6.2 قابلية التحكم (controllability) 

خذ بعين الاعتبار $ n $ - الأبعاد $ p $ - مدخل (input) معادلة الحالة (state equation)

$$ \dot {\mathbf {x}} (t) = \mathbf {A} \mathbf {x} (t) + \mathbf {B} \mathbf {u} (t) \tag {6.1} $$

حيث أن $ \mathbf{A} $ و$ \mathbf{B} $ هما، على التوالي، $ n \times n $ و$ n \times p $ مصفوفات ثابتة حقيقية. نظرًا لأن مخرج (output) لا تلعب أي دور في قابلية التحكم (controllability)، فسوف نتجاهل المعادلة مخرج (output) في هذه الدراسة.

التعريف 6.1 يُقال أن معادلة الحالة (state equation) (6.1) أو الزوج $ (\mathbf{A},\mathbf{B}) $ هو قابل للتحكم (controllable) إذا كان لأي الحالة الابتدائية (initial state) $ \mathbf{x}(0) = \mathbf{x}_0 $ وأي الحالة النهائية (final state) $ \mathbf{x}_1 $، يوجد مدخل (input) ينقل $ \mathbf{x}_0 $ إلى $ \mathbf{x}_1 $ في وقت محدد. بخلاف ذلك (6.1) أو $ (\mathbf{A},\mathbf{B}) $ يقال أنه غير قابل للتحكم (uncontrollable).

يتطلب هذا التعريف فقط أن يكون مدخل (input) قادرًا على نقل أي حالة (state) في فضاء الحالة (state space) إلى أي حالة (state) آخر في وقت محدد؛ لم يتم تحديد المسار الذي يجب أن يتخذه حالة (state). علاوة على ذلك، لا توجد قيود مفروضة على مدخل (input)؛ يمكن أن يكون حجمه كبيرًا حسب الرغبة. نعطي مثالا لتوضيح المفهوم.

مثال 6.2.1 ضع في اعتبارك دائرة (circuit) الموضح في الشكل 6.2(a). إن متغير الحالة (state variable) $ x $ هو جهد (voltage) عبر مكثف (capacitor). إذا كان $ x(0) = 0 $، فسيتم تطبيق $ x(t) = 0 $ لجميع $ t \geq 0 $ بغض النظر عن مدخل (input). ويرجع ذلك إلى تناظر دائرة (circuit)، وليس لـ مدخل (input) أي تأثير على جهد (voltage) عبر مكثف (capacitor). وبالتالي فإن النظام، أو بشكل أكثر دقة، معادلة الحالة (state equation) الذي يصف النظام ليس قابل للتحكم (controllable).

بعد ذلك نفكر في دائرة (circuit) الموضح في الشكل 6.2(ب). يحتوي على اثنين متغيرات الحالة (state variables) $ x_{1} $ و$ x_{2} $ كما هو موضح. يمكن لـ مدخل (input) نقل $ x_{1} $ أو $ x_{2} $ إلى أي قيمة؛ لكن لا يمكنه نقل $ x_{1} $ و$ x_{2} $ إلى أية قيم. على سبيل المثال، إذا كان $ x_{1}(0) = x_{2}(0) = 0 $، فلا يهم مدخل (input)

الشكل 6.2 غير قابل للتحكم (uncontrollable) دوائر (circuits).

يتم تطبيقه، $ x_{1}(t) $ يساوي دائمًا $ x_{2}(t) $ لجميع $ t \geq 0 $ . وبالتالي فإن المعادلة التي تصف دائرة (circuit) ليست قابل للتحكم (controllable).

نظرية 6.1 

البيانات حالة (state) التالية متكافئة.

زوج الأبعاد $ n $ $ (\mathbf{A},\mathbf{B}) $ هو قابل للتحكم (controllable).
المصفوفة $ n \times n $.

$$ \mathbf {W} _ {c} (t) = \int_ {0} ^ {t} e ^ {\mathbf {A} \tau} \mathbf {B} \mathbf {B} ^ {\prime} e ^ {\mathbf {A} ^ {\prime} \tau} d \tau = \int_ {0} ^ {t} e ^ {\mathbf {A} (t - \tau)} \mathbf {B} \mathbf {B} ^ {\prime} e ^ {\mathbf {A} ^ {\prime} (t - \tau)} d \tau \tag {6.2} $$

هو غير مفرد (nonsingular) لأي $ t > 0 $ .

