6.4 تفكيك كالمان (Kalman decomposition) 

يناقش هذا القسم التحلل القانوني لـ معادلات فضاء الحالة (state-space equations). سيتم استخدام هذه النتيجة الأساسية لتأسيس العلاقة بين وصف فضاء الحالة (state-space) ووصف مصفوفة النقل. يعتبر

$$ \begin{array}{l} \dot {\mathbf {x}} (t) = \mathbf {A} \mathbf {x} (t) + \mathbf {B} \mathbf {u} (t) \tag {6.38} \\ \mathbf {y} (t) = \mathbf {C x} (t) + \mathbf {D u} (t) \\ \end{array} $$

دع $ \bar{\mathbf{x}} = \mathbf{P}\mathbf{x} $، حيث $ \mathbf{P} $ هي مصفوفة غير مفرد (nonsingular). ثم معادلة الحالة (state equation)

$$ \begin{array}{l} \dot {\bar {\mathbf {x}}} (t) = \bar {\mathbf {A}} \bar {\mathbf {x}} (t) + \bar {\mathbf {B}} \mathbf {u} (t) \tag {6.39} \\ \mathbf {y} (t) = \bar {\mathbf {C}} \bar {\mathbf {x}} (t) + \bar {\mathbf {D}} \mathbf {u} (t) \\ \end{array} $$

مع $ \bar{\mathbf{A}} = \mathbf{PAP}^{-1} $ و $ \bar{\mathbf{B}} = \mathbf{PB} $ و $ \bar{\mathbf{C}} = \mathbf{CP}^{-1} $ و $ \bar{\mathbf{D}} = \mathbf{D} $ يعادل (6.38). يتم الاحتفاظ بجميع خصائص (6.38)، بما في ذلك الاستقرار، قابلية التحكم (controllability)، وقابلية الملاحظة (observability)، في (6.39). لدينا أيضا

$$ \bar {C} = \mathbf {P C}, \quad \bar {O} = O P ^ {- 1} $$

نظرية 6.6 

خذ بعين الاعتبار $ n $ - البعد معادلة فضاء الحالة (state-space equation) في (6.38) مع

$$ \rho (\mathcal {C}) = \rho ([ \mathbf {B} \mathbf {A} \mathbf {B} \dots \mathbf {A} ^ {n - 1} \mathbf {B} ]) = n _ {1} < n $$

نحن نشكل المصفوفة $ n \times n $.

$$ \mathbf {P} ^ {- 1} := \left[ \mathbf {q} _ {1} \dots \mathbf {q} _ {n _ {1}} \dots \mathbf {q} _ {n} \right] $$

حيث الأعمدة الأولى $ n_1 $ هي أي $ n_1 $ أعمدة مستقلة خطيًا من $ C $، ويمكن اختيار الأعمدة المتبقية بشكل عشوائي طالما أن $ \mathbf{P} $ هي غير مفرد (nonsingular). بعد ذلك سوف يتحول تحويل مكافئ (equivalence transformation) $ \bar{\mathbf{x}} = \mathbf{P}\mathbf{x} $ أو $ \mathbf{x} = \mathbf{P}^{-1}\bar{\mathbf{x}} $ (6.38) إلى

$$ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{c} \dot {\bar {\mathbf {x}}} _ {c} (t) \\ \dot {\bar {\mathbf {x}}} _ {\bar {c}} (t) \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c c} \bar {\mathbf {A}} _ {c} & \bar {\mathbf {A}} _ {1 2} \\ \mathbf {0} & \bar {\mathbf {A}} _ {\bar {c}} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} \bar {\mathbf {x}} _ {c} (t) \\ \bar {\mathbf {x}} _ {\bar {c}} (t) \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{c} \bar {\mathbf {B}} _ {c} \\ \mathbf {0} \end{array} \right] \mathbf {u} (t) \tag {6.40} \\ \mathbf {y} (t) = \left[ \begin{array}{l l} \bar {\mathbf {C}} _ {c} & \bar {\mathbf {C}} _ {\bar {c}} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{l} \bar {\mathbf {x}} _ {c} (t) \\ \bar {\mathbf {x}} _ {\bar {c}} (t) \end{array} \right] + \mathbf {D u} (t) \\ \end{array} $$

