6.7 قابلية التحكم (controllability) بعد أخذ العينات (sampling) 

    فكر في زمن مستمر (continuous-time) معادلة الحالة (state equation)

    $$ \dot {\mathbf {x}} (t) = \mathbf {A} \mathbf {x} (t) + \mathbf {B} \mathbf {u} (t) \tag {6.65} $$

    إذا كان مدخل (input) ثابتًا متعدد التعريف أو

    $$ u [ k ] := u (k T) = u (t) \quad \text{for} k T \leq t < (k + 1) T $$

    ومن ثم يمكن وصف المعادلة كما تم تطويرها في (4.17) بواسطة

    $$ \bar {\mathbf {x}} [ k + 1 ] = \bar {\mathbf {A}} \bar {\mathbf {x}} [ k ] + \bar {\mathbf {B}} \mathbf {u} [ k ] \tag {6.66} $$

    مع

    $$ \bar {\mathbf {A}} = e ^ {\mathbf {A} T}, \quad \bar {\mathbf {B}} = \left(\int_ {0} ^ {T} e ^ {\mathbf {A} t} d t\right) \mathbf {B} =: \mathbf {M B} \tag {6.67} $$

    السؤال هو: إذا كانت (6.65) هي قابل للتحكم (controllable)، فهل ستكون معادلة العينة في (6.66) هي قابل للتحكم (controllable)؟ هذه المشكلة مهمة في تصميم ما يسمى بأنظمة بيانات العينات الميتة وفي التحكم بالكمبيوتر في أنظمة زمن مستمر (continuous-time). تعتمد إجابة السؤال على الفترة أخذ العينات (sampling) $ T $ وموقع قيم ذاتية (eigenvalues) من $ \mathbf{A} $ . دع $ \lambda_{i} $ و $ \bar{\lambda}_{i} $ يكونان، على التوالي، قيم ذاتية (eigenvalues) لـ $ \mathbf{A} $ و $ \bar{\mathbf{A}} $ . نستخدم Re و Im للدلالة على الجزء الحقيقي والجزء التخيلي. ثم لدينا النظرية التالية.

    نظرية 6.9 

    لنفترض أن (6.65) هو قابل للتحكم (controllable). الشرط الكافي لمعادلتها المنفصلة في (6.66) ، مع الدورة أخذ العينات (sampling) $ T $ ، أن تكون قابل للتحكم (controllable) هو أن $ |\operatorname{Im}[\lambda_i - \lambda_j]| \neq 2\pi m / T $ لـ $ m = 1, 2, \ldots $ ، عندما يكون $ \operatorname{Re}[\lambda_i - \lambda_j] = 0 $ . بالنسبة للحالة المفردة مدخل (input)، يكون الشرط ضروريًا أيضًا.

    أولا نلاحظ على الشروط. إذا كان $ \mathbf{A} $ يحتوي فقط على قيم ذاتية (eigenvalues)، فإن المعادلة المنفصلة مع أي فترة أخذ العينات (sampling) $ T > 0 $ تكون دائمًا قابل للتحكم (controllable). لنفترض أن $ \mathbf{A} $ لديه مرافق معقد قيم ذاتية (eigenvalues) $ \alpha \pm j\beta $ . إذا كانت الفترة أخذ العينات (sampling) $ T $ لا تساوي أي عدد صحيح muLTIple من $ \pi/\beta $، فإن معادلة الحالة (state equation) المنفصل هو قابل للتحكم (controllable). إذا كانت $ T = m\pi/\beta $ لبعض الأعداد الصحيحة $ m $، فقد لا تكون المعادلة المنفصلة قابل للتحكم (controllable). السبب هو كما يلي: لأن $ \bar{\mathbf{A}} = e^{\mathbf{A}T} $، إذا كانت $ \lambda_i $ هي قيمة ذاتية (eigenvalue) من $ \mathbf{A} $، فإن $ \lambda_i := e^{\lambda_i T} $ هي قيمة ذاتية (eigenvalue) من $ \bar{\mathbf{A}} $ (مشكلة 3.24). إذا كان $ T = m\pi/\beta $، يصبح قيم ذاتية (eigenvalues) $ \lambda_1 = \alpha + j\beta $ و $ \lambda_2 = \alpha - j\beta $ من $ \mathbf{A} $ تكرارًا قيمة ذاتية (eigenvalue) $ -e^{\alpha T} $ أو $ e^{\alpha T} $ من $ \bar{\mathbf{A}} $ . سيؤدي هذا إلى أن تكون المعادلة المنفصلة غير قابل للتحكم (uncontrollable)، كما سنرى في الدليل. نعرض النظرية 6.9 بافتراض أن $ \mathbf{A} $ موجودة في صيغة جوردان (Jordan form). هذا مسموح به لأن قابلية التحكم (controllability) ثابت تحت أي تحويل مكافئ (equivalence transformation).

