6.2.1 مؤشرات قابلية التحكم (controllability indices)2 

    اجعل $ \mathbf{A} $ و$ \mathbf{B} $ مصفوفتين ثابتتين $ n \times n $ و$ n \times p $. نحن نفترض أن $ \mathbf{B} $ لديه الرتبة $ p $ أو رتبة عمودية كاملة (full column rank). إذا كان $ \mathbf{B} $ لا يحتوي على رتبة عمودية كاملة (full column rank)، فهناك تكرار في مداخل (inputs). على سبيل المثال، إذا كان العمود الثاني من $ \mathbf{B} $ يساوي العمود الأول من $ \mathbf{B} $، فيمكن إنشاء تأثير الثاني مدخل (input) على النظام من العمود الأول مدخل (input). وبالتالي فإن مدخل (input) الثاني زائدة عن الحاجة. في الختام، فإن حذف الأعمدة الخطية التابعة لـ $ \mathbf{B} $ والعمود المقابل مداخل (inputs) لن يؤثر على التحكم في النظام. وبالتالي فمن المعقول أن نفترض أن $ \mathbf{B} $ لديه رتبة عمودية كاملة (full column rank).

    إذا كانت $ (\mathbf{A},\mathbf{B}) $ هي قابل للتحكم (controllable)، فإن مصفوفة قابلية التحكم (controllability matrix) $ \mathcal{C} $ لها المرتبة $ n $، وبالتالي، $ n $ أعمدة مستقلة خطيًا. لاحظ أن هناك $ np $ أعمدة في $ \mathcal{C} $؛ لذلك، من الممكن العثور على العديد من مجموعات $ n $ من الأعمدة المستقلة خطيًا في $ \mathcal{C} $ . ونتناول فيما يلي أهم طريقة للبحث في هذه الأعمدة؛ يحدث البحث أيضا

    أن تكون أكثر طبيعية. اجعل $ \mathbf{b}_i $ هو العمود $ i $ من $ \mathbf{B} $ . ثم يمكن كتابة $ \mathcal{C} $ بشكل صريح كـ

    $$ \mathcal {C} = \left[ \mathbf {b} _ {1} \dots \mathbf {b} _ {p}: \mathbf {A} \mathbf {b} _ {1} \dots \mathbf {A} \mathbf {b} _ {p}: \dots : \mathbf {A} ^ {n - 1} \mathbf {b} _ {1} \dots \mathbf {A} ^ {n - 1} \mathbf {b} _ {p} \right] \tag {6.13} $$

    دعونا نبحث في الأعمدة المستقلة خطيًا لـ $ \mathcal{C} $ من اليسار إلى اليمين. بسبب نمط $ \mathcal{C} $، إذا كان $ \mathbf{A}^i\mathbf{b}_m $ يعتمد على أعمدة الجانب الأيسر (LHS)، فإن $ \mathbf{A}^{i + 1}\mathbf{b}_m $ سيعتمد أيضًا على أعمدة LHS الخاصة به. وهذا يعني أنه بمجرد أن يصبح العمود المرتبط بـ $ \mathbf{b}_m $ معتمدًا خطيًا، فإن جميع الأعمدة المرتبطة بـ $ \mathbf{b}_m $ بعد ذلك تعتمد خطيًا. دع $ \mu_{m} $ هو عدد الأعمدة المستقلة خطيًا المرتبطة بـ $ \mathbf{b}_m $ في $ \mathcal{C} $ . أي أن الأعمدة

    $$ \mathbf {b} _ {m}, \mathbf {A b} _ {m}, \dots , \mathbf {A} ^ {\mu_ {m} - 1} \mathbf {b} _ {m} $$