حيث $ \bar{\mathbf{A}}_c $ هو $ n_1 \times n_1 $ و $ \bar{\mathbf{A}}_{\bar{c}} $ هو $ (n - n_1) \times (n - n_1) $، والمعادلة الفرعية ذات الأبعاد $ n_1 $ التالية لـ (6.40)

$$ \begin{array}{l} \dot {\bar {\mathbf {x}}} _ {c} (t) = \bar {\mathbf {A}} _ {c} \bar {\mathbf {x}} _ {c} (t) + \bar {\mathbf {B}} _ {c} \mathbf {u} (t) \tag {6.41} \\ \bar {\mathbf {y}} (t) = \bar {\mathbf {C}} _ {c} \bar {\mathbf {x}} _ {c} (t) + \mathbf {D u} (t) \\ \end{array} $$

هو قابل للتحكم (controllable) وله نفس مصفوفة تحويل (transfer matrix) مثل (6.38).

إثبات: كما تمت مناقشته في القسم 4.4، فإن التحويل $ \mathbf{x} = \mathbf{P}^{-1}\bar{\mathbf{x}} $ يغير أساس فضاء الحالة (state space) من الأساس المتعامد في (3.8) إلى أعمدة $ \mathbf{Q} := \mathbf{P}^{-1} $ أو $ \{\mathbf{q}_1,\dots ,\mathbf{q}_{n_1},\dots ,\mathbf{q}_n\} $ . العمود $ i $ من $ \bar{\mathbf{A}} $ هو تمثيل $ \mathbf{A}\mathbf{q}_i $ بالنسبة إلى $ \{\mathbf{q}_1,\dots ,\mathbf{q}_{n_1},\dots ,\mathbf{q}_n\} $ . الآن المتجه $ \mathbf{A}\mathbf{q}_i $ ، لـ $ i = 1,2,\ldots,n_1 $ ، يعتمد خطيًا على المجموعة $ \{\mathbf{q}_1,\dots ,\mathbf{q}_{n_1}\} $ ؛ إنهم مستقلون خطيًا عن $ \{\mathbf{q}_{n_1+1},\dots,\mathbf{q}_n\} $ . وبالتالي فإن المصفوفة $ \bar{\mathbf{A}} $ لها الشكل الموضح في (6.40). أعمدة $ \bar{\mathbf{B}} $ هي تمثيل أعمدة $ \mathbf{B} $ بالنسبة إلى $ \{\mathbf{q}_1,\dots,\mathbf{q}_{n_1},\dots,\mathbf{q}_n\} $ . الآن تعتمد أعمدة $ \mathbf{B} $ على $ \{\mathbf{q}_1,\dots,\mathbf{q}_{n_1}\} $ فقط؛ وبالتالي فإن $ \bar{\mathbf{B}} $ له الشكل الموضح في (6.40). نذكر أنه إذا كانت المصفوفة $ n\times p $ $ \mathbf{B} $ لها المرتبة $ p $ وإذا تم اختيار أعمدتها كأول أعمدة $ p $ من $ \mathbf{P}^{-1} $، فإن الجزء العلوي من $ \bar{\mathbf{B}} $ هو مصفوفة الوحدة ذات الترتيب $ p $ .

اجعل $ \bar{C} $ هو مصفوفة قابلية التحكم (controllability matrix) من (6.40). ثم لدينا $ \rho(\mathcal{C}) = \rho(\bar{C}) = n_1 $ . من السهل التحقق منها

$$ \begin{array}{l} \bar {\mathcal {C}} = \left[ \begin{array}{c c c c c c} \bar {\mathbf {B}} _ {c} & \bar {\mathbf {A}} _ {c} \bar {\mathbf {B}} _ {c} & \dots & \bar {\mathbf {A}} _ {c} ^ {n _ {1}} \bar {\mathbf {B}} _ {c} & \dots & \bar {\mathbf {A}} _ {c} ^ {n - 1} \bar {\mathbf {B}} _ {c} \\ \mathbf {0} & \mathbf {0} & \dots & \mathbf {0} & \dots & \mathbf {0} \end{array} \right] \\ = \left[ \begin{array}{c c c c} \bar {\mathcal {C}} _ {c} & \bar {\mathbf {A}} _ {c} ^ {n _ {1}} \bar {\mathbf {B}} _ {c} & \dots & \bar {\mathbf {A}} _ {c} ^ {n - 1} \bar {\mathbf {B}} _ {c} \\ \mathbf {0} & \mathbf {0} & \dots & \mathbf {0} \end{array} \right] \\ \end{array} $$