    البرهان: إثبات النظرية 6.9 لتبسيط المناقشة، نفترض أن $ \mathbf{A} $ من الصيغة:

    $$ \mathbf {A} = \operatorname {d i a g} \left(\mathbf {A} _ {1 1}, \mathbf {A} _ {1 2}, \mathbf {A} _ {2 1}\right) = \left[ \begin{array}{l l l l l l} \lambda_ {1} & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_ {1} & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_ {1} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \lambda_ {1} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \lambda_ {2} & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \lambda_ {2} \end{array} \right] \tag {6.68} $$

    بمعنى آخر، يحتوي $ \mathbf{A} $ على اثنين من قيم ذاتية (eigenvalues) $ \lambda_{1} $ و$ \lambda_{2} $ . هناك كتلتان من الأردن، واحدة بالطلب 3 والأخرى بالطلب 1، مرتبطة بـ $ \lambda_{1} $ وكتلة جوردان واحدة فقط من الطلب 2 مرتبطة بـ $ \lambda_{2} $ . باستخدام (3.48)، لدينا

    $$ \begin{array}{l} \bar {\mathbf {A}} = \operatorname {d i a g} \left(\bar {\mathbf {A}} _ {1 1}, \bar {\mathbf {A}} _ {1 2}, \bar {\mathbf {A}} _ {2 1}\right) \\ = \left[ \begin{array}{c c c c c c} e ^ {\lambda_ {1} T} & T e ^ {\lambda_ {1} T} & T ^ {2} e ^ {\lambda_ {1} T} / 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & e ^ {\lambda_ {1} T} & T e ^ {\lambda_ {1} T} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & e ^ {\lambda_ {1} T} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & e ^ {\lambda_ {1} T} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & e ^ {\lambda_ {2} T} & T e ^ {\lambda_ {2} T} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & e ^ {\lambda_ {2} T} \end{array} \right] \tag {6.69} \\ \end{array} $$

    هذا ليس في صيغة جوردان (Jordan form). لأننا سنستخدم النظرية 6.8، والتي تنطبق أيضًا على الحالة زمن متقطع (discrete-time) دون أي تعديل، لإثبات النظرية 6.9، يجب علينا تحويل $ \bar{\mathbf{A}} $ في (6.69) إلى صيغة جوردان (Jordan form). اتضح أن صيغة جوردان (Jordan form) من $ \bar{\mathbf{A}} $ يساوي الواحد في (6.68) إذا تم استبدال $ \lambda_{i} $ بـ $ \bar{\lambda}_{i} := e^{\lambda_{i}T} $ (المشكلة 3.22). بمعنى آخر، يوجد غير مفرد (nonsingular) مثلث علوي $ \mathbf{P} $ بحيث يتحول التحويل $ \tilde{\mathbf{x}} = \mathbf{P}\bar{\mathbf{x}} $ إلى (6.66) إلى

    $$ \tilde {\mathbf {x}} [ k + 1 ] = \mathbf {P} \bar {\mathbf {A}} \mathbf {P} ^ {- 1} \tilde {\mathbf {x}} [ k ] + \mathbf {P} \mathbf {M} \mathbf {B} \mathbf {u} [ k ] \tag {6.70} $$

    مع $ \mathbf{PAP^{-1}} $ في صيغة جوردان (Jordan form) في (6.68) مع استبدال $ \lambda_{i} $ بـ $ \bar{\lambda}_i $ . نحن الآن جاهزون لتأسيس النظرية 6.9.