$ n \times np $ مصفوفة قابلية التحكم (controllability matrix)

$$ \mathcal {C} = \left[ \mathbf {B} \mathbf {A} \mathbf {B} \mathbf {A} ^ {2} \mathbf {B} \dots \mathbf {A} ^ {n - 1} \mathbf {B} \right] \tag {6.3} $$

لديه الرتبة $ n $ (رتبة صفية كاملة (full row rank)).

تحتوي المصفوفة $ n \times (n + p) $ $ [\mathbf{A} - \lambda \mathbf{I}\mathbf{B}] $ على رتبة صفية كاملة (full row rank) عند كل قيمة ذاتية (eigenvalue)، $ \lambda $، من $ \mathbf{A} $ .¹
بالإضافة إلى ذلك، إذا كانت جميع قيم ذاتية (eigenvalues) من $ \mathbf{A} $ تحتوي على أجزاء حقيقية سالبة، فإن الحل الفريد لـ

$$ \mathbf {A} \mathbf {W} _ {c} + \mathbf {W} _ {c} \mathbf {A} ^ {\prime} = - \mathbf {B B} ^ {\prime} \tag {6.4} $$

هو معرفة موجبة (positive definite). الحل يسمى غراميان قابلية التحكم (controllability Gramian) ويمكن التعبير عنه بـ

$$ \mathbf {W} _ {c} = \int_ {0} ^ {\infty} e ^ {\mathbf {A} \tau} \mathbf {B} \mathbf {B} ^ {\prime} e ^ {\mathbf {A} ^ {\prime} \tau} d \tau \tag {6.5} $$

البرهان: (1) $ \leftrightarrow $ (2): أولا نبين تكافؤ الشكلين في (6.2). دعونا نقدم متغير التكامل الجديد $ \bar{\tau} := t - \tau $، حيث تم إصلاح $ t $. ثم لدينا

$$ \begin{array}{l} \int_ {\tau = 0} ^ {t} e ^ {\mathbf {A} (t - \tau)} \mathbf {B B} ^ {\prime} e ^ {\mathbf {A} ^ {\prime} (t - \tau)} d \tau = \int_ {\bar {\tau} = t} ^ {0} e ^ {\mathbf {A} \bar {\tau}} \mathbf {B B} ^ {\prime} e ^ {\mathbf {A} ^ {\prime} \bar {\tau}} (- d \bar {\tau}) \\ = \int_ {\bar {\tau} = 0} ^ {t} e ^ {\mathbf {A} \bar {\tau}} \mathbf {B B} ^ {\prime} e ^ {\mathbf {A} ^ {\prime} \bar {\tau}} d \bar {\tau} \\ \end{array} $$

يصبح الشكل الأول لـ (6.2) بعد استبدال $ \bar{\tau} $ بـ $ \tau $ . بسبب شكل التكامل، $ \mathbf{W}_c(t) $ يكون دائمًا شبه معرفة موجبة (positive semidefinite)؛ إنه معرفة موجبة (positive definite) إذا وفقط إذا كان غير مفرد (nonsingular). راجع القسم 3.9.

نوضح أولاً أنه إذا كان $ \mathbf{W}_c(t) $ هو غير مفرد (nonsingular)، فإن (6.1) هو قابل للتحكم (controllable). تم اشتقاق استجابة (6.1) في الوقت $ t_1 $ في (4.5) كـ

$$ \mathbf {x} \left(t _ {1}\right) = e ^ {\mathbf {A} t _ {1}} \mathbf {x} (0) + \int_ {0} ^ {t _ {1}} e ^ {\mathbf {A} \left(t _ {1} - \tau\right)} \mathbf {B} \mathbf {u} (\tau) d \tau \tag {6.6} $$