حيث $ \bar{\mathcal{C}}_c $ هو مصفوفة قابلية التحكم (controllability matrix) من $ (\bar{\mathbf{A}}_c,\bar{\mathbf{B}}_c) $ . لأن أعمدة $ \bar{\mathbf{A}}_c^k\bar{\mathbf{B}}_c $، لـ $ k\geq n_{1} $، تعتمد خطيًا على أعمدة $ \bar{\mathcal{C}}_c $، الشرط $ \rho (\mathcal{C}) = n_{1} $

يعني $ \rho (\bar{\mathcal{C}}_c) = n_1 $ . وبالتالي فإن $ n_1 $ - البعد معادلة فضاء الحالة (state-space equation) في (6.41) هو قابل للتحكم (controllable).

نوضح بعد ذلك أن (6.41) له نفس مصفوفة تحويل (transfer matrix) مثل (6.38). نظرًا لأن (6.38) و(6.40) لهما نفس مصفوفة تحويل (transfer matrix)، نحتاج إلى إظهار فقط أن (6.40) و (6.41) لهما نفس مصفوفة تحويل (transfer matrix). من خلال التحقق المباشر، يمكننا أن نظهر

$$ \left[ \begin{array}{c c} s \mathbf {I} - \bar {\mathbf {A}} _ {c} & - \bar {\mathbf {A}} _ {1 2} \\ \mathbf {0} & s \mathbf {I} - \bar {\mathbf {A}} _ {\bar {c}} \end{array} \right] ^ {- 1} = \left[ \begin{array}{c c} (s \mathbf {I} - \bar {\mathbf {A}} _ {c}) ^ {- 1} & \mathbf {M} \\ \mathbf {0} & (s \mathbf {I} - \bar {\mathbf {A}} _ {\bar {c}}) ^ {- 1} \end{array} \right] \tag {6.42} $$

أين

$$ \mathbf {M} = (s \mathbf {I} - \bar {\mathbf {A}} _ {c}) ^ {- 1} \bar {\mathbf {A}} _ {1 2} (s \mathbf {I} - \bar {\mathbf {A}} _ {\bar {c}}) ^ {- 1} $$

وبالتالي فإن مصفوفة تحويل (transfer matrix) من (6.40) هو

$$ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{c c} \bar {\mathbf {C}} _ {c} & \bar {\mathbf {C}} _ {\bar {c}} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c c} s \mathbf {I} - \bar {\mathbf {A}} _ {c} & - \bar {\mathbf {A}} _ {1 2} \\ \mathbf {0} & s \mathbf {I} - \bar {\mathbf {A}} _ {\bar {c}} \end{array} \right] ^ {- 1} \left[ \begin{array}{c} \bar {\mathbf {B}} _ {c} \\ \mathbf {0} \end{array} \right] + \mathbf {D} \\ = \left[ \begin{array}{l l} \bar {\mathbf {C}} _ {c} & \bar {\mathbf {C}} _ {\bar {c}} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c c} (s \mathbf {I} - \bar {\mathbf {A}} _ {c}) ^ {- 1} & \mathbf {M} \\ \mathbf {0} & (s \mathbf {I} - \bar {\mathbf {A}} _ {\bar {c}}) ^ {- 1} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} \bar {\mathbf {B}} _ {c} \\ \mathbf {0} \end{array} \right] + \mathbf {D} \\ = \bar {\mathbf {C}} _ {c} (s \mathbf {I} - \bar {\mathbf {A}} _ {c}) ^ {- 1} \bar {\mathbf {B}} _ {c} + \mathbf {D} \\ \end{array} $$

وهو مصفوفة تحويل (transfer matrix) من (6.41). وبهذا يكتمل إثبات النظرية 6.6. Q.E.D.