    مستقلة خطيًا في $ \mathcal{C} $ و $ \mathbf{A}^{\mu_m + i}\mathbf{b}_m $ لـ $ i = 0,1,\ldots $، تعتمد خطيًا. من الواضح أنه إذا كانت $ \mathcal{C} $ لها المرتبة $ n $، إذن

    $$ \mu_ {1} + \mu_ {2} + \dots + \mu_ {p} = n \tag {6.14} $$

    المجموعة $ \{\mu_1,\mu_2,\ldots ,\mu_p\} $ تسمى مؤشرات قابلية التحكم (controllability indices) و

    $$ \mu = \max \left(\mu_ {1}, \mu_ {2}, \dots , \mu_ {p}\right) $$

    يسمى مؤشر قابلية التحكم (controllability index) من $ (\mathbf{A},\mathbf{B}) $ . أو بشكل مكافئ، إذا كان $ (\mathbf{A},\mathbf{B}) $ هو قابل للتحكم (controllable)، فإن مؤشر قابلية التحكم (controllability index) $ \mu $ هو أقل عدد صحيح بحيث

    $$ \rho \left(\mathcal {C} _ {\mu}\right) = \rho \left([ \mathbf {B} \mathbf {A} \mathbf {B} \dots \mathbf {A} ^ {\mu - 1} \mathbf {B} ]\right) = n \tag {6.15} $$

    نعطي الآن نطاقًا من $ \mu $ . إذا كان $ \mu_1 = \mu_2 = \dots = \mu_p $ ، فعندئذ $ n/p \leq \mu $ . إذا كانت جميع $ \mu_m $، باستثناء واحد، تساوي 1، فإن $ \mu = n - (p - 1) $ ؛ هذا هو أكبر حجم ممكن $ \mu $ . اجعل $ \bar{n} $ هي درجة كثير الحدود الأدنى (minimal polynomial) من $ \mathbf{A} $ . إذن، بحكم التعريف، يوجد $ \alpha_i $ على هذا النحو

    $$ \mathbf {A} ^ {\bar {n}} = \alpha_ {1} \mathbf {A} ^ {\bar {n} - 1} + \alpha_ {2} \mathbf {A} ^ {\bar {n} - 2} + \dots + \alpha_ {\bar {n}} \mathbf {I} $$

    مما يعني أنه يمكن كتابة $ \mathbf{A}^{\bar{n}}\mathbf{B} $ كمجموعة خطية من $ \{\mathbf{B},\mathbf{A}\mathbf{B},\ldots ,\mathbf{A}^{\bar{n} -1}\mathbf{B}\} $ . وهكذا نستنتج

    $$ n / p \leq \mu \leq \min (\bar {n}, n - p + 1) \tag {6.16} $$

    حيث $ \rho(\mathbf{B}) = p $ . بسبب (6.16)، عند التحقق من قابلية التحكم (controllability)، ليس من الضروري التحقق من المصفوفة $ n \times np $ $ \mathcal{C} $ . يكفي التحقق من مصفوفة من الأعمدة الأصغر. نظرًا لأن درجة كثير الحدود الأدنى (minimal polynomial) غير متوفرة بشكل عام، في حين يمكن حساب رتبة $ \mathbf{B} $ بسهولة، يمكننا استخدام النتيجة الطبيعية التالية للتحقق من قابلية التحكم (controllability). الجزء الثاني من النتيجة الطبيعية يتبع النظرية 3.8. نذكر أن مؤشر قابلية التحكم (controllability index) يساوي ببساطة $ n $ لأي مفرد المدخلات مفرد المخرجات (SISO) أو مفرد المدخلات متعدد المخرجات (SIMO) $ n $ - الأبعاد قابل للتحكم (controllable) معادلة فضاء الحالة (state-space equation).

    النتيجة الطبيعية 6.1 

    زوج الأبعاد $ n $ $ (\mathbf{A},\mathbf{B}) $ هو قابل للتحكم (controllable) إذا وفقط إذا كانت المصفوفة

    $$ \mathcal {C} _ {n - p + 1} := \left[ \mathbf {B} \mathbf {A} \mathbf {B} \dots \mathbf {A} ^ {n - p} \mathbf {B} \right] \tag {6.17} $$

    حيث أن $ \rho (\mathbf{B}) = p $ ، لها الرتبة $ n $ أو المصفوفة $ n\times n $ $ \mathcal{C}_{n - p + 1}\mathcal{C}_{n - p + 1}^{\prime} $ هي غير مفرد (nonsingular).