نحن ندعي أنه بالنسبة لأي $ \mathbf{x}(0) = \mathbf{x}_0 $ وأي $ \mathbf{x}(t_1) = \mathbf{x}_1 $، فإن مدخل (input)

$$ \mathbf {u} (t) = - \mathbf {B} ^ {\prime} e ^ {\mathbf {A} ^ {\prime} (t _ {1} - t)} \mathbf {W} _ {c} ^ {- 1} (t _ {1}) [ e ^ {\mathbf {A} t _ {1}} \mathbf {x} _ {0} - \mathbf {x} _ {1} ] \tag {6.7} $$

سيتم نقل $ \mathbf{x}_0 $ إلى $ \mathbf{x}_1 $ في الوقت $ t_1 $ . في الواقع، يؤدي استبدال (6.7) إلى (6.6) إلى الحصول على نتيجة

$$ \begin{array}{l} \mathbf {x} (t _ {1}) = e ^ {\mathbf {A} t _ {1}} \mathbf {x} _ {0} - \left(\int_ {0} ^ {t _ {1}} e ^ {\mathbf {A} (t _ {1} - \tau)} \mathbf {B B} ^ {\prime} e ^ {\mathbf {A} ^ {\prime} (t _ {1} - \tau)} d \tau\right) \mathbf {W} _ {c} ^ {- 1} (t _ {1}) [ e ^ {\mathbf {A} t _ {1}} \mathbf {x} _ {0} - \mathbf {x} _ {1} ] \\ = e ^ {\mathbf {A} t _ {1}} \mathbf {x} _ {0} - \mathbf {W} _ {c} (t _ {1}) \mathbf {W} _ {c} ^ {- 1} (t _ {1}) [ e ^ {\mathbf {A} t _ {1}} \mathbf {x} _ {0} - \mathbf {x} _ {1} ] = \mathbf {x} _ {1} \\ \end{array} $$

يوضح هذا أنه إذا كان $ \mathbf{W}_c $ هو غير مفرد (nonsingular)، فإن الزوج $ (\mathbf{A}, \mathbf{B}) $ هو قابل للتحكم (controllable). ونبين العكس بالتناقض. لنفترض أن الزوج هو قابل للتحكم (controllable) لكن $ \mathbf{W}_c(t_1) $ ليس معرفة موجبة (positive definite) بالنسبة لبعض $ t_1 $ . ثم يوجد متجه غير صفري $ n \times 1 $ $ \mathbf{v} $ بحيث

$$ \begin{array}{l} \mathbf {v} ^ {\prime} \mathbf {W} _ {c} (t _ {1}) \mathbf {v} = \int_ {0} ^ {t _ {1}} \mathbf {v} ^ {\prime} e ^ {\mathbf {A} (t _ {1} - \tau)} \mathbf {B B} ^ {\prime} e ^ {\mathbf {A} ^ {\prime} (t _ {1} - \tau)} \mathbf {v} d \tau \\ = \int_ {0} ^ {t _ {1}} \left| \left| \mathbf {B} ^ {\prime} e ^ {\mathbf {A} ^ {\prime} (t _ {1} - \tau)} \mathbf {v} \right| \right| ^ {2} d \tau = 0 \\ \end{array} $$

مما يعني

$$ \mathbf {B} ^ {\prime} e ^ {\mathbf {A} ^ {\prime} \left(t _ {1} - \tau\right)} \mathbf {v} \equiv \mathbf {0} \quad \text{or} \quad \mathbf {v} ^ {\prime} e ^ {\mathbf {A} \left(t _ {1} - \tau\right)} \mathbf {B} \equiv \mathbf {0} \tag {6.8} $$

لجميع $ \tau $ في $ [0, t_1] $ . إذا كانت (6.1) هي قابل للتحكم (controllable)، يوجد مدخل (input) الذي ينقل الحالة الابتدائية (initial state) $ \mathbf{x}(0) = e^{-\mathbf{A}t_1}\mathbf{v} $ إلى $ \mathbf{x}(t_1) = \mathbf{0} $ ويصبح (6.6)

$$ \mathbf {0} = \mathbf {v} + \int_ {0} ^ {t _ {1}} e ^ {\mathbf {A} (t _ {1} - \tau)} \mathbf {B} \mathbf {u} (\tau) d \tau $$