في تحويل مكافئ (equivalence transformation) $ \bar{\mathbf{x}} = \mathbf{P}\mathbf{x} $، ينقسم البعد $ n $ - فضاء الحالة (state space) إلى مساحتين فرعيتين. الأول هو الفضاء الفرعي ذو الأبعاد $ n_1 $ والذي يتكون من جميع المتجهات ذات الشكل $ [\bar{\mathbf{x}}_c', \mathbf{0}')' $ ؛ والآخر هو الفضاء الفرعي ذو الأبعاد $ (n - n_1) $ والذي يتكون من جميع المتجهات ذات الشكل $ [\mathbf{0}'\bar{\mathbf{x}}_{\bar{c}}']' $ . نظرًا لأن (6.41) هو قابل للتحكم (controllable)، يمكن لـ مدخل (input) $ \mathbf{u} $ نقل $ \bar{\mathbf{x}}_c $ من أي حالة (state) إلى أي حالة (state) آخر. ومع ذلك، فإن مدخل (input) $ \mathbf{u} $ لا يمكنه التحكم في $ \bar{\mathbf{x}}_{\bar{c}} $ لأنه، كما نرى من (6.40)، $ \mathbf{u} $ لا يؤثر على $ \bar{\mathbf{x}}_{\bar{c}} $ بشكل مباشر، ولا يؤثر على $ \bar{\mathbf{x}}_{\bar{c}} $ بشكل غير مباشر من خلال حالة (state) $ \bar{\mathbf{x}}_c $ . بإسقاط غير قابل للتحكم (uncontrollable) متجه الحالة (state vector)، نحصل على قابل للتحكم (controllable) معادلة الحالة (state equation) من البعد الأقل الذي يساوي صفر - حالة (state) المكافئ للمعادلة الأصلية.

مثال 6.4.1 فكر في الشكل ثلاثي الأبعاد معادلة فضاء الحالة (state-space equation)

$$ \dot {\mathbf {x}} (t) = \left[ \begin{array}{l l l} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{array} \right] \mathbf {x} (t) + \left[ \begin{array}{l l} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right] u (t), \quad y (t) = [ 1 1 1 ] \mathbf {x} (t) \tag {6.43} $$

رتبة $ \mathbf{B} $ هي 2؛ لذلك، يمكننا استخدام $ \mathcal{C}_2 = [\mathbf{B} \mathbf{A}\mathbf{B}] $، بدلاً من $ \mathcal{C} = [\mathbf{B} \mathbf{A}\mathbf{B} \mathbf{A}^2\mathbf{B}] $، للتحقق من قابلية التحكم (controllability) من (6.43) (النتيجة الطبيعية 6.1). لأن

$$ \rho \left(\mathcal {C} _ {2}\right) = \rho ([ \mathbf {B} \mathbf {A B} ]) = \rho \left[ \begin{array}{c c c c} 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{array} \right] = 2 < 3 $$

معادلة الحالة (state equation) في (6.43) ليس قابل للتحكم (controllable). دعونا نختار

$$ \mathbf {P} ^ {- 1} = \mathbf {Q} := \left[ \begin{array}{c c c} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{array} \right] $$

أول عمودين من $ \mathbf{Q} $ هما أول عمودين مستقلين خطيًا من $ C_2 $ ؛ تم اختيار العمود الأخير بشكل تعسفي لجعل $ \mathbf{Q} $ غير مفرد (nonsingular). دع $ \bar{\mathbf{x}} = \mathbf{P}\mathbf{x} $ . نحن نحسب

$$ \begin{array}{l} \bar {\mathbf {A}} = \mathbf {P} \mathbf {A} \mathbf {P} ^ {- 1} = \left[ \begin{array}{l l l} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & - 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{l l l} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{l l l} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{array} \right] \\ = \left[ \begin{array}{c c c c} 1 & 0 & \vdots & 0 \\ 1 & 1 & \vdots & 0 \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ 0 & 0 & \vdots & 1 \end{array} \right] \\ \end{array} $$

$$ \begin{array}{l} \bar {\mathbf {B}} = \mathbf {P B} = \left[ \begin{array}{l l l} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & - 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{l l} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l l} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \dots & \dots \\ 0 & 0 \end{array} \right] \\ \bar {\mathbf {C}} = \mathbf {C P} ^ {- 1} = \left[ \begin{array}{l l l} 1 & 1 & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{l l l} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l l l} 1 & 2 & 1 \end{array} \right] \\ \end{array} $$

