6.6 زمن متقطع (discrete-time) معادلات فضاء الحالة (state-space equations) 

    خذ بعين الاعتبار $ n $ - الأبعاد $ p $ - مدخل (input) $ q $ - مخرج (output) معادلة فضاء الحالة (state-space equation)

    $$ \begin{array}{l} \mathbf {x} [ k + 1 ] = \mathbf {A x} [ k ] + \mathbf {B u} [ k ] \tag {6.53} \\ \mathbf {y} [ k ] = \mathbf {C x} [ k ] \\ \end{array} $$

    حيث أن $ \mathbf{A} $ و $ \mathbf{B} $ و $ \mathbf{C} $ هي، على التوالي، $ n \times n $ و $ n \times p $ و $ q \times n $ مصفوفات ثابتة حقيقية.

    التعريف 6.D1 يقال إن زمن متقطع (discrete-time) معادلة الحالة (state equation) (6.53) أو الزوج $ (\mathbf{A}, \mathbf{B}) $ هو قابل للتحكم (controllable) إذا كان لأي الحالة الابتدائية (initial state) $ \mathbf{x}(0) = \mathbf{x}_0 $ وأي الحالة النهائية (final state) $ \mathbf{x}_1 $، يوجد تسلسل مدخل (input) ذو طول محدود ينقل $ \mathbf{x}_0 $ إلى $ \mathbf{x}_1 $ . وإلا فإن المعادلة أو $ (\mathbf{A}, \mathbf{B}) $ يقال عنها غير قابل للتحكم (uncontrollable).

    النظرية 6.د1 

    البيانات حالة (state) التالية متكافئة.

    1. زوج الأبعاد $ n $ $ (\mathbf{A}, \mathbf{B}) $ هو قابل للتحكم (controllable).
    2. المصفوفة $ n \times n $.
    $$ \mathbf {W} _ {d c} [ n - 1 ] = \sum_ {m = 0} ^ {n - 1} (\mathbf {A}) ^ {m} \mathbf {B} \mathbf {B} ^ {\prime} \left(\mathbf {A} ^ {\prime}\right) ^ {m} \tag {6.54} $$

    هو غير مفرد (nonsingular).

    1. $ n \times np $ مصفوفة قابلية التحكم (controllability matrix)
    $$ \mathcal {C} _ {d} = \left[ \mathbf {B} \mathbf {A} \mathbf {B} \mathbf {A} ^ {2} \mathbf {B} \dots \mathbf {A} ^ {n - 1} \mathbf {B} \right] \tag {6.55} $$

    لديه الرتبة $ n $ (رتبة صفية كاملة (full row rank)). يمكن إنشاء المصفوفة عن طريق استدعاء ctrb في MATLAB.

    1. تحتوي المصفوفة $ n \times (n + p) $ $ [\mathbf{A} - \lambda \mathbf{I}\mathbf{B}] $ على رتبة صفية كاملة (full row rank) عند كل قيمة ذاتية (eigenvalue)، $ \lambda $، من $ \mathbf{A} $ .

    2. إذا، بالإضافة إلى ذلك، كل قيم ذاتية (eigenvalues) من $ \mathbf{A} $ لها مقادير أقل من 1، فإن الحل الفريد لـ

    $$ \mathbf {W} _ {d c} - \mathbf {A} \mathbf {W} _ {d c} \mathbf {A} ^ {\prime} = \mathbf {B} \mathbf {B} ^ {\prime} \tag {6.56} $$

    هو معرفة موجبة (positive definite). يسمى الحل المنفصل غراميان قابلية التحكم (controllability Gramian) ويمكن الحصول عليه باستخدام دالة MATLAB dgram. يمكن التعبير عن غراميان (Gramian) المنفصل كـ

    $$ \mathbf {W} _ {d c} = \sum_ {m = 0} ^ {\infty} \mathbf {A} ^ {m} \mathbf {B} \mathbf {B} ^ {\prime} \left(\mathbf {A} ^ {\prime}\right) ^ {m} \tag {6.57} $$

