6.6.1 قابلية التحكم (controllability) إلى الأصل و قابلية الوصول (reachability) 

    في الأدبيات، هناك ثلاثة تعريفات مختلفة قابلية التحكم (controllability):

    1. قم بنقل أي حالة (state) إلى أي حالة (state) أخرى كما هو معتمد في التعريف 6.D1.
    2. انقل أي حالة (state) إلى الصفر حالة (state)، المسمى قابلية التحكم (controllability) إلى الأصل.
    3. انقل الصفر حالة (state) إلى أي حالة (state)، يسمى قابلية التحكم (controllability) من الأصل أو، في أغلب الأحيان، قابلية الوصول (reachability).

    في الحالة زمن مستمر (continuous-time)، نظرًا لأن $ e^{\mathbf{A}t} $ هو غير مفرد (nonsingular)، فإن التعريفات الثلاثة متكافئة. في الحالة زمن متقطع (discrete-time)، إذا كانت $ \mathbf{A} $ هي غير مفرد (nonsingular)، فإن التعريفات الثلاثة متكافئة مرة أخرى. لكن إذا كان $ \mathbf{A} $ هو مفرد (singular)، فإن (1) و(3) متكافئان، ولكن ليس (2) و(3). يمكن رؤية التكافؤ (1) و (3) بسهولة من (6.58). نستخدم الأمثلة لمناقشة الفرق بين (2) و (3). يعتبر

    $$ \mathbf {x} [ k + 1 ] = \left[ \begin{array}{l l l} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right] \mathbf {x} [ k ] + \left[ \begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right] u [ k ] \tag {6.63} $$

    لها مصفوفة قابلية التحكم (controllability matrix) المرتبة 0 والمعادلة ليست قابل للتحكم (controllable) كما هو محدد في (1) أو لا يمكن الوصول إليها كما هو محدد في (3). المصفوفة $ \mathbf{A} $ لها الشكل الموضح في (3.40) ولها الخاصية $ \mathbf{A}^k = \mathbf{0} $ لـ $ k \geq 3 $ . وهكذا لدينا

    $$ \mathbf {x} [ 3 ] = \mathbf {A} ^ {3} \mathbf {x} [ 0 ] = \mathbf {0} $$

    لأي الحالة الابتدائية (initial state) $ \mathbf{x}[0] $ . وبالتالي فإن كل حالة (state) ينتشر إلى الصفر حالة (state) سواء تم تطبيق تسلسل مدخل (input) أم لا. وبالتالي فإن المعادلة هي قابل للتحكم (controllable) إلى الأصل. يتبع مثال مختلف. يعتبر

    $$ \mathbf {x} [ k + 1 ] = \left[ \begin{array}{l l} 2 & 1 \\ 0 & 0 \end{array} \right] \mathbf {x} [ k ] + \left[ \begin{array}{l} - 1 \\ 0 \end{array} \right] u [ k ] \tag {6.64} $$

    إنه مصفوفة قابلية التحكم (controllability matrix)

    $$ \left[ \begin{array}{c c} - 1 & - 2 \\ 0 & 0 \end{array} \right] $$

    لديه المرتبة 1 والمعادلة غير قابلة للوصول. ومع ذلك، بالنسبة لأي $ x_1[0] = \alpha $ و$ x_2[0] = \beta $، فإن مدخل (input) $ u[0] = 2\alpha + \beta $ ينقل $ \mathbf{x}[0] $ إلى $ \mathbf{x}[1] = \mathbf{0} $ . وبالتالي فإن المعادلة هي قابل للتحكم (controllable) إلى الأصل. لاحظ أن المصفوفات A في (6.63) و (6.64) كلاهما مفرد (singular). يشمل التعريف المعتمد في التعريف 6.D1 التعريفين الآخرين ويجعل المناقشة بسيطة. للاطلاع على مناقشة شاملة للتعريفات الثلاثة، انظر المرجع 4.