لاحظ أن $ 1 \times 2 $ submatric $ \mathbf{A}_{21} $ لـ $ \mathbf{A} $ و$ \mathbf{B}_{\bar{c}} $ صفر كما هو متوقع. تصادف أن المصفوفة الفرعية $ 2 \times 1 $ $ \mathbf{A}_{12} $ صفر؛ يمكن أن يكون غير الصفر. الجزء العلوي من $ \mathbf{B} $ عبارة عن مصفوفة وحدة لأن أعمدة $ \mathbf{B} $ هي أول عمودين من $ \mathbf{Q} $ . وبالتالي يمكن اختزال (6.43) إلى

$$ \dot {\bar {\mathbf {x}}} _ {c} (t) = \left[ \begin{array}{l l} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{array} \right] \bar {\mathbf {x}} _ {c} (t) + \left[ \begin{array}{l l} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right] \mathbf {u} (t), \quad y (t) = [ 1 2 ] \bar {\mathbf {x}} _ {c} (t) $$

هذه المعادلة هي قابل للتحكم (controllable) ولها نفس مصفوفة تحويل (transfer matrix) مثل (6.43).

تقوم دالة MATLAB ctrbf بتحويل (6.38) إلى (6.40) باستثناء أن ترتيب الأعمدة في $ \mathbf{P}^{-1} $ معكوس. وبالتالي فإن معادلة النتيجة LTIng لها الشكل

$$ \left[ \begin{array}{l l} \bar {\mathbf {A}} _ {\bar {c}} & \mathbf {0} \\ \bar {\mathbf {A}} _ {2 1} & \bar {\mathbf {A}} _ {c} \end{array} \right] \quad \left[ \begin{array}{l} \mathbf {0} \\ \bar {\mathbf {B}} _ {c} \end{array} \right] $$

تم إنشاء النظرية 6.6 من مصفوفة قابلية التحكم (controllability matrix). في الحساب الفعلي، ليس من الضروري تكوين مصفوفة قابلية التحكم (controllability matrix). يمكن الحصول على النتيجة من خلال تنفيذ سلسلة من تحويلات التشابه لتحويل $ [\mathbf{B}\mathbf{A}] $ إلى نموذج هيسنبيرج.

انظر المرجع 6، ص 220-222. هذا الإجراء فعال ومستقر عدديًا ويجب استخدامه في الحساب الفعلي.

مزدوجًا للنظرية 6.6، لدينا النظرية التالية لـ غير قابل للملاحظة (unobservable) معادلات فضاء الحالة (state-space equations).

نظرية 6.06 

خذ بعين الاعتبار $ n $ - البعد معادلة فضاء الحالة (state-space equation) في (6.38) مع

$$ \rho (\mathcal {O}) = \rho \left[ \begin{array}{c} \mathbf {C} \\ \mathbf {C A} \\ \vdots \\ \mathbf {C A} ^ {n - 1} \end{array} \right] = n _ {2} < n $$

نحن نشكل المصفوفة $ n \times n $.

$$ \mathbf {P} = \left[ \begin{array}{c} \mathbf {p} _ {1} \\ \vdots \\ \mathbf {p} _ {n _ {2}} \\ \vdots \\ \mathbf {p} _ {n} \end{array} \right] $$