    مثال 6.2.5 خذ بعين الاعتبار نظام الأقمار الصناعية الذي تمت دراسته في الشكل 2.15. تم تطويره الخطي معادلة فضاء الحالة (state-space equation) في (2.48). من المعادلة، يمكننا أن نرى أن التحكم في الأربعة الأولى متغيرات الحالة (state variables) بواسطة أول اثنين مداخل (inputs) والتحكم في الأخيرين متغيرات الحالة (state variables) بواسطة الأخير مدخل (input) منفصلان؛ لذلك، يمكننا النظر فقط في المعادلة الفرعية التالية لـ (2.48):

    $$ \begin{array}{l} \dot {\mathbf {x}} (t) = \left[ \begin{array}{l l l l} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 2 & 0 & 0 \end{array} \right] \mathbf {x} (t) + \left[ \begin{array}{l l} 0 & 0 \\ 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right] \mathbf {u} (t) \\ \mathbf {y} (t) = \left[ \begin{array}{c c c c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array} \right] \mathbf {x} (t) \tag {6.18} \\ \end{array} $$

    حيث افترضنا، من أجل البساطة، $ \omega_0 = m = r_o = 1 $ . مصفوفة قابلية التحكم (controllability matrix) من (6.18) من الرتبة $ 4 \times 8 $ . إذا استخدمنا النتيجة الطبيعية 6.1، فيمكننا التحقق من قابلية التحكم (controllability) باستخدام المصفوفة $ 4 \times 6 $ التالية

    $$ [ \mathbf {B} \mathbf {A B} \mathbf {A} ^ {2} \mathbf {B} ] = \left[ \begin{array}{c c c c c c} 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 2 \\ 1 & 0 & 0 & 2 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - 2 & 0 \\ 0 & 1 & - 2 & 0 & 0 & - 4 \end{array} \right] \tag {6.19} $$

    لديها المرتبة 4. وبالتالي (6.18) هو قابل للتحكم (controllable). من (6.19)، يمكننا بسهولة التحقق من أن مؤشرات قابلية التحكم (controllability indices) هما 2 و2، ومؤشر قابلية التحكم (controllability index) هو 2.

    نظرية 6.2 

    الخاصية قابلية التحكم (controllability) ثابتة تحت أي تحويل مكافئ (equivalence transformation).

    الدليل: اعتبر الزوج $ (\mathbf{A},\mathbf{B}) $ مع مصفوفة قابلية التحكم (controllability matrix)

    $$ \mathcal {C} = \left[ \begin{array}{l l l l} \mathbf {B} & \mathbf {A B} & \dots & \mathbf {A} ^ {n - 1} \mathbf {B} \end{array} \right] $$

    وزوجها المكافئ $ (\bar{\mathbf{A}},\bar{\mathbf{B}}) $ مع $ \bar{\mathbf{A}} = \mathbf{PAP}^{-1} $ و $ \bar{\mathbf{B}} = \mathbf{PB} $، حيث تكون $ \mathbf{P} $ مصفوفة غير مفرد (nonsingular). مصفوفة قابلية التحكم (controllability matrix) من $ (\bar{\mathbf{A}},\bar{\mathbf{B}}) $ هو

    $$ \begin{array}{l} \bar {\mathcal {C}} = [ \bar {\mathbf {B}} \bar {\mathbf {A}} \bar {\mathbf {B}} \dots \bar {\mathbf {A}} ^ {n - 1} \bar {\mathbf {B}} ] \\ = [ \mathbf {P B} \quad \mathbf {P A P} ^ {- 1} \mathbf {P B} \dots \mathbf {P A} ^ {n - 1} \mathbf {P} ^ {- 1} \mathbf {P B} ] \\ = [ \mathbf {P B} \quad \mathbf {P A B} \dots \quad \mathbf {P A} ^ {n - 1} \mathbf {B} ] \\ = \mathbf {P} [ \mathbf {B} \quad \mathbf {A B} \dots \quad \mathbf {A} ^ {n - 1} \mathbf {B} ] = \mathbf {P C} \tag {6.20} \\ \end{array} $$