    تم اشتقاق حل (6.53) عند $ k = n $ في القسم الفرعي 4.2.2 كـ

    $$ x [ n ] = \mathbf {A} ^ {n} \mathbf {x} [ 0 ] + \sum_ {m = 0} ^ {n - 1} \mathbf {A} ^ {n - 1 - m} \mathbf {B u} [ m ] $$

    والتي يمكن كتابتها ك

    $$ \mathbf {x} [ n ] - \mathbf {A} ^ {n} \mathbf {x} [ 0 ] = [ \mathbf {B} \quad \mathbf {A B} \dots \quad \mathbf {A} ^ {n - 1} \mathbf {B} ] \left[ \begin{array}{c} \mathbf {u} [ n - 1 ] \\ \mathbf {u} [ n - 2 ] \\ \vdots \\ \mathbf {u} [ 0 ] \end{array} \right] \tag {6.58} $$

    يستنتج من النظرية 3.1 أنه لأي $ \mathbf{x}[0] $ و$ \mathbf{x}[n] $، يوجد تسلسل مدخل (input) إذا وفقط إذا كان مصفوفة قابلية التحكم (controllability matrix) يحتوي على رتبة صفية كاملة (full row rank). وهذا يدل على تكافؤ (1) و (3). يمكن كتابة المصفوفة $ \mathbf{W}_{dc}[n - 1] $ بالشكل

    $$ \mathbf {W} _ {d c} [ n - 1 ] = \left[ \begin{array}{l l l} \mathbf {B} & \mathbf {A} ^ {\prime} \\ \mathbf {B} ^ {\prime} & \mathbf {A} ^ {\prime} \end{array} \right] $$

    ثم يتبع تكافؤ (2) و (3) النظرية 3.8. لاحظ أن $ \mathbf{W}_{dc}[m] $ يكون دائمًا شبه معرفة موجبة (positive semidefinite). إذا كان غير مفرد (nonsingular) أو ما يعادله معرفة موجبة (positive definite)، فإن (6.53) هو قابل للتحكم (controllable). إثبات تكافؤ (3) و (4) مطابق للحالة زمن مستمر (continuous-time). الشرط (5) يتبع الشرط (2) والنظرية 5.D6. نرى أن إنشاء النظرية 6.D1 أبسط بكثير من إنشاء النظرية 6.1.

    هناك فرق واحد مهم بين الحالات المستمرة وزمن متقطع (discrete-time). إذا كانت زمن مستمر (continuous-time) معادلة فضاء الحالة (state-space equation) هي قابل للتحكم (controllable)، فيمكن لـ مدخل (input) نقل أي حالة (state) إلى أي حالة (state) أخرى في أي فترة زمنية غير صفرية، مهما كانت صغيرة. إذا كان زمن متقطع (discrete-time) معادلة فضاء الحالة (state-space equation) هو قابل للتحكم (controllable)، فإن تسلسل مدخل (input) من الطول $ n $ يمكنه نقل أي حالة (state) إلى أي حالة (state) آخر. إذا قمنا بحساب مؤشر قابلية التحكم (controllability index) $ \mu $ كما هو محدد

    في (6.15)، فيمكن تحقيق النقل باستخدام تسلسل مدخل (input) بطول $ \mu $ . إذا كان التسلسل مدخل (input) أقصر من $ \mu $، فليس من الممكن نقل أي حالة (state) إلى أي حالة (state) آخر.

    التعريف 6.D2 يُقال أن زمن متقطع (discrete-time) معادلة فضاء الحالة (state-space equation) (6.53) أو الزوج $ (\mathbf{A},\mathbf{C}) $ هو قابل للملاحظة (observable) إذا كان هناك عدد صحيح منتهٍ لأي الحالة الابتدائية (initial state) $ \mathbf{x}[0] $ $ k_{1} > 0 $ بحيث تكون معرفة التسلسل مدخل (input) $ \mathbf{u}[k] $ والتسلسل مخرج (output) $ \mathbf{y}[k] $ من $ k = 0 $ إلى $ k_{1} $ كافية لتحديد الحالة الابتدائية (initial state) بشكل فريد $ \mathbf{x}[0] $ . وإلا، يقال أن المعادلة هي غير قابل للملاحظة (unobservable).