حيث الصفوف الأولى $ n_2 $ هي أي $ n_2 $ صفوف مستقلة خطيًا من $ \mathcal{O} $، ويمكن اختيار الصفوف المتبقية بشكل عشوائي طالما أن $ \mathbf{P} $ هي غير مفرد (nonsingular). بعد ذلك سوف يتحول تحويل مكافئ (equivalence transformation) $ \bar{\mathbf{x}} = \mathbf{P}\mathbf{x} $ (6.38) إلى

$$ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} \dot {\bar {\mathbf {x}}} _ {o} (t) \\ \dot {\bar {\mathbf {x}}} _ {\bar {o}} (t) \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c c} \bar {\mathbf {A}} _ {o} & \mathbf {0} \\ \bar {\mathbf {A}} _ {2 1} & \bar {\mathbf {A}} _ {\bar {o}} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{l} \bar {\mathbf {x}} _ {o} (t) \\ \bar {\mathbf {x}} _ {\bar {o}} (t) \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{c} \bar {\mathbf {B}} _ {o} \\ \bar {\mathbf {B}} _ {\bar {o}} \end{array} \right] \mathbf {u} (t) \tag {6.44} \\ \mathbf {y} (t) = \left[ \begin{array}{l l} \bar {\mathbf {C}} _ {o} & \mathbf {0} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} \bar {\mathbf {x}} _ {o} (t) \\ \bar {\mathbf {x}} _ {o} ^ {\prime} (t) \end{array} \right] + \mathbf {D u} (t) \\ \end{array} $$

حيث $ \bar{\mathbf{A}}_o $ هو $ n_2 \times n_2 $ و $ \bar{\mathbf{A}}_{\bar{o}} $ هو $ (n - n_2) \times (n - n_2) $، والمعادلة الفرعية ذات الأبعاد $ n_2 $ التالية لـ (6.44)

$$ \begin{array}{l} \dot {\bar {\mathbf {x}}} _ {o} (t) = \bar {\mathbf {A}} _ {c} \bar {\mathbf {x}} _ {o} (t) + \bar {\mathbf {B}} _ {o} \mathbf {u} (t) \\ \bar {\mathbf {y}} (t) = \bar {\mathbf {C}} _ {o} \bar {\mathbf {x}} _ {o} (t) + \mathbf {D u} (t) \\ \end{array} $$

هو قابل للملاحظة (observable) وله نفس مصفوفة تحويل (transfer matrix) مثل (6.38).

في تحويل مكافئ (equivalence transformation) $ \bar{\mathbf{x}} = \mathbf{P}\mathbf{x} $، ينقسم البعد $ n $ - فضاء الحالة (state space) إلى مسافتين فرعيتين. الأول هو الفضاء الفرعي ذو الأبعاد $ n_2 $ والذي يتكون من جميع المتجهات ذات الشكل $ [\bar{\mathbf{x}}_o', \mathbf{0}'']' $ ؛ والآخر هو الفضاء الفرعي ذو الأبعاد $ (n - n_2) $ والذي يتكون من جميع المتجهات ذات الشكل $ [\mathbf{0}'', \bar{\mathbf{x}}_o']' $ . يمكن اكتشاف حالة (state) $ \bar{\mathbf{x}}_o $ من مخرج (output). ومع ذلك، لا يمكن اكتشاف $ \bar{\mathbf{x}}_o $ من مخرج (output) لأنه، كما نرى من (6.44)، فهو غير متصل بـ مخرج (output) بشكل مباشر، كما أنه غير متصل بشكل غير مباشر من خلال حالة (state) $ \bar{\mathbf{x}}_o $ . بإسقاط غير قابل للملاحظة (unobservable) متجه الحالة (state vector)، نحصل على قابل للملاحظة (observable) معادلة الحالة (state equation) من البعد الأقل الذي يساوي صفر - حالة (state) المكافئ للمعادلة الأصلية. وظيفة MATLAB obsvf هي النظير لـ ctrbf. بدمج النظريتين 6.6 و6.06، نحصل على نظرية تفكيك كالمان (Kalman decomposition) التالية.

