6.5 الشروط في معادلات النموذج الأردني 

قابلية التحكم (controllability) وقابلية الملاحظة (observability) غير متغيرين تحت أي تحويل مكافئ (equivalence transformation). إذا تم تحويل معادلة فضاء الحالة (state-space equation) إلى الأردن من، فإن شروط قابلية التحكم (controllability) وقابلية الملاحظة (observability) تصبح بسيطة جدًا وغالبًا ما يمكن التحقق منها عن طريق الفحص. فكر في معادلة فضاء الحالة (state-space equation)

$$ \begin{array}{l} \dot {\mathbf {x}} (t) = \mathbf {J} \mathbf {x} (t) + \mathbf {B} \mathbf {x} (t) \tag {6.47} \\ \mathbf {y} (t) = \mathbf {C x} (t) \\ \end{array} $$

حيث يوجد $ \mathbf{J} $ في صيغة جوردان (Jordan form). لتبسيط المناقشة، نفترض أن $ \mathbf{J} $ يحتوي على اثنين فقط من قيم ذاتية (eigenvalues) $ \lambda_{1} $ و$ \lambda_{2} $ ويمكن كتابتهما كـ

$$ \mathbf {J} = \operatorname {d i a g} \left(\mathbf {J} _ {1}, \mathbf {J} _ {2}\right) $$

حيث يتكون $ \mathbf{J}_1 $ من جميع كتل الأردن المرتبطة بـ $ \lambda_1 $ ويتكون $ \mathbf{J}_2 $ من جميع كتل الأردن المرتبطة بـ $ \lambda_2 $ . مرة أخرى لتبسيط المناقشة، نفترض أن $ \mathbf{J}_1 $ به ثلاث كتل للأردن و$ \mathbf{J}_2 $ به كتلتين للأردن أو

$$ \mathbf {J} _ {1} = \operatorname {d i a g} \left(\mathbf {J} _ {1 1}, \mathbf {J} _ {1 2}, \mathbf {J} _ {1 3}\right) \quad \mathbf {J} _ {2} = \operatorname {d i a g} \left(\mathbf {J} _ {2 1}, \mathbf {J} _ {2 2}\right) $$

تتم الإشارة إلى صف $ \mathbf{B} $ المطابق للصف الأخير من $ \mathbf{J}_{ij} $ بواسطة $ \mathbf{b}_{lij} $ . عمود $ \mathbf{C} $ المطابق للعمود الأول من $ \mathbf{J}_{ij} $ يُشار إليه بـ $ \mathbf{c}_{fij} $ .

نظرية 6.8 

يكون معادلة فضاء الحالة (state-space equation) في (6.47) قابل للتحكم (controllable) إذا وفقط إذا كانت متجهات الصفوف الثلاثة $ \{\mathbf{b}_{l11},\mathbf{b}_{l12},\mathbf{b}_{l13}\} $ مستقلة خطيًا ومتجهي الصفين $ \{\mathbf{b}_{l21},\mathbf{b}_{l22}\} $ مستقلين خطيًا.
يكون معادلة فضاء الحالة (state-space equation) في (6.47) قابل للملاحظة (observable) إذا وفقط إذا كانت متجهات الأعمدة الثلاثة $ \{\mathbf{c}_{f11},\mathbf{c}_{f12},\mathbf{c}_{f13}\} $ مستقلة خطيًا ومتجهي العمودين $ \{\mathbf{c}_{f21},\mathbf{c}_{f22}\} $ مستقلين خطيًا.

نناقش أولا الآثار المترتبة على هذه النظرية. إذا كان معادلة فضاء الحالة (state-space equation) موجودًا في صيغة جوردان (Jordan form)، فيمكن التحقق من قابلية التحكم (controllability) من متغيرات الحالة (state variables) المرتبط بـ قيمة ذاتية (eigenvalue) بشكل مستقل عن تلك المرتبطة بـ قيم ذاتية (eigenvalues) المختلفة. يعتمد قابلية التحكم (controllability) من متغيرات الحالة (state variables) المرتبط بنفس قيمة ذاتية (eigenvalue) فقط على صفوف $ \mathbf{B} $ المقابلة للصف الأخير من جميع كتل الأردن المرتبطة بـ

قيمة ذاتية (eigenvalue). جميع الصفوف الأخرى من $ \mathbf{B} $ لا تلعب أي دور في تحديد قابلية التحكم (controllability). تنطبق ملاحظات مماثلة على الجزء قابلية الملاحظة (observability) باستثناء أن أعمدة $ \mathbf{C} $ المقابلة للعمود الأول لجميع كتل الأردن تحدد قابلية الملاحظة (observability). نستخدم مثالاً لتوضيح استخدام النظرية 6.8.