    لأن $ \mathbf{P} $ هو غير مفرد (nonsingular)، لدينا $ \rho(\mathcal{C}) = \rho(\bar{\mathcal{C}}) $ (انظر المعادلة (3.62)). يؤدي هذا إلى إنشاء النظرية 6.2. Q.E.D.

    نظرية 6.3 

    مجموعة مؤشرات قابلية التحكم (controllability indices) من $ (\mathbf{A},\mathbf{B}) $ ثابتة تحت أي تحويل مكافئ (equivalence transformation) وأي إعادة ترتيب لأعمدة $ \mathbf{B} $ .

    الدليل: دعونا نحدد

    $$ \mathcal {C} _ {k} = \left[ \mathbf {B} \mathbf {A} \mathbf {B} \dots \mathbf {A} ^ {k - 1} \mathbf {B} \right] \tag {6.21} $$

    ثم لدينا، بعد إثبات النظرية 6.2،

    $$ \rho \left(\mathcal {C} _ {k}\right) = \rho \left(\bar {\mathcal {C}} _ {k}\right) $$

    لـ $ k = 0,1,2,\ldots $ . وبالتالي فإن مجموعة مؤشرات قابلية التحكم (controllability indices) ثابتة تحت أي تحويل مكافئ (equivalence transformation).

    يمكن تحقيق إعادة ترتيب أعمدة $ \mathbf{B} $ من خلال

    $$ \hat {\mathbf {B}} = \mathbf {B} \mathbf {M} $$

    حيث $ \mathbf{M} $ هي مصفوفة التقليب $ p\times p $ غير مفرد (nonsingular). من السهل التحقق منها

    $$ \hat {\mathcal {C}} _ {k} := [ \hat {\mathbf {B}} \mathbf {A} \hat {\mathbf {B}} \dots \mathbf {A} ^ {k - 1} \hat {\mathbf {B}} ] = \mathcal {C} _ {k} \operatorname {d i a g} (\mathbf {M}, \mathbf {M}, \dots , \mathbf {M}) $$

    نظرًا لأن $ \operatorname{diag}(\mathbf{M},\mathbf{M},\dots ,\mathbf{M}) $ هو غير مفرد (nonsingular)، فلدينا $ \rho (\mathcal{C}_k) = \rho (\mathcal{C}_k) $ لـ $ k = 0,1,\ldots $ . وبالتالي فإن مجموعة مؤشرات قابلية التحكم (controllability indices) تكون ثابتة تحت أي إعادة ترتيب لأعمدة $ \mathbf{B} $ . Q.E.D.

    نظرًا لأن مجموعة مؤشرات قابلية التحكم (controllability indices) ثابتة تحت أي تحويل مكافئ (equivalence transformation) وأي إعادة ترتيب لـ مداخل (inputs)، فهي خاصية جوهرية للنظام يصفها معادلة فضاء الحالة (state-space equation). الأهمية المادية لـ مؤشر قابلية التحكم (controllability index) ليست شفافة هنا، ولكنها تصبح واضحة في حالة زمن متقطع (discrete-time). كما سنناقش في الفصول اللاحقة، يمكن أيضًا حساب مؤشر قابلية التحكم (controllability index) من مصفوفات التحويل (transfer matrices) ويحدد الحد الأدنى من الدرجة المطلوبة لتحقيق وضع القطب ومطابقة النموذج.