    النظرية 6.D01 

    البيانات حالة (state) التالية متكافئة.

    1. زوج الأبعاد $ n $ $ (\mathbf{A}, \mathbf{C}) $ هو قابل للملاحظة (observable).
    2. المصفوفة $ n \times n $.
    $$ \mathbf {W} _ {d o} [ n - 1 ] = \sum_ {m = 0} ^ {n - 1} \left(\mathbf {A} ^ {\prime}\right) ^ {\prime \prime} \mathbf {C} ^ {\prime} \mathbf {C} \mathbf {A} ^ {\prime \prime} \tag {6.59} $$

    هو غير مفرد (nonsingular) أو ما يعادله معرفة موجبة (positive definite).

    1. $ nq \times n $ مصفوفة قابلية الملاحظة (observability matrix)
    $$ \mathcal {O} _ {d} = \left[ \begin{array}{c} \mathbf {C} \\ \mathbf {C A} \\ \vdots \\ \mathbf {C A} ^ {n - 1} \end{array} \right] \tag {6.60} $$

    لديه الرتبة $ n $ (رتبة عمودية كاملة (full column rank)). يمكن إنشاء المصفوفة عن طريق استدعاء obsv في MATLAB.

    1. تحتوي المصفوفة $ (n + q)\times n $ $ \left[ \begin{array}{c}\mathbf{A} - \lambda \mathbf{I}\\ \mathbf{B} \end{array} \right] $ على رتبة عمودية كاملة (full column rank) عند كل قيمة ذاتية (eigenvalue)، $ \lambda $، من $ \mathbf{A} $ .
    2. بالإضافة إلى ذلك، إذا كانت جميع قيم ذاتية (eigenvalues) من $ \mathbf{A} $ لها مقادير أقل من 1، فإن الحل الفريد لـ
    $$ \mathbf {W} _ {d o} - \mathbf {A} ^ {\prime} \mathbf {W} _ {d o} \mathbf {A} = \mathbf {C} ^ {\prime} \mathbf {C} \tag {6.61} $$

    هو معرفة موجبة (positive definite). يسمى الحل المنفصل غراميان قابلية الملاحظة (observability Gramian) ويمكن التعبير عنه بـ

    $$ \mathbf {W} _ {d o} = \sum_ {m = 0} ^ {\infty} \left(\mathbf {A} ^ {\prime}\right) ^ {m} \mathbf {C} ^ {\prime} \mathbf {C} \mathbf {A} ^ {m} \tag {6.62} $$

    يمكن إثبات ذلك بشكل مباشر أو غير مباشر باستخدام نظرية الازدواجية. نذكر أن جميع الخصائص الأخرى، مثل قابلية التحكم (controllability)، ومؤشرات قابلية الملاحظة (observability indices)، وتفكيك كالمان (Kalman decomposition)، وشكل الأردن قابلية التحكم (controllability)، وشروط قابلية الملاحظة (observability)، التي تمت مناقشتها للحالة زمن مستمر (continuous-time)، تنطبق على الحالة زمن متقطع (discrete-time) دون أي تعديل. ومع ذلك، فإن مؤشر قابلية التحكم (controllability index) ومؤشر قابلية الملاحظة (observability index) لهما تفسير بسيط في الحالة زمن متقطع (discrete-time). مؤشر قابلية التحكم (controllability index) هو أقصر تسلسل مدخل (input) يمكنه نقل أي حالة (state) إلى أي حالة (state) آخر. إن مؤشر قابلية الملاحظة (observability index) هو أقصر تسلسلات مدخل (input) ومخرج (output) اللازمة لتحديد الحالة الابتدائية (initial state) بشكل فريد.