    نوضح أولاً أن $ \mathbf{M} $ في (6.67) هو غير مفرد (nonsingular). إذا كان $ \mathbf{A} $ بالشكل الموضح في (6.68)، فإن $ \mathbf{M} $ مثلث علوي. مدخلها القطري هو من الشكل

    $$ m _ {i i} := \int_ {0} ^ {T} e ^ {\lambda_ {i} \tau} d \tau = \left\{ \begin{array}{l l} (e ^ {\lambda_ {i} T} - 1) / \lambda_ {i} & \text{if} \lambda_ {i} \neq 0 \\ T & \text{if} \lambda_ {i} = 0 \end{array} \right. \tag {6.71} $$

    دع $ \lambda_{i} = \alpha_{i} + j\beta_{i} $ مع $ \beta_{i} > 0 $ . الطريقة الوحيدة لـ $ m_{ii} = 0 $ هي $ \alpha_{i} = 0 $ و $ \beta_{i}T = 2\pi \bar{m} $ لبعض الأعداد الصحيحة الموجبة $ \bar{m} $ . ومع ذلك، تتطلب النظرية أن $ 2\beta_{i}T \neq 2\pi m $، لجميع الأعداد الصحيحة الموجبة $ m $ . وهكذا نستنتج، في ظل شرط النظرية، أن $ m_{ii} \neq 0 $ و$ \mathbf{M} $ هو غير مفرد (nonsingular).

    إذا كانت $ \mathbf{A} $ بالشكل الموضح في الشكل (6.68)، فإنها تكون $ \lambda_1 = \alpha + j\beta $ إذا وفقط إذا كان الصفان الثالث والرابع من $ \mathbf{B} $ مستقلان خطيًا والصف الأخير من $ \mathbf{B} $ غير صفر (النظرية) 6.8). تحت الشرط في النظرية 6.9، يكون الاثنان $ \mathbf{A} $ $ \bar{\lambda}_1 = e^{\lambda_1T} $ و$ \bar{\lambda}_2 = e^{\lambda_2T} $ من $ \mathbf{A} $ مختلفين. وبالتالي (6.70) يكون قابل للتحكم (controllable) إذا وفقط إذا كان الصفان الثالث والرابع من $ \mathbf{PMB} $ مستقلان خطيًا والصف الأخير من $ \mathbf{PMB} $

    غير صفر. وذلك لأن صفوف PMB هذه تساوي الصفوف المقابلة لـ B muLTI المضبوطة بثوابت غير صفرية. وهذا يدل على كفاية النظرية. إذا لم يتم استيفاء الشرط في النظرية 6.9، إذن $ \bar{\lambda}_1 = \bar{\lambda}_2 $ . في هذه الحالة، (6.70) تكون قابل للتحكم (controllable) إذا كانت الصفوف الثالث والرابع والأخير من PMB مستقلة خطيًا. لا يزال هذا ممكنًا إذا كان B يحتوي على ثلاثة أعمدة أو أكثر. وبالتالي فإن الشرط ليس ضروريا. في حالة مدخل (input) الفردية، إذا كان $ \bar{\lambda}_1 = \bar{\lambda}_2 $، فإن (6.70) لديه كتلتين أو أكثر من الأردن مرتبطة بنفس قيمة ذاتية (eigenvalue) و(6.70)، بعد النتيجة الطبيعية 6.8، وليس قابل للتحكم (controllable). هذا يؤسس النظرية. Q.E.D.

    في إثبات النظرية 6.9، قمنا بشكل أساسي بتأسيس النظرية التالية.

    نظرية 6.10 

    إذا كانت زمن مستمر (continuous-time) خطي ثابت زمنيا (linear time-invariant) معادلة الحالة (state equation) ليست قابل للتحكم (controllable)، فإن معادلة الحالة (state equation)، مع أي فترة أخذ العينات (sampling)، ليست قابل للتحكم (controllable).

    هذه النظرية واضحة بشكل حدسي. إذا كان معادلة الحالة (state equation) ليس قابل للتحكم (controllable) باستخدام أي مدخل (input)، فهو بالتأكيد ليس قابل للتحكم (controllable) باستخدام أي ثابت متعدد التعريف مدخل (input).