مثال 6.5.1 خذ بعين الاعتبار النموذج الأردني معادلة فضاء الحالة (state-space equation)

$$ \begin{array}{l} \dot {\mathbf {x}} (t) = \left[ \begin{array}{c c c c c c c} \lambda_ {1} & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_ {1} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_ {1} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \lambda_ {1} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \lambda_ {2} & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \lambda_ {2} & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \lambda_ {2} \end{array} \right] \mathbf {x} (t) + \left[ \begin{array}{c c c} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} \right] \mathbf {u} (t) \tag {6.48} \\ \mathbf {y} (t) = \left[ \begin{array}{c c c c c c c} 1 & 1 & 2 & 0 & 0 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 2 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 & 3 & 0 & 2 & 0 \end{array} \right] \mathbf {x} (t) \\ \end{array} $$

تحتوي المصفوفة $ \mathbf{J} $ على مصفوفتين مختلفتين قيم ذاتية (eigenvalues) $ \lambda_{1} $ و $ \lambda_{2} $ . هناك ثلاث كتل جوردان، بالترتيب 2 و1 و1، مرتبطة بـ $ \lambda_{1} $ . صفوف $ \mathbf{B} $ المقابلة للصف الأخير من كتل الأردن الثلاثة هي [100]، [010]، و[111]. الصفوف الثلاثة مستقلة خطيا. توجد كتلة جوردان واحدة فقط، بالطلب 3، مرتبطة بـ $ \lambda_{2} $ . الصف $ \mathbf{B} $ المطابق للصف الأخير من كتلة الأردن هو [111]، وهو غير صفري، وبالتالي فهو مستقل خطيًا. وهكذا نستنتج أن معادلة الحالة (state equation) في (6.48) هو قابل للتحكم (controllable).

شروط أن تكون (6.48) قابل للملاحظة (observable) هي الأعمدة الثلاثة $ [1 1 1]^{\prime}, [2 1 2]^{\prime} $، و$ [0 2 3]^{\prime} $ مستقلة خطيًا (هم كذلك) والعمود الواحد $ [0 0 0]^{\prime} $ مستقل خطيًا (ليس كذلك). لذلك فإن معادلة فضاء الحالة (state-space equation) ليس قابل للملاحظة (observable).

قبل إثبات النظرية 6.8، قمنا برسم مخطط كتلة لتوضيح كيفية نشوء الشروط في النظرية. معكوس $ (s\mathbf{I} - \mathbf{J}) $ هو بالشكل الموضح في (3.49) الذي تتكون مدخلاته من $ 1 / (s - \lambda_i)^k $ فقط. باستخدام (3.49)، يمكننا رسم مخطط كتلة لـ (6.48) كما هو موضح في الشكل. 6.9. كل سلسلة من الكتل تتوافق مع كتلة جوردان واحدة في المعادلة. نظرًا لأن (6.48) يحتوي على أربع كتل أردنية، فإن الشكل يحتوي على أربع سلاسل. يمكن تعيين مخرج (output) لكل كتلة على أنها متغير الحالة (state variable) كما هو موضح في الشكل 6.10. دعونا نفكر في السلسلة الأخيرة في الشكل 6.9. إذا كان $ \mathbf{b}_{l21} = \mathbf{0} $، فإن متغير الحالة (state variable) $ x_{l21} $ غير متصل بـ مدخل (input) وليس قابل للتحكم (controllable) بغض النظر عن القيم $ \mathbf{b}_{221} $ و$ \mathbf{b}_{l21} $ المفترضة. من ناحية أخرى، إذا كانت $ \mathbf{b}_{l21} $ غير صفرية، فكل متغيرات الحالة (state variables) في السلسلة هي قابل للتحكم (controllable). إذا كان هناك سلسلتين أو أكثر مرتبطة بنفس قيمة ذاتية (eigenvalue)، فإننا نطلب الاستقلال الخطي لمتجهات الكسب الأولى لتلك السلاسل. يمكن التحقق من السلاسل المرتبطة بـ قيم ذاتية (eigenvalues) بشكل منفصل. تنطبق جميع المناقشات على الجزء قابلية الملاحظة (observability) باستثناء أن متجه العمود $ \mathbf{c}_{fij} $ يلعب دور متجه الصف $ \mathbf{b}_{lij} $ .

