6.3 قابلية الملاحظة (observability) 

    مفهوم قابلية الملاحظة (observability) مزدوج لمفهوم قابلية التحكم (controllability). بشكل تقريبي، يدرس قابلية التحكم (controllability) إمكانية توجيه حالة (state) من مدخل (input)؛ يدرس قابلية الملاحظة (observability) إمكانية تقدير حالة (state) من مخرج (output). يتم تعريف هذين المفهومين على افتراض أن معادلة فضاء الحالة (state-space equation) أو، على نحو مكافئ، كل A وB وC وD معروفة. وبالتالي فإن مشكلة قابلية الملاحظة (observability) تختلف عن مشكلة الإدراك أو التحديد، وهي تحديد أو تقدير A وB وC وD من المعلومات المجمعة في المحطات الطرفية مدخل (input) ومخرج (output).

    خذ بعين الاعتبار $ n $ - الأبعاد $ p $ - مدخل (input) $ q $ - مخرج (output) معادلة فضاء الحالة (state-space equation)

    $$ \begin{array}{l} \dot {\mathbf {x}} (t) = \mathbf {A} \mathbf {x} (t) + \mathbf {B} \mathbf {u} (t) \tag {6.22} \\ \mathbf {y} (t) = \mathbf {C x} (t) + \mathbf {D u} (t) \\ \end{array} $$

    حيث A وB وC وD هي، على التوالي، $ n \times n $ و $ n \times p $ و $ q \times n $ و $ q \times p $ مصفوفات ثابتة.

    التعريف 6.01 يُقال أن معادلة فضاء الحالة (state-space equation) (6.22) هو قابل للملاحظة (observable) إذا كان لأي مجهول الحالة الابتدائية (initial state) $ \mathbf{x}(0) $، يوجد $ t_1 > 0 $ محدود بحيث تكون معرفة يكفي مدخل (input) $ \mathbf{u} $ ومخرج (output) $ \mathbf{y} $ على $ [0, t_1] $ لتحديد الحالة الابتدائية (initial state) $ \mathbf{x}(0) $ بشكل فريد. وإلا، يقال أن المعادلة هي غير قابل للملاحظة (unobservable).

    مثال 6.3.1 ضع في الاعتبار دائرة (circuit) الموضح في الشكل 6.5. إذا كانت مدخل (input) صفرًا، بغض النظر عن القيمة الأولية جهد (voltage) عبر مكثف (capacitor)، فإن مخرج (output) تكون صفرًا متماثلًا بسبب تماثل الأربع مقاومة (resistor)s. نحن نعرف مدخل (input) ومخرج (output) (كلاهما صفر متطابق)، لكن لا يمكننا تحديد الحالة الابتدائية (initial state) بشكل فريد. وبالتالي فإن دائرة (circuit) أو بشكل أكثر دقة معادلة فضاء الحالة (state-space equation) الذي يصف دائرة (circuit) ليس قابل للملاحظة (observable). مثال 6.3.2 ضع في الاعتبار دائرة (circuit) الموضح في الشكل 6.6(a). يحتوي دائرة (circuit) على اثنين متغيرات الحالة (state variables): التيار $ x_{1} $ من خلال المحث وجهد (voltage) $ x_{2} $ عبر مكثف (capacitor). ومدخل (input) $ u $ هو مصدر تيار (current source). إذا كان $ u = 0 $، فإن دائرة (circuit) يقل إلى ما هو موضح في الشكل. 6.6(b). إذا كان $ x_{1}(0) = a \neq 0 $ و$ x_{2} = 0 $، فإن مخرج (output) يساوي صفرًا متطابقًا. أي $ \mathbf{x}(0) = [a0]^{\prime} $ و


    الشكل 6.5 غير قابل للملاحظة (unobservable) دائرة (circuit).
    (أ)
    الشكل 6.6 غير قابل للملاحظة (unobservable) دائرة (circuit).


    (ب)

    $ u(t) \equiv 0 $ تسفر عن نفس مخرج (output) $ y(t) \equiv 0 $ . وبالتالي لا توجد طريقة لتحديد الحالة الابتدائية (initial state) $ [a0]^{\prime} $ بشكل فريد والمعادلة التي تصف دائرة (circuit) ليست قابل للملاحظة (observable).