نظرية 6.7 

يمكن تحويل كل معادلة فضاء الحالة (state-space equation)، بواسطة تحويل مكافئ (equivalence transformation)، إلى الشكل القانوني التالي:

$$ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} \dot {\bar {\mathbf {x}}} _ {c o} (t) \\ \dot {\bar {\mathbf {x}}} _ {c \bar {o}} (t) \\ \dot {\bar {\mathbf {x}}} _ {\bar {c} o} (t) \\ \dot {\bar {\mathbf {x}}} _ {\bar {c} \bar {o}} (t) \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l l l l} \bar {\mathbf {A}} _ {c o} & \mathbf {0} & \bar {\mathbf {A}} _ {1 3} & \mathbf {0} \\ \bar {\mathbf {A}} _ {2 1} & \bar {\mathbf {A}} _ {c \bar {o}} & \bar {\mathbf {A}} _ {2 3} & \bar {\mathbf {A}} _ {2 4} \\ \mathbf {0} & \mathbf {0} & \bar {\mathbf {A}} _ {\bar {c} o} & \mathbf {0} \\ \mathbf {0} & \mathbf {0} & \bar {\mathbf {A}} _ {4 3} & \bar {\mathbf {A}} _ {\bar {c} \bar {o}} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{l} \bar {\mathbf {x}} _ {c o} (t) \\ \bar {\mathbf {x}} _ {c \bar {o}} (t) \\ \bar {\mathbf {x}} _ {\bar {c} o} (t) \\ \bar {\mathbf {x}} _ {\bar {c} \bar {o}} (t) \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{l} \bar {\mathbf {B}} _ {c o} \\ \bar {\mathbf {B}} _ {c \bar {o}} \\ \mathbf {0} \\ \mathbf {0} \end{array} \right] \mathbf {u} (t) \\ \mathbf {y} (t) = \left[ \bar {\mathbf {C}} _ {c o} \quad \mathbf {0} \quad \bar {\mathbf {C}} _ {\bar {c} o} \quad \mathbf {0} \right] \bar {\mathbf {x}} (t) + \mathbf {D u} (t) \tag {6.45} \\ \end{array} $$

حيث المتجه $ \bar{\mathbf{x}}_{co} $ هو قابل للتحكم (controllable) وقابل للملاحظة (observable)، $ \bar{\mathbf{x}}_{c\bar{o}} $ هو قابل للتحكم (controllable) ولكن ليس قابل للملاحظة (observable)، $ \bar{\mathbf{x}}_{\bar{c}o} $ هو قابل للملاحظة (observable) ولكن ليس قابل للتحكم (controllable)، و$ \bar{\mathbf{x}}_{\bar{c}\bar{o}} $ ليس قابل للتحكم (controllable) ولا قابل للملاحظة (observable). علاوة على ذلك، فإن معادلة فضاء الحالة (state-space equation) يساوي صفر-حالة (state) مكافئ لـ قابل للتحكم (controllable) وقابل للملاحظة (observable) معادلة فضاء الحالة (state-space equation)

$$ \begin{array}{l} \dot {\bar {\mathbf {x}}} _ {c o} (t) = \bar {\mathbf {A}} _ {c o} \bar {\mathbf {x}} _ {c o} (t) + \bar {\mathbf {B}} _ {c o} \mathbf {u} (t) \tag {6.46} \\ \mathbf {y} (t) = \bar {\mathbf {C}} _ {c o} \bar {\mathbf {x}} _ {c o} (t) + \mathbf {D u} (t) \\ \end{array} $$

ولديه مصفوفة تحويل (transfer matrix)

$$ \hat {\mathbf {G}} (s) = \bar {\mathbf {C}} _ {c o} (s \mathbf {I} - \bar {\mathbf {A}} _ {c o}) ^ {- 1} \bar {\mathbf {B}} _ {c o} + \mathbf {D} $$

يمكن توضيح هذه النظرية رمزيًا كما هو موضح في الشكل 6.7. تم تحليل المعادلة أولاً باستخدام النظرية 6.6، إلى معادلتين فرعيتين قابل للتحكم (controllable) وغير قابل للتحكم (uncontrollable). نقوم بعد ذلك بتحليل كل معادلة فرعية، باستخدام النظرية 6.06، إلى جزأين قابل للملاحظة (observable) وغير قابل للملاحظة (unobservable). من الشكل، نرى أن الجزء قابل للتحكم (controllable) وقابل للملاحظة (observable) فقط متصل بكل من المطرافين مدخل (input) ومخرج (output). وبالتالي النقل

الشكل 6.7 تفكيك كالمان (Kalman decomposition).