ينتج عن النسخ الأولي خطي ثابت زمنيا (LTI) بواسطة $ \mathbf{v}' $

$$ 0 = \mathbf {v} ^ {\prime} \mathbf {v} + \int_ {0} ^ {t _ {1}} \mathbf {v} ^ {\prime} e ^ {\mathbf {A} (t _ {1} - \tau)} \mathbf {B u} (\tau) d \tau = | | \mathbf {v} | | ^ {2} + 0 $$

وهو ما يتعارض مع $ \mathbf{v} \neq \mathbf{0} $ . وهذا يحدد التكافؤ بين (1) و (2).

(2) $ \leftrightarrow $ (3): لأن كل إدخال في $ e^{\mathbf{A}t}\mathbf{B} $، كما تمت مناقشته في نهاية القسم 4.2، دالة تحليلية لـ $ t $، إذا كانت $ \mathbf{W}_c(t) $ هي غير مفرد (nonsingular) لبعض $ t $، فهو غير مفرد (nonsingular) لجميع $ t $ في $ (- \infty, \infty) $ . انظر المرجع 6، ص. 554. بسبب تكافؤ النموذجين في (6.2)، (6.8) يعني أن $ \mathbf{W}_c(t) $ هو غير مفرد (nonsingular) إذا وفقط إذا لم يكن هناك $ n \times 1 $ متجه غير صفري $ \mathbf{v} $ بحيث

$$ \mathbf {v} ^ {\prime} e ^ {\mathbf {A} t} \mathbf {B} = \mathbf {0} \quad \text{for all} t \tag {6.9} $$

نوضح الآن أنه إذا كان $ \mathbf{W}_c(t) $ هو غير مفرد (nonsingular)، فإن مصفوفة قابلية التحكم (controllability matrix) $ \mathcal{C} $ لديه رتبة صفية كاملة (full row rank). لنفترض أن $ \mathcal{C} $ لا يحتوي على رتبة صفية كاملة (full row rank)، إذن يوجد متجه غير صفري $ n \times 1 $ $ \mathbf{v} $ بحيث يكون $ \mathbf{v}'\mathcal{C} = \mathbf{0} $ أو

$$ \mathbf {v} ^ {\prime} \mathbf {A} ^ {k} \mathbf {B} = \mathbf {0} \quad \text{for} k = 0, 1, 2, \dots , n - 1 $$

نظرًا لأنه يمكن التعبير عن $ e^{\mathbf{A}t}\mathbf{B} $ كمجموعة خطية من $ \{\mathbf{B},\mathbf{AB},\dots,\mathbf{A}^{n - 1}\mathbf{B}\} $ (النظرية 3.5)، فإننا نستنتج $ \mathbf{v}'e^{\mathbf{A}t}\mathbf{B} = \mathbf{0} $ . وهذا يتعارض مع افتراض غير مفرد (nonsingular) لـ $ \mathbf{W}_c(t) $ . وبالتالي فإن الشرط (2) يتضمن الشرط (3). لإظهار

والعكس، لنفترض أن $ \mathcal{C} $ لديه رتبة صفية كاملة (full row rank) ولكن $ \mathbf{W}_c(t) $ هو مفرد (singular). ثم يوجد $ \mathbf{v} $ غير صفري بحيث يحمل (6.9). يؤدي الإعداد $ t = 0 $ إلى الحصول على $ \mathbf{v}'\mathbf{B} = \mathbf{0} $ . التفريق (6.9) ثم الإعداد $ t = 0 $ يؤدي إلى $ \mathbf{v}'\mathbf{AB} = \mathbf{0} $ . يؤدي المضي قدمًا إلى إنتاج $ \mathbf{v}'\mathbf{A}^k\mathbf{B} = \mathbf{0} $ لـ $ k = 0, 1, 2, \ldots $ . يمكن ترتيبها على النحو

$$ \mathbf {v} ^ {\prime} [ \mathbf {B} \mathbf {A B} \dots \mathbf {A} ^ {n - 1} \mathbf {B} ] = \mathbf {v} ^ {\prime} \mathcal {C} = \mathbf {0} $$

وهذا يتناقض مع الفرضية القائلة بأن $ \mathcal{C} $ لديه رتبة صفية كاملة (full row rank). وهذا يدل على تكافؤ (2) و (3).