    تم اشتقاق استجابة (6.22) المثارة بواسطة الحالة الابتدائية (initial state) $ \mathbf{x}(0) $ ومدخل (input) $ \mathbf{u}(t) $ في (4.7) كـ

    $$ \mathbf {y} (t) = \mathbf {C} e ^ {\mathbf {A} t} \mathbf {x} (0) + \mathbf {C} \int_ {0} ^ {t} e ^ {\mathbf {A} (t - \tau)} \mathbf {B} \mathbf {u} (\tau) d \tau + \mathbf {D} \mathbf {u} (t) \tag {6.23} $$

    في دراسة قابلية الملاحظة (observability)، يُفترض أن مخرج (output) $ \mathbf{y} $ ومدخل (input) $ \mathbf{u} $ معروفان، والحالة الابتدائية (initial state) $ \mathbf{x}(0) $ هو المجهول الوحيد؛ وبالتالي يمكننا كتابة (6.23) كـ

    $$ \mathbf {C} e ^ {\mathbf {A} t} \mathbf {x} (0) = \bar {\mathbf {y}} (t) \tag {6.24} $$

    whcrc

    $$ \bar {\mathbf {y}} (t) := \mathbf {y} (t) - \mathbf {C} \int_ {0} ^ {t} e ^ {\mathbf {A} (t - \tau)} \mathbf {B} \mathbf {u} (\tau) d \tau - \mathbf {D} \mathbf {u} (t) $$

    هي وظيفة معروفة. وبالتالي يتم تقليل المشكلة قابلية الملاحظة (observability) إلى حل $ \mathbf{x}(0) $ من (6.24). إذا كان $ \mathbf{u} \equiv \mathbf{0} $ ، فإن $ \bar{\mathbf{y}}(t) $ يقلل إلى الصفر - مدخل (input) الاستجابة $ \mathbf{C}e^{\mathbf{A}t}\mathbf{x}(0) $ . وبالتالي يمكن تعديل التعريف 6.01 على النحو التالي: المعادلة (6.22) هي قابل للملاحظة (observable) إذا وفقط إذا كان من الممكن تحديد الحالة الابتدائية (initial state) $ \mathbf{x}(0) $ بشكل فريد من استجابتها الصفرية مدخل (input) خلال فترة زمنية محددة.

    بعد ذلك نناقش كيفية حل $ \mathbf{x}(0) $ من (6.24). بالنسبة للمصفوفة الثابتة $ t $، $ \mathbf{C}e^{\mathbf{A}t} $ هي مصفوفة ثابتة $ q \times n $، $ \bar{\mathbf{y}}(t) $ هي متجه ثابت $ q \times 1 $. وبالتالي فإن (6.24) هي مجموعة من المعادلات الجبرية الخطية ذات المجهول $ n $. نظرًا للطريقة التي تم تطويرها بها، لكل $ t $ ثابت، $ \bar{\mathbf{y}}(t) $ يقع في مساحة النطاق $ \mathbf{C}e^{\mathbf{A}t} $ والحلول موجودة دائمًا في (6.24). والسؤال الوحيد هو ما إذا كان الحل فريدا. إذا كانت $ q < n $ كما هو الحال بشكل عام، فإن المصفوفة $ q \times n $ لها رتبة $ \mathbf{C}e^{\mathbf{A}t} $ على الأكثر $ q $، وبالتالي، تحتوي على صفر $ n - q $ أو أكبر. وبالتالي فإن الحلول ليست فريدة (النظرية 3.2). في الختام، لا يمكننا العثور على $ \mathbf{x}(0) $ فريد من (6.24) في $ t $ معزول. من أجل تحديد $ \mathbf{x}(0) $ بشكل فريد من (6.24)، يجب علينا استخدام معرفة $ \mathbf{u}(t) $ و$ \mathbf{y}(t) $ خلال فترة زمنية غير صفرية مثل حالة (state)d في النظرية التالية.

    نظرية 6.4 

    تكون معادلة فضاء الحالة (state-space equation) (6.22) قابل للملاحظة (observable) إذا وفقط إذا كانت المصفوفة $ n \times n $

    $$ \mathbf {W} _ {o} (t) = \int_ {0} ^ {t} e ^ {\mathbf {A} ^ {\prime} \tau} \mathbf {C} ^ {\prime} \mathbf {C} e ^ {\mathbf {A} \tau} d \tau \tag {6.25} $$

    هو غير مفرد (nonsingular) لأي $ t > 0 $ .

