟ إن لم يكن، فكيف تتحقق من كونها مُعرَّفة موجبًا؟ (تلميح (Hint): جرّب

    $$ \left[ \begin{array}{r r} 0 & 1 \\\ - 2 & 3 \end{array} \right] \quad \left[ \begin{array}{r r} 2 & 1 \\\ 1. 9 & 1 \end{array} \right]) $$

    5.26 بيّن أن جميع القيم الذاتية (eigenvalues) لـ $ \mathbf{A} $ لها أجزاء حقيقية أصغر من $ -\mu < 0 $ إذا وفقط إذا، لأي مصفوفة متناظرة معرفة موجبًا (positive definite symmetric matrix) $ \mathbf{N} $، فإن المعادلة

    $$ \mathbf {A} ^ {\prime} \mathbf {M} + \mathbf {M A} + 2 \mu \mathbf {M} = - \mathbf {N} $$

    لها حل متناظر وحيد (unique symmetric solution) $ \mathbf{M} $ و$ \mathbf{M} $ مُعرَّفة موجبًا (positive definite).

    5.27 بيّن أن جميع القيم الذاتية (eigenvalues) لـ $ \mathbf{A} $ لها مقادير أصغر من $ \rho $ إذا وفقط إذا، لأي مصفوفة متناظرة معرفة موجبًا (positive definite symmetric matrix) $ \mathbf{N} $، فإن المعادلة

    $$ \rho^ {2} \mathbf {M} - \mathbf {A} ^ {\prime} \mathbf {M} \mathbf {A} = \rho^ {2} \mathbf {N} $$

    لها حل متناظر وحيد (unique symmetric solution) $ \mathbf{M} $ و$ \mathbf{M} $ مُعرَّفة موجبًا (positive definite).

    5.28 استخدم مبرهنة استقرار ليابونوف (Lyapunov stability theorem) لتبيّن أنه إذا كان $ A $ مستقرًا تقاربيًا (asymptotically stable)، فإن

    $$ \int_ {0} ^ {\infty} x ^ {\prime} (t) N x (t) d t = x ^ {\prime} (0) M x (0) $$

    5.29 اعتبر مجموعة من المصفوفات المستقرة المتناظرة المعطاة بـ $ S = \{A_1, A_2, \ldots, A_k\} $. بيّن أن دالة ليابونوف تربيعية مشتركة (common quadratic Lyapunov function) لهذه المجموعة هي $ V(x) = (\|x\|_2)^2 $.

    5.30 هل النظام ذو الاستجابة النبضية (impulse response) $ g(t, \tau) = e^{-2|t| - |\tau|} $ لـ $ t \geq \tau $ مستقر BIBO (BIBO stable)؟ ماذا عن $ g(t, \tau) = \sin t(e^{-(t - \tau)})\cos \tau $؟

    5.31 اعتبر المعادلة المتغيرة مع الزمن (time-varying equation)

    $$ \dot {x} (t) = 2 t x (t) + u (t), \quad y (t) = e ^ {- t ^ {2}} x (t) $$

    هل المعادلة مستقرة BIBO (BIBO stable)؟ مستقرة هامشيًا (marginally stable)؟ مستقرة تقاربيًا (asymptotically stable)؟

    5.32 بيّن أن المعادلة في المسألة 5.26 يمكن تحويلها باستخدام $ \bar{x} = P(t)x $، مع $ P(t) = e^{-t^2} $، إلى

    $$ \dot {\bar {x}} (t) = 0 \cdot \bar {x} (t) + e ^ {- t ^ {2}} u (t), \quad y (t) = \bar {x} (t) $$

    هل المعادلة مستقرة BIBO (BIBO stable)؟ مستقرة هامشيًا (marginally stable)؟ مستقرة تقاربيًا (asymptotically stable)؟ هل التحويل تحويل ليابونوف (Lyapunov transformation)؟

    5.33 هل المعادلة المتجانسة

    $$ \dot {\mathbf {x}} (t) = \left[ \begin{array}{c c} - 1 & 0 \\\ - e ^ {- 3 t} & 0 \end{array} \right] \mathbf {x} (t) $$

    لـ $ t_0 \geq 0 $ مستقرة هامشيًا (marginally stable)؟ مستقرة تقاربيًا (asymptotically stable)؟

    5.34 استقصِ حالة استقرار الأنظمة المتغيرة مع الزمن (time-varying systems) في المسألتين 4.16 و4.20.

    الحلول 

    5.1 المدخل المحدود $ u(t) = \sin t $ يثير $ y(t) = 0.5t \sin t $ وهو غير محدود. وبالتالي فالنظام غير مستقر BIBO (BIBO stable).

    5.3 لا. نعم.

    5.6 إذا كان $ u(t) = 3 $، فإن $ y(t) \to -6 $. إذا كان $ u(t) = \sin 2t $، فإن $ y(t) \to 1.26\sin (2t + 1.25) $.
    5.9 دالة انتقاله هي $ \hat{g} (s) = -4 / (s + 1) $. مستقر BIBO (BIBO stable).

    5.10 نعم.

    5.12 غير مستقر تقاربيًا (asymptotically stable). كثير الحدود الأدنى (minimal polynomial) يمكن إيجاده من صيغة Jordan (Jordan form) باعتباره $ \psi(\lambda) = \lambda (\lambda + 1) $. القيمة الذاتية (eigenvalue) $ \lambda = 0 $ بسيطة، لذا فالمعادلة مستقرة هامشيًا (marginally stable).

    5.20 غير مستقر تقاربيًا (asymptotically stable). كثير الحدود الأدنى (minimal polynomial) يمكن إيجاده من صيغة Jordan (Jordan form) باعتباره $ \psi (\lambda) = (\lambda -1)^{2}(\lambda +1) $. القيمة الذاتية (eigenvalue) $ \lambda = 1 $ مكررة، لذا فالمعادلة ليست مستقرة هامشيًا (marginally stable).

    5.22 إذا كانت $ \mathbf{N} = \mathbf{I} $، فإن

    $$ \mathbf {M} = \left[ \begin{array}{c c} 1 0 7 5 & 1 \\\ 1 & 1. 5 \end{array} \right] $$

    وهي مُعرَّفة موجبًا (positive definite)، وبالتالي فإن كلا القيمتين الذاتيتين لهما أجزاء حقيقية سالبة.

    5.23 إذا كانت $ \mathbf{N} = \mathbf{I} $، فإن

    $$ \mathbf {M} = \left[ \begin{array}{l l} 2. 2 & 1. 6 \\\ 1. 6 & 4. 8 \end{array} \right] $$

    وهي مُعرَّفة موجبًا (positive definite)، وبالتالي فإن كلا القيمتين الذاتيتين لهما مقادير أصغر من 1.

    5.25 لأن $ \mathbf{x}'\mathbf{M}\mathbf{x} = \mathbf{x}'[0.5(\mathbf{M} + \mathbf{M}')]\mathbf{x} $، فإن الطريقة الوحيدة للتحقق من كون $ \mathbf{M} $ غير المتناظرة مُعرَّفة موجبًا هي التحقق من أن $ 0.5(\mathbf{M} + \mathbf{M}') $ المتناظرة مُعرَّفة موجبًا (positive definite).
    5.28 كلاهما مستقر BIBO (BIBO stable).
    5.30 مستقر BIBO (BIBO stable)، مستقر هامشيًا (marginally stable)، غير مستقر تقاربيًا (asymptotically stable). $ P(t) $ ليس تحويل ليابونوف (Lyapunov transformation).