6.3.1 مؤشرات قابلية الملاحظة (observability indices)3 

    اجعل $ \mathbf{A} $ و$ \mathbf{C} $ مصفوفتين ثابتتين $ n \times n $ و$ q \times n $. نحن نفترض أن $ \mathbf{C} $ لديه المرتبة $ q $ (رتبة صفية كاملة (full row rank)). إذا كان $ \mathbf{C} $ لا يحتوي على رتبة صفية كاملة (full row rank)، فيمكن التعبير عن مخرج (output) في بعض الأطراف مخرج (output) كمجموعة خطية من مخارج (outputs) أخرى. وبالتالي فإن مخرج (output) لا يقدم أي معلومات جديدة بخصوص النظام ويمكن التخلص من الجهاز. من خلال حذف الصف المقابل، سيصبح $ \mathbf{C} $ المخفض رتبة صفية كاملة (full row rank).

    إذا كانت $ (\mathbf{A}, \mathbf{C}) $ هي قابل للملاحظة (observable)، فإن مصفوفة قابلية الملاحظة (observability matrix) $ \mathcal{O} $ لها المرتبة $ n $، وبالتالي، $ n $ صفوف مستقلة خطيًا. اجعل $ \mathbf{c}_i $ هو الصف $ i $ من $ \mathbf{C} $ . دعونا نبحث في صفوف مستقلة خطيًا عن $ \mathcal{O} $ بالترتيب من الأعلى إلى الأسفل. مزدوجًا للجزء قابلية التحكم (controllability)، إذا أصبح الصف المرتبط بـ $ \mathbf{c}_m $ معتمدًا خطيًا على صفوفه العلوية، فإن جميع الصفوف المرتبطة بـ $ \mathbf{c}_m $ بعد ذلك ستكون أيضًا تابعة. اجعل $ \nu_m $ هو عدد الصفوف المستقلة خطيًا المرتبطة بـ $ \mathbf{c}_m $ . من الواضح أنه إذا كانت $ \mathcal{O} $ لها المرتبة $ n $، إذن

    $$ v _ {1} + v _ {2} + \dots + v _ {q} = n \tag {6.32} $$

    المجموعة $ \{\nu_{1},\nu_{2},\ldots ,\nu_{q}\} $ تسمى مؤشرات قابلية الملاحظة (observability indices) و

    $$ v = \max \left(v _ {1}, v _ {2}, \dots , v _ {q}\right) \tag {6.33} $$

    يسمى مؤشر قابلية الملاحظة (observability index) من $ (\mathbf{A},\mathbf{C}) $ . إذا كان $ (\mathbf{A},\mathbf{C}) $ هو قابل للملاحظة (observable)، فهو أقل عدد صحيح بحيث

    $$ \rho \left(\mathcal {O} _ {\nu}\right) := \left[ \begin{array}{c} \mathbf {C} \\ \mathbf {C A} \\ \mathbf {C A} ^ {2} \\ \vdots \\ \mathbf {C A} ^ {\nu - 1} \end{array} \right] = n $$

    مزدوج للجزء قابلية التحكم (controllability)، لدينا

    $$ n / q \leq v \leq \min (\bar {n}, n - q + 1) \tag {6.34} $$

    حيث $ \rho (\mathbf{C}) = q $ و$ \bar{n} $ هي درجة كثير الحدود الأدنى (minimal polynomial). نذكر أن مؤشر قابلية الملاحظة (observability index) يساوي ببساطة $ n $ لأي مفرد المدخلات مفرد المخرجات (SISO) أو متعدد المدخلات مفرد المخرجات (MISO) $ n $ - الأبعاد قابل للملاحظة (observable) معادلة فضاء الحالة (state-space equation).

    النتيجة الطبيعية 6.01 

    زوج الأبعاد $ n $ $ (\mathbf{A},\mathbf{C}) $ هو قابل للملاحظة (observable) إذا وفقط إذا كانت المصفوفة

    $$ \mathcal {O} _ {n - q + 1} = \left[ \begin{array}{c} \mathbf {C} \\ \mathbf {C A} \\ \vdots \\ \mathbf {C A} ^ {n - q} \end{array} \right] \tag {6.35} $$

    حيث $ \rho(\mathbf{C}) = q $، لها الرتبة $ n $ أو المصفوفة $ n \times n $ $ \mathcal{O}_{n-q+1}^{\prime} \mathcal{O}_{n-q+1} $ هي غير مفرد (nonsingular).