البرهان: إثبات النظرية 6.8: نثبت النظرية باستخدام شرط أن المصفوفة $ [A - sI B] $ أو $ [sI - A B] $ لها رتبة صفية كاملة (full row rank) عند كل قيمة ذاتية (eigenvalue) من $ A $ . لكي لا نطغى على التدوين، نفترض أن $ [sI - J B] $ كذلك

الشكل 6.9 مخطط كتلة لـ (6.48).

الشكل 6.10 البنية الداخلية لـ $ 1 / (s - \lambda_{i}) $

من النموذج

$$ \left[ \begin{array}{c c c c c c c c} s - \lambda_ {1} & - 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \mathbf {b} _ {1 1 1} \\ 0 & s - \lambda_ {1} & - 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & \mathbf {b} _ {2 1 1} \\ 0 & 0 & s - \lambda_ {1} & 0 & 0 & 0 & 0 & \mathbf {b} _ {l 1 1} \\ 0 & 0 & 0 & s - \lambda_ {1} & - 1 & 0 & 0 & \mathbf {b} _ {1 1 2} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & s - \lambda_ {1} & 0 & 0 & \mathbf {b} _ {l 1 2} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & s - \lambda_ {2} & - 1 & \mathbf {b} _ {1 2 1} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & s - \lambda_ {2} & \mathbf {b} _ {l 2 1} \end{array} \right] \tag {6.49} $$

تحتوي مصفوفة الشكل الأردني $ \mathbf{J} $ على مصفوفتين مختلفتين قيم ذاتية (eigenvalues) $ \lambda_{1} $ و $ \lambda_{2} $ . هناك كتلتان من الأردن مرتبطتان بـ $ \lambda_{1} $ وواحدة مرتبطة بـ $ \lambda_{2} $ . إذا أصبح $ s = \lambda_{1} $، (6.49)

$$ \left[ \begin{array}{r r r r r r r r} 0 & - 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \mathbf {b} _ {1 1 1} \\ 0 & 0 & - 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & \mathbf {b} _ {2 1 1} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \mathbf {b} _ {l 1 1} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & - 1 & 0 & 0 & \mathbf {b} _ {1 1 2} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \mathbf {b} _ {l l 2} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \lambda_ {1} - \lambda_ {2} & - 1 & \mathbf {b} _ {1 2 1} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \lambda_ {1} - \lambda_ {2} & \mathbf {b} _ {l 2 1} \end{array} \right] \tag {6.50} $$

لن يتغير ترتيب المصفوفة بواسطة عمليات العمود الأولية. نضيف منتج العمود الثاني من (6.50) بواسطة $ \mathbf{b}_{111} $ إلى عمود الكتلة الأخير. وبتكرار العملية مع العمودين الثالث والخامس نحصل على

$$ \left[ \begin{array}{r r r r r r r r} 0 & - 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \mathbf {0} \\ 0 & 0 & - 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & \mathbf {0} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \mathbf {b} _ {l 1 1} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & - 1 & 0 & 0 & \mathbf {0} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \mathbf {b} _ {l 1 2} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \lambda_ {1} - \lambda_ {2} & - 1 & \mathbf {b} _ {l 2 1} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \lambda_ {1} - \lambda_ {2} & \mathbf {b} _ {l 2 1} \end{array} \right] $$