(3) $ \leftrightarrow $ (4): إذا كان $ \mathcal{C} $ يحتوي على رتبة صفية كاملة (full row rank)، فإن المصفوفة $ [\mathbf{A} - \lambda \mathbf{I} \mathbf{B}] $ تحتوي على رتبة صفية كاملة (full row rank) عند كل قيمة ذاتية (eigenvalue) من $ \mathbf{A} $ . إذا لم يكن الأمر كذلك، فهناك متجه قيمة ذاتية (eigenvalue) $ \lambda_{1} $ و$ 1 \times n $ متجه $ \mathbf{q} \neq \mathbf{0} $ بحيث

$$ \mathbf {q} [ \mathbf {A} - \lambda_ {1} \mathbf {I B} ] = \mathbf {0} $$

مما يعني ضمنا $ \mathbf{qA} = \lambda_1\mathbf{q} $ و $ \mathbf{qB} = \mathbf{0} $ . وبالتالي فإن $ \mathbf{q} $ هو متجه ذاتي يساري (left eigenvector) من $ \mathbf{A} $ . نحن نحسب

$$ \mathbf {q} \mathbf {A} ^ {2} = (\mathbf {q} \mathbf {A}) \mathbf {A} = (\lambda_ {1} \mathbf {q}) \mathbf {A} = \lambda_ {1} ^ {2} \mathbf {q} $$

للمضي قدمًا، لدينا $ \mathbf{qA}^k = \lambda_1^k\mathbf{q} $ . وهكذا لدينا

$$ \mathbf {q} [ \mathbf {B} \mathbf {A} \mathbf {B} \dots \mathbf {A} ^ {n - 1} \mathbf {B} ] = [ \mathbf {q} \mathbf {B} \lambda_ {1} \mathbf {q} \mathbf {B} \dots \lambda_ {1} ^ {n - 1} \mathbf {q} \mathbf {B} ] = \mathbf {0} $$

وهذا يتناقض مع الفرضية القائلة بأن $ \mathcal{C} $ لديه رتبة صفية كاملة (full row rank).

لكي نبين أن $ \rho(\mathcal{C}) < n $ تتضمن $ \rho([A - \lambda I B]) < n $ في بعض $ \lambda_1 $ $ A $ من $ A $، نحتاج إلى نظريتين 6.2 و6.6، والتي سيتم تحديدها لاحقًا. النظرية 6.2 حالة (state) هي أن قابلية التحكم (controllability) غير متغير تحت أي تحويل مكافئ (equivalence transformation). لذلك قد نعرض $ \rho([A - \lambda I B]) < n $ في بعض قيمة ذاتية (eigenvalue) من $ \bar{A} $ حيث يكون $ (\bar{A}, \bar{B}) $ مكافئًا لـ $ (A, B) $ . النظرية 6.6 حالة (state) هي أنه إذا كانت رتبة $ \mathcal{C} $ أقل من $ n $ أو $ \rho(\mathcal{C}) = n - m $، لبعض الأعداد الصحيحة $ m \geq 1 $، فهناك مصفوفة غير مفرد (nonsingular) $ \mathbf{P} $ هكذا

$$ \bar {\mathbf {A}} = \mathbf {P} \mathbf {A} \mathbf {P} ^ {- 1} = \left[ \begin{array}{c c} \bar {\mathbf {A}} _ {c} & \bar {\mathbf {A}} _ {1 2} \\ \mathbf {0} & \bar {\mathbf {A}} _ {\bar {c}} \end{array} \right], \quad \bar {\mathbf {B}} = \mathbf {P} \mathbf {B} = \left[ \begin{array}{c} \bar {\mathbf {B}} _ {c} \\ \mathbf {0} \end{array} \right] $$