تصف المصفوفة هذا الجزء فقط من النظام. هذا هو السبب في أن وصف وظيفة النقل ووصف فضاء الحالة (state-space) ليسا متكافئين بالضرورة. على سبيل المثال، إذا كانت أي مصفوفة A بخلاف $ \bar{\mathbf{A}}_{co} $ تحتوي على قيمة ذاتية (eigenvalue) بجزء حقيقي موجب، فقد تنمو بعض متغير الحالة (state variable) بدون حدود وقد يحترق النظام. ومع ذلك، لا يمكن اكتشاف هذه الظاهرة من مصفوفة تحويل (transfer matrix).

يمكن لوظيفة MATLAB الصغيرة، وهي اختصار لعبارة "الحد الأدنى من الإدراك"، أن تقلل (6.45) إلى (6.46). سيتم توضيح سبب تسميته بالحد الأدنى من الإدراك في الفصل التالي.

مثال 6.4.2 ضع في اعتبارك دائرة (circuit) الموضح في الشكل 6.8(a). نظرًا لأن مدخل (input) هو مصدر تيار (current source)، فإن الاستجابات بسبب الشروط الأولية في $ C_1 $ و$ L_1 $ لن تظهر في مخرج (output). وبالتالي فإن متغيرات الحالة (state variables) المرتبطة بـ $ C_1 $ و$ L_1 $ ليست قابل للملاحظة (observable)؛ سواء كانوا قابل للتحكم (controllable) أم لا، فهذا غير مهم في المناقشة اللاحقة. وبالمثل، فإن متغير الحالة (state variable) المرتبط بـ $ L_2 $ ليس قابل للتحكم (controllable). نظرًا لتماثل الأربع $ 1\Omega $ مقاومة (resistor)، فإن متغير الحالة (state variable) المرتبط بـ $ C_2 $ ليس قابل للتحكم (controllable) ولا قابل للملاحظة (observable). بإسقاط متغيرات الحالة (state variables) التي تكون إما غير قابل للتحكم (uncontrollable) أو غير قابل للملاحظة (unobservable)، يمكن اختزال دائرة (circuit) في الشكل. 6.8(a) إلى الشكل الموجود في الشكل 6.8(b). التيار في كل فرع هو $ u/2 $ ؛ وبالتالي فإن مخرج (output) $ y $ يساوي $ 2 \cdot (u/2) $ أو $ y = u $ . وبالتالي فإن دالة تحويل (transfer function) لـ دائرة (circuit) في الشكل. 6.8(a) هو $ \hat{g}(s) = 1 $ .

إذا قمنا بتعيين متغيرات الحالة (state variables) كما هو موضح، فيمكن وصف دائرة (circuit) بواسطة

$$ \dot {\mathbf {x}} (t) = \left[ \begin{array}{c c c c} 0 & - 0. 5 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 0. 5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 \end{array} \right] \mathbf {x} (t) + \left[ \begin{array}{c} 0. 5 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right] u (t) $$

$$ y (t) = [ 0 0 0 1 ] \mathbf {x} (t) + u (t) $$

(أ)
الشكل 6.8 دوائر (circuits).

(ب)

نظرًا لأن المعادلة بالفعل بالشكل الموضح في (6.40)، فيمكن اختزالها إلى ما يلي قابل للتحكم (controllable) معادلة فضاء الحالة (state-space equation):

$$ \begin{array}{l} \dot {\mathbf {x}} _ {c} (t) = \left[ \begin{array}{l l} 0 & - 0. 5 \\ 1 & 0 \end{array} \right] \mathbf {x} _ {c} (t) + \left[ \begin{array}{l} 0. 5 \\ 0 \end{array} \right] u (t) \\ y (t) = [ 0 \quad 0 ] \mathbf {x} _ {c} (t) + u (t) \\ \end{array} $$

إن مخرج (output) مستقلة عن $ \mathbf{x}_c $، وبالتالي يمكن تقليل المعادلة إلى $ y = u $ . وهذا ما سنحصل عليه باستخدام دالة MATLAB المصغرة.