نظرًا لأن $ \lambda_{1} $ و$ \lambda_{2} $ مختلفان، فإن $ \lambda_{1} - \lambda_{2} $ ليس صفرًا. نضيف حاصل ضرب العمود السابع و$ -\mathbf{b}_{l21} / (\lambda_1 - \lambda_2) $ إلى العمود الأخير ثم نستخدم العمود السادس لإزالة مدخلاته على الجانب الأيمن للحصول على الناتج

$$ \left[ \begin{array}{r r r r r r r r} 0 & - 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \mathbf {0} \\ 0 & 0 & - 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & \mathbf {0} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \mathbf {b} _ {l 1 1} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & - 1 & 0 & 0 & \mathbf {0} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \mathbf {b} _ {l 1 2} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \lambda_ {1} - \lambda_ {2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \lambda_ {1} - \lambda_ {2} & 0 \end{array} \right] \tag {6.51} $$

من الواضح أن المصفوفة في (6.51) تحتوي على رتبة صفية كاملة (full row rank) إذا وفقط إذا كان $ \mathbf{b}_{l|1} $ و$ \mathbf{b}_{l|2} $ مستقلين خطيًا. بالمثل بالنسبة لكل قيمة ذاتية (eigenvalue)، يمكننا تأسيس النظرية 6.8. Q.E.D.

خذ بعين الاعتبار $ n $ - شكل الأردن معادلة فضاء الحالة (state-space equation) مع $ p $ مداخل (inputs) و$ q $ مخارج (outputs). إذا كان هناك $ m $، مع $ m > p $، فإن كتل الأردن مرتبطة بنفس قيمة ذاتية (eigenvalue)، ثم $ m $ عدد متجهات الصف $ 1 \times p $ لا يمكن أن تكون مستقلة خطيًا أبدًا ولا يمكن أن يكون معادلة فضاء الحالة (state-space equation) قابل للتحكم (controllable). وبالتالي فإن الشرط الضروري لكي يكون معادلة فضاء الحالة (state-space equation) قابل للتحكم (controllable) هو $ m \leq p $ . وبالمثل، فإن الشرط الضروري لكي يكون معادلة فضاء الحالة (state-space equation) هو قابل للملاحظة (observable) هو $ m \leq q $ . بالنسبة للحالة المفردة مدخل (input)، لدينا النتائج الطبيعية التالية.

النتيجة الطبيعية 6.8 

شكل الأردن الفردي مدخل (input) هو معادلة فضاء الحالة (state-space equation) هو قابل للتحكم (controllable) إذا وفقط إذا كان هناك كتلة جوردان واحدة فقط مرتبطة بكل قيمة ذاتية (eigenvalue) مميزة وكل إدخال $ \mathbf{B} $ المطابق للصف الأخير من كل كتلة الأردن يختلف عن الصفر.

النتيجة الطبيعية 6.08 

شكل الأردن الفردي مخرج (output) هو معادلة فضاء الحالة (state-space equation) هو قابل للملاحظة (observable) إذا وفقط إذا كان هناك كتلة Jordan واحدة فقط مرتبطة بكل قيمة ذاتية (eigenvalue) مميزة وكل إدخال $ \mathbf{C} $ المطابق للعمود الأول من كل كتلة Jordan يختلف عن الصفر.

مثال 6.5.2 فكر في معادلة فضاء الحالة (state-space equation)

$$ \begin{array}{l} \dot {\mathbf {x}} (t) = \left[ \begin{array}{l l l l} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 2 \end{array} \right] \mathbf {x} (t) + \left[ \begin{array}{l} 1 0 \\ 9 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right] u (t) \tag {6.52} \\ \mathbf {y} (t) = \left[ \begin{array}{l l l l} 1 & 0 & 0 & 2 \end{array} \right] \mathbf {x} (t) \\ \end{array} $$

هناك كتلتان من الأردن، واحدة بالترتيب 3 ومرتبطة بـ قيمة ذاتية (eigenvalue) 0، والأخرى بالطلب 1 ومرتبطة بـ قيمة ذاتية (eigenvalue) $ -2 $ . إدخال $ \mathbf{B} $ المطابق للصف الأخير من كتلة الأردن الأولى هو صفر؛ وبالتالي فإن معادلة الحالة (state equation) ليس قابل للتحكم (controllable). يختلف الإدخالان $ \mathbf{C} $ المطابقان للعمود الأول لكلتا كتلتي الأردن عن الصفر، وبالتالي فإن معادلة فضاء الحالة (state-space equation) هو قابل للملاحظة (observable).