حيث $ \bar{\mathbf{A}}_{\bar{c}} $ هو $ m\times m $ . دع $ \lambda_{1} $ يكون قيمة ذاتية (eigenvalue) من $ \bar{\mathbf{A}}_{\bar{c}} $ و$ \mathbf{q}_1 $ يكون $ 1\times m $ مطابقًا غير صفري متجه ذاتي يساري (left eigenvector) أو $ \mathbf{q}_1\bar{\mathbf{A}}_{\bar{c}} = \lambda_1\mathbf{q}_1 $ . ثم لدينا $ \mathbf{q}_1(\bar{\mathbf{A}}_{\bar{c}} - \lambda_1\mathbf{I}) = \mathbf{0} $ . الآن نشكل المتجه $ 1\times n $ $ \mathbf{q} := [\mathbf{0}\quad \mathbf{q}_1] $ . نحن نحسب

$$ \mathbf {q} [ \bar {\mathbf {A}} - \lambda_ {1} \mathbf {I} \bar {\mathbf {B}} ] = [ \mathbf {0} \quad \mathbf {q} _ {1} ] \left[ \begin{array}{c c c} \bar {\mathbf {A}} _ {c} - \lambda_ {1} \mathbf {I} & \bar {\mathbf {A}} _ {1 2} & \bar {\mathbf {B}} _ {c} \\ \mathbf {0} & \bar {\mathbf {A}} _ {\bar {c}} - \lambda_ {1} \mathbf {I} & \mathbf {0} \end{array} \right] = \mathbf {0} \tag {6.10} $$

مما يعني $ \rho ([\bar{\mathbf{A}} -\lambda \mathbf{I}\bar{\mathbf{B}} ]) < n $، وبالتالي، $ \rho ([\mathbf{A} - \lambda \mathbf{I}\mathbf{B}]) < n $ في بعض قيمة ذاتية (eigenvalue) من $ \mathbf{A} $ . وهذا يحدد التكافؤ بين (3) و (4).

(2) $ \leftrightarrow $ (5): إذا كانت $ \mathbf{A} $ مستقرة، فيمكن التعبير عن الحل الفريد لـ (6.4) كما في (6.5) (النظرية 5.6). غراميان (Gramian) $ \mathbf{W}_c $ هو دائمًا شبه معرفة موجبة (positive semidefinite). يكون معرفة موجبة (positive definite) إذا وفقط إذا كان $ \mathbf{W}_c $ هو غير مفرد (nonsingular). وهذا يحدد التكافؤ بين (2) و (5). Q.E.D.

مثال 6.2.2 خذ بعين الاعتبار البندول المقلوب الذي تمت دراسته في المثال 2.6.3. تم تطوير معادلة فضاء الحالة (state-space equation) في (2.46). لنفترض أن المعادلة تصبح لبندول معين

$$ \dot {\mathbf {x}} (t) = \left[ \begin{array}{l l l l} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 5 & 0 \end{array} \right] \mathbf {x} (t) + \left[ \begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 0 \\ - 2 \end{array} \right] u (t) \tag {6.11} $$

$$ y (t) = \left[ \begin{array}{l l l l} 1 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right] \mathbf {x} (t) $$

نحن نحسب

$$ \mathcal {C} = \left[ \begin{array}{c c c c} \mathbf {B} & \mathbf {A B} & \mathbf {A} ^ {2} \mathbf {B} & \mathbf {A} ^ {3} \mathbf {B} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c c c c} 0 & 1 & 0 & 2 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 & - 1 0 \\ - 2 & 0 & - 1 0 & 0 \end{array} \right] $$

يمكن إظهار أن هذه المصفوفة لها المرتبة 4؛ وبالتالي فإن النظام هو قابل للتحكم (controllable). لذلك، إذا انحرف $ x_{3} = \theta $ عن الصفر قليلاً، فيمكننا العثور على عنصر تحكم $ u $ لإعادته إلى الصفر. في الواقع، يوجد عنصر تحكم لإعادة $ x_{1} = y $ و $ x_{3} $ ومشتقاتهما إلى الصفر. وهذا يتوافق مع تجربتنا في موازنة المكنسة على راحة يدنا.