    الدليل: نحن نطبق premu LTIply (6.24) بواسطة $ e^{\mathbf{A}'t}\mathbf{C}' $ ثم ندمجها على $ [0, t_1] $ للحصول على

    $$ \left(\int_ {0} ^ {t _ {1}} e ^ {\mathbf {A} ^ {\prime} t} \mathbf {C} ^ {\prime} \mathbf {C} e ^ {\mathbf {A} t} d t\right) \mathbf {x} (0) = \int_ {0} ^ {t _ {1}} e ^ {\mathbf {A} ^ {\prime} t} \mathbf {C} ^ {\prime} \bar {\mathbf {y}} (t) d t $$

    إذا كان $ \mathbf{W}_o(t_1) $ هو غير مفرد (nonsingular)، إذن

    $$ \mathbf {x} (0) = \mathbf {W} _ {o} ^ {- 1} \left(t _ {1}\right) \int_ {0} ^ {t _ {1}} e ^ {\mathbf {A} ^ {\prime} t} \mathbf {C} ^ {\prime} \bar {\mathbf {y}} (t) d t \tag {6.26} $$

    يؤدي هذا إلى ظهور $ \mathbf{x}(0) $ فريد من نوعه. يوضح هذا أنه إذا كان $ \mathbf{W}_o(t) $، لأي $ t > 0 $، هو غير مفرد (nonsingular)، فإن (6.22) هو قابل للملاحظة (observable). نوضح بعد ذلك أنه إذا كان $ \mathbf{W}_o(t_1) $ هو مفرد (singular) أو، بشكل مكافئ، شبه معرفة موجبة (positive semidefinite) لجميع $ t_1 $، فإن (6.22) ليس قابل للملاحظة (observable). إذا كانت $ \mathbf{W}_o(t_1) $ هي شبه معرفة موجبة (positive semidefinite)، فهناك متجه ثابت غير صفري $ n \times 1 $ $ \mathbf{v} $ بحيث

    $$ \begin{array}{l} \mathbf {v} ^ {\prime} \mathbf {W} _ {o} (t _ {1}) \mathbf {v} = \int_ {0} ^ {t _ {1}} \mathbf {v} ^ {\prime} e ^ {\mathbf {A} ^ {\prime} \tau} \mathbf {C} ^ {\prime} \mathbf {C} e ^ {\mathbf {A} \tau} \mathbf {v} d \tau \\ = \int_ {0} ^ {t} \left\| \mathbf {C e} ^ {\mathbf {A} \tau} \mathbf {v} \right\| ^ {2} d \tau = 0 \\ \end{array} $$

    مما يعني

    $$ \mathbf {C} e ^ {\mathbf {A} t} \mathbf {v} \equiv \mathbf {0} \tag {6.27} $$

    لجميع $ t $ في $ [0, t_1] $ . إذا كان $ \mathbf{u} \equiv \mathbf{0} $، فإن $ \mathbf{x}_1(0) = \mathbf{v} \neq \mathbf{0} $ و$ \mathbf{x}_2(0) = \mathbf{0} $ كلاهما يعطيان نفس الشيء

    $$ \mathbf {y} (t) = \mathbf {C} e ^ {\mathbf {A} t} \mathbf {x} _ {i} (0) \equiv \mathbf {0} $$

    ينتج عن اثنين مختلفين من الحالة الابتدائية (initial state) نفس الاستجابة الصفرية - مدخل (input)؛ لذلك، لا يمكننا تحديد $ \mathbf{x}(0) $ بشكل فريد. وبالتالي (6.22) ليس قابل للملاحظة (observable). وبهذا يكتمل إثبات النظرية 6.4. Q.E.D.

    نرى من هذه النظرية أن قابلية الملاحظة (observability) يعتمد فقط على $ \mathbf{A} $ و $ \mathbf{C} $ . ويمكن أيضًا استنتاج ذلك من التعريف 6.01 باختيار $ \mathbf{u}(t) \equiv \mathbf{0} $ . وبالتالي فإن قابلية الملاحظة (observability) هي خاصية للزوج $ (\mathbf{A}, \mathbf{C}) $ وهي مستقلة عن $ \mathbf{B} $ و$ \mathbf{D} $ . كما في الجزء قابلية التحكم (controllability)، إذا كانت $ \mathbf{W}_o(t) $ هي غير مفرد (nonsingular) لبعض $ t $، فهي غير مفرد (nonsingular) لكل $ t $ ويمكن حساب الحالة الابتدائية (initial state) من (6.26) باستخدام أي فاصل زمني غير صفري.