    نظرية 6.02 

    الخاصية قابلية الملاحظة (observability) ثابتة تحت أي تحويل مكافئ (equivalence transformation).

    نظرية 6.03 

    مجموعة مؤشرات قابلية الملاحظة (observability indices) من $ (\mathbf{A},\mathbf{C}) $ ثابتة تحت أي تحويل مكافئ (equivalence transformation) وأي إعادة ترتيب لصفوف $ \mathbf{C} $ .

    قبل اختتام هذا القسم، نناقش طريقة مختلفة لحل (6.24). التفريق (6.24) بشكل متكرر وإعداد $ t = 0 $ ، يمكننا الحصول عليه

    $$ \left[ \begin{array}{c} \mathbf {C} \\ \mathbf {C A} \\ \vdots \\ \mathbf {C A} ^ {\nu - 1} \end{array} \right] \mathbf {x} (0) = \left[ \begin{array}{c} \bar {\mathbf {y}} (0) \\ \dot {\bar {\mathbf {y}}} (0) \\ \vdots \\ \bar {\mathbf {y}} ^ {(\nu - 1)} (0) \end{array} \right] $$

    أو

    $$ \mathcal {O} _ {\nu - 1} \mathbf {x} (0) = \bar {\mathbf {y}} (0) \tag {6.36} $$

    حيث $ \bar{\mathbf{y}}^{(i)}(t) $ هو المشتقة $ i $ لـ $ \bar{\mathbf{y}}(t) $ و $ \tilde{\mathbf{y}}(0) := [\bar{\mathbf{y}}'(0) \dot{\bar{\mathbf{y}}}'(0) \dots (\bar{\mathbf{y}}^{(\nu-1)})']' $ . المعادلة (6.36) هي مجموعة من المعادلات الجبرية الخطية. نظرًا لطريقة تطويره، يجب أن يقع $ \tilde{\mathbf{y}}(0) $ في مساحة النطاق $ \mathcal{O}_{\nu-1} $ . وبالتالي يوجد الحل $ \mathbf{x}(0) $ في (6.36). إذا كانت $ (\mathbf{A}, \mathbf{C}) $ هي قابل للملاحظة (observable)، فإن $ \mathcal{O}_{\nu-1} $ بها رتبة عمودية كاملة (full column rank) وبعد النظرية 3.2، يكون الحل فريدًا. PremuLTIply (6.36) بواسطة $ \mathcal{O}_{\nu-1}' $ ثم باستخدام النظرية 3.8، يمكننا الحصول على الحل كما يلي

    $$ \mathbf {x} (0) = \left[ \mathcal {O} _ {\nu - 1} ^ {\prime} \mathcal {O} _ {\nu - 1} \right] ^ {- 1} \mathcal {O} _ {\nu - 1} ^ {\prime} \tilde {\mathbf {y}} (0) \tag {6.37} $$

    نذكر أنه من أجل الحصول على $ \dot{\mathbf{y}}(0), \ddot{\mathbf{y}}(0), \ldots $، نحتاج إلى معرفة $ \bar{\mathbf{y}}(t) $ في حي $ t = 0 $ . يتوافق هذا مع التأكيد السابق على أننا نحتاج إلى معرفة $ \bar{\mathbf{y}}(t) $ خلال فترة زمنية غير صفرية لتحديد $ \mathbf{x}(0) $ بشكل فريد من (6.24). في الختام، يمكن حساب الحالة الابتدائية (initial state) باستخدام (6.26) أو (6.37).

    غالبًا ما يكون مخرج (output) $ y(t) $ الذي تم قياسه عمليًا تالفًا بسبب الضوضاء عالية التردد. لأن

    • التمايز سوف يضخم الضوضاء عالية التردد و
    • التكامل سوف يمنع أو يخفف من الضوضاء عالية التردد،

    قد تختلف النتيجة التي تم الحصول عليها من (6.36) أو (6.37) اختلافًا كبيرًا عن الحالة الابتدائية (initial state) الفعلي. وبالتالي فإن (6.26) أفضل من (6.36) في حساب الحالة الابتدائية (initial state)s.

    يمكن رؤية الأهمية المادية لـ مؤشر قابلية الملاحظة (observability index) من (6.36). إنه أصغر عدد صحيح لتحديد $ \mathbf{x}(0) $ بشكل فريد من (6.36) أو (6.37). كما أنها تحدد الحد الأدنى من الدرجة المطلوبة لتحقيق وضع القطب ومطابقة النموذج، كما سنناقش في الفصل التاسع.