ستقوم وظائف MATLAB ctrb وgram بإنشاء مصفوفة قابلية التحكم (controllability matrix) وغراميان قابلية التحكم (controllability Gramian). لاحظ أن غراميان قابلية التحكم (controllability Gramian) لا يتم حسابه من (6.5)؛ ويتم الحصول عليها عن طريق حل مجموعة من المعادلات الجبرية الخطية. يمكن بعد ذلك تحديد ما إذا كان معادلة الحالة (state equation) هو قابل للتحكم (controllable) عن طريق حساب رتبة مصفوفة قابلية التحكم (controllability matrix) أو غراميان (Gramian) باستخدام رتبة دالة MATLAB.

مثال 6.2.3 خذ بعين الاعتبار نظام المنصة الموضح في الشكل 6.3؛ ويمكن استخدامه لدراسة أنظمة التعليق للسيارات. يتكون النظام من منصة واحدة؛ يتم دعم طرفي المنصة على الأرض عن طريق النوابض ونقاط القياس التي توفر احتكاكات لزجة. من المفترض أن تكون كتلة المنصة صفرًا؛ وبالتالي فإن حركات نظامي الزنبرك مستقلة، ويتم تطبيق نصف القوة على كل نظام زنبركي. يفترض أن ثوابت الزنبرك لكلا الزنبركين هي 1، ومعاملات الاحتكاك اللزج يفترض أن تكون 2 و1 كما هو موضح. إذا تم اختيار إزاحات نظامي الزنبرك من التوازن كـ متغيرات الحالة (state variables) $ x_{1} $ و $ x_{2} $ ،

الشكل 6.3 نظام المنصة.

ثم لدينا $ x_{1} + 2\dot{x}_{1} = u $ و$ x_{2} + \dot{x}_{2} = u $ أو

$$ \dot {\mathbf {x}} (t) = \left[ \begin{array}{c c} - 0. 5 & 0 \\ 0 & - 1 \end{array} \right] \mathbf {x} (t) + \left[ \begin{array}{c} 0. 5 \\ 1 \end{array} \right] u (t) \tag {6.12} $$

يصف هذا معادلة الحالة (state equation) النظام.

الآن، إذا كانت الإزاحات الأولية مختلفة عن الصفر، وإذا لم يتم تطبيق أي قوة، فستعود المنصة إلى الصفر بشكل أسي. من الناحية النظرية، سيستغرق الأمر وقتًا لا نهائيًا حتى يساوي $ x_{i} $ 0 تمامًا. نطرح الآن المشكلة: إذا كان $ x_{1}(0) = 10 $ و$ x_{2}(0) = -1 $، فهل يمكننا تطبيق قوة لجلب المنصة إلى التوازن خلال ثانيتين. لا يبدو أن الإجابة واضحة، لأنه يتم تطبيق نفس القوة على نظامي الزنبرك.

بالنسبة للمعادلة في (6.12)، فإننا نحسب

$$ \rho ([ \mathbf {B} \mathbf {A B} ]) = \rho \left[ \begin{array}{c c} 0. 5 & - 0. 2 5 \\ 1 & - 1 \end{array} \right] = 2 $$

وبالتالي فإن المعادلة هي قابل للتحكم (controllable)، وبالنسبة لأي $ \mathbf{x}(0) $، يوجد مدخل (input) الذي ينقل $ \mathbf{x}(0) $ إلى $ \mathbf{0} $ في ثانيتين أو في أي وقت محدد. نقوم بحساب (6.2) و (6.7) لهذا النظام في $ t_1 = 2 $ :

$$ \begin{array}{l} \mathbf {W} _ {c} (2) = \int_ {0} ^ {2} \left(\left[ \begin{array}{c c} e ^ {- 0. 5 \tau} & 0 \\ 0 & e ^ {- \tau} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{l} 0. 5 \\ 1 \end{array} \right] [ 0. 5 \quad 1 ] \left[ \begin{array}{c c} e ^ {- 0. 5 \tau} & 0 \\ 0 & e ^ {- \tau} \end{array} \right]\right) d \tau \\ = \left[ \begin{array}{l l} 0. 2 1 6 2 & 0. 3 1 6 7 \\ 0. 3 1 6 7 & 0. 4 9 0 8 \end{array} \right] \\ \end{array} $$