    نظرية 6.5 (نظرية الازدواجية) 

    الزوج $ (\mathbf{A},\mathbf{B}) $ هو قابل للتحكم (controllable) إذا وفقط إذا كان الزوج $ (\mathbf{A}',\mathbf{B}') $ هو قابل للملاحظة (observable).

    الدليل: الزوج $ (\mathbf{A},\mathbf{B}) $ هو قابل للتحكم (controllable) إذا وفقط إذا

    $$ \mathbf {W} _ {c} (t) = \int_ {0} ^ {t} e ^ {\mathbf {A} \tau} \mathbf {B} \mathbf {B} ^ {\prime} e ^ {\mathbf {A} ^ {\prime} \tau} d \tau $$

    هو غير مفرد (nonsingular) لأي $ t $ . الزوج $ (\mathbf{A}', \mathbf{B}') $ هو قابل للملاحظة (observable) إذا وفقط إذا، عن طريق استبدال $ \mathbf{A} $ بـ $ \mathbf{A}' $ و$ \mathbf{C} $ بـ $ \mathbf{B}' $ في (6.25)،

    $$ \mathbf {W} _ {o} (t) = \int_ {0} ^ {t} e ^ {\mathbf {A} \tau} \mathbf {B} \mathbf {B} ^ {\prime} e ^ {\mathbf {A} ^ {\prime} \tau} d \tau $$

    هو غير مفرد (nonsingular) لأي $ t $ . الشرطان متطابقان وتتبع النظرية. Q.E.D.

    ندرج فيما يلي النظير قابلية الملاحظة (observability) للنظرية 6.1. ويمكن إثبات ذلك إما مباشرة أو من خلال تطبيق نظرية الازدواجية.

    نظرية 6.01 

    البيانات حالة (state) التالية متكافئة.

    1. زوج الأبعاد $ n $ $ (\mathbf{A}, \mathbf{C}) $ هو قابل للملاحظة (observable).
    2. المصفوفة $ n \times n $
    $$ \mathbf {W} _ {o} (t) = \int_ {0} ^ {t} e ^ {\mathbf {A} ^ {\prime} \tau} \mathbf {C} ^ {\prime} \mathbf {C} e ^ {\mathbf {A} \tau} d \tau \tag {6.28} $$

    هو غير مفرد (nonsingular) لأي $ t > 0 $ .

    1. $ nq \times n $ مصفوفة قابلية الملاحظة (observability matrix)
    $$ \mathcal {O} = \left[ \begin{array}{c} \mathbf {C} \\ \mathbf {C A} \\ \vdots \\ \mathbf {C A} ^ {n - 1} \end{array} \right] \tag {6.29} $$

    لديه الرتبة $ n $ (رتبة عمودية كاملة (full column rank)). يمكن إنشاء هذه المصفوفة عن طريق استدعاء obsv في MATLAB.

    1. تحتوي المصفوفة $ (n + q)\times n $ $ \left[ \begin{array}{c}\mathbf{A} - \lambda \mathbf{I}\\ \mathbf{C} \end{array} \right] $ على رتبة عمودية كاملة (full column rank) عند كل قيمة ذاتية (eigenvalue)، $ \lambda $، من $ \mathbf{A} $ .
    2. بالإضافة إلى ذلك، إذا كانت جميع قيم ذاتية (eigenvalues) من $ \mathbf{A} $ تحتوي على أجزاء حقيقية سالبة، فإن الحل الفريد لـ
    $$ \mathbf {A} ^ {\prime} \mathbf {W} _ {o} + \mathbf {W} _ {o} \mathbf {A} = - \mathbf {C} ^ {\prime} \mathbf {C} \tag {6.30} $$

    هو معرفة موجبة (positive definite). الحل يسمى غراميان قابلية الملاحظة (observability Gramian) ويمكن التعبير عنه بـ

    $$ \mathbf {W} _ {o} = \int_ {0} ^ {\infty} e ^ {\mathbf {A} ^ {\prime} \tau} \mathbf {C} ^ {\prime} \mathbf {C} e ^ {\mathbf {A} \tau} d \tau \tag {6.31} $$