$$ \begin{array}{l} u _ {1} (t) = - [ 0. 5 \quad 1 ] \left[ \begin{array}{c c} e ^ {- 0. 5 (2 - t)} & 0 \\ 0 & e ^ {- (2 - t)} \end{array} \right] \mathbf {W} _ {c} ^ {- 1} (2) \left[ \begin{array}{c c} e ^ {- 1} & 0 \\ 0 & e ^ {- 2} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} 1 0 \\ - 1 \end{array} \right] \\ = - 5 8. 8 2 e ^ {0. 5 t} + 2 7. 9 6 e ^ {t} \\ \end{array} $$

لـ $ t $ في [0، 2]. ستنقل هذه القوة مدخل (input) $ \mathbf{x}(0) = [10 - 1]' $ إلى $ [00]' $ في ثانيتين كما هو موضح في الشكل. 6.4(a)، حيث يتم رسم مدخل (input) أيضًا. يتم الحصول عليها باستخدام دالة MATLAB lsim، وهي اختصار للمحاكاة الخطية. أكبر حجم لـ مدخل (input) يبلغ حوالي 45.

الشكل 6.4(ب) يرسم مدخل (input) $ u_{2} $ الذي ينقل $ \mathbf{x}(0) = [10 - 1]^{\prime} $ إلى $ \mathbf{0} $ في 4 ثوانٍ. نرى أنه كلما كانت الفترة الزمنية أصغر، زاد حجم مدخل (input). إذا لم يتم فرض أي قيود على مدخل (input)، فيمكننا نقل $ \mathbf{x}(0) $ إلى الصفر في فترة زمنية صغيرة بشكل تعسفي؛ ومع ذلك، قد يصبح حجم مدخل (input) كبيرًا جدًا. إذا تم فرض بعض القيود على القدر مدخل (input)، فلن نتمكن من تحقيق النقل بالسرعة المطلوبة. على سبيل المثال، إذا طلبنا $ |u(t)| < 9 $ لجميع $ t $، في المثال 6.2.3، فلا يمكننا نقل $ \mathbf{x}(0) $ إلى $ \mathbf{0} $ في أقل من 4 ثوانٍ. نلاحظ أن مدخل (input) $ \mathbf{u}(t) $ في (6.7) يسمى الحد الأدنى من التحكم في الطاقة بمعنى أنه بالنسبة لأي مدخل (input) $ \bar{\mathbf{u}}(t) $ آخر يحقق نفس النقل، لدينا

$$ \int_ {t _ {0}} ^ {t _ {1}} \bar {\mathbf {u}} ^ {\prime} (t) \bar {\mathbf {u}} (t) d t \geq \int_ {J _ {t _ {0}}} ^ {f _ {t _ {1}}} \mathbf {u} ^ {\prime} (t) \mathbf {u} (t) d t $$

الشكل 6.4 نقل $ \mathbf{x}(0) = [10 - 1]^{\prime} $ إلى $ |00|^{\prime} $ .

ويمكن الاطلاع على دليله في المرجع 6 ص 556-558.

مثال 6.2.4 فكر مرة أخرى في نظام المنصة الموضح في الشكل 6.3. نفترض الآن أن معاملات الاحتكاك اللزج وثوابت الزنبرك لكلا النظامين الزنبركيين تساوي 1. ثم يصبح معادلة الحالة (state equation) الذي يصف النظام

$$ \dot {\mathbf {x}} (t) = \left[ \begin{array}{c c} - 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{array} \right] \mathbf {x} (t) + \left[ \begin{array}{l} 1 \\ 1 \end{array} \right] u (t) $$

ومن الواضح أن لدينا

$$ \rho (\mathcal {C}) = \rho \left[ \begin{array}{c c} 1 & - 1 \\ 1 & - 1 \end{array} \right] = 1 $$

ومعادلة الحالة (state equation) ليس قابل للتحكم (controllable). إذا كان $ x_{1}(0) \neq x_{2}(0) $ ، فلا يمكن لـ مدخل (input) نقل $ \mathbf{x}(0) $ إلى الصفر في وقت محدد.