    مثال 6.7.1 خذ بعين الاعتبار النظام الموضح في الشكل 6.11. يتم أخذ عينات من مدخل (input) كل $ T $ ثانية ثم يتم الاحتفاظ بها ثابتة باستخدام تعليق الترتيب الصفري دائرة (circuit). يتم إعطاء دالة تحويل (transfer function) للنظام على النحو التالي

    $$ \hat {g} (s) = \frac {s + 2}{s ^ {3} + 3 s ^ {2} + 7 s + 5} = \frac {s + 2}{(s + 1) (s + 1 + j 2) (s + 1 - j 2)} \tag {6.72} $$

    باستخدام (4.33)، يمكننا بسهولة الحصول على ما يلي معادلة فضاء الحالة (state-space equation)

    $$ \dot {\mathbf {x}} (t) = \left[ \begin{array}{r r r} - 3 & - 7 & - 5 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{array} \right] \mathbf {x} (t) + \left[ \begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right] u (t) $$
    $$ y (t) = \left[ \begin{array}{l l l} 0 & 1 & 2 \end{array} \right] \mathbf {x} (t) \tag {6.73} $$

    لوصف النظام. إنه تحقيق شكل قابل للتحكم (controllable) ومن الواضح أنه قابل للتحكم (controllable). قيم ذاتية (eigenvalues) من $ \mathbf{A} $ هي $ -1, -1 \pm j2 $ ويتم رسمها في الشكل 6.11. الثلاثة قيم ذاتية (eigenvalues)


    الشكل 6.11 نظام ذو ثابت متعدد التعريف مدخل (input).

    لها نفس الجزء الحقيقي؛ اختلافاتهم في الأجزاء التخيلية هي 2 و 4. وبالتالي فإن معادلة الحالة (state equation) المنفصل هو قابل للتحكم (controllable) إذا وفقط إذا

    $$ T \neq \frac {2 \pi m}{2} = \pi m \quad \text{and} \quad T \neq \frac {2 \pi m}{4} = 0. 5 \pi m $$

    لـ $ m = 1, 2, \ldots $ . الشرط الثاني يشمل الشرط الأول. وهكذا نستنتج أن المعادلة المنفصلة لـ (6.73) هي قابل للتحكم (controllable) إذا وفقط إذا $ T \neq 0.5m\pi $ لأي عدد صحيح موجب $ m $ .

    نحن نستخدم MATLAB للتحقق من النتيجة لـ $ m = 1 $ أو $ T = 0.5\pi $ . الكتابة

    $$ \begin{array}{l} a = \left[ - 3 - 7 - 5; 1 0 0; 0 1 0 \right]; b = [ 1; 0; 0 ]; \\ [ a d, b d ] = c 2 d (a, b, p i / 2) \\ \end{array} $$

    ينتج عنه معادلة الحالة (state equation) المنفصل كـ

    $$ \bar {\mathbf {x}} [ k + 1 ] = \left[ \begin{array}{c c c} - 0. 1 0 3 9 & 0. 2 0 7 9 & 0. 5 1 9 7 \\ - 0. 1 0 3 9 & - 0. 4 1 5 8 & - 0. 5 1 9 7 \\ 0. 1 0 3 9 & 0. 2 0 7 9 & 0. 3 1 1 8 \end{array} \right] \bar {\mathbf {x}} [ k ] + \left[ \begin{array}{c} - 0. 1 0 3 9 \\ 0. 1 0 3 9 \\ 0. 1 3 7 6 \end{array} \right] u [ k ] \tag {6.74} $$

    يمكن الحصول على مصفوفة قابلية التحكم (controllability matrix) عن طريق كتابة ctrb(ad, bd)، مما ينتج عنه

    $$ \mathcal {C} _ {d} = \left[ \begin{array}{r r r} - 0. 1 0 3 9 & 0. 1 0 3 9 & - 0. 0 0 4 5 \\ 0. 1 0 3 9 & - 0. 1 0 3 9 & 0. 0 0 4 5 \\ 0. 1 3 7 6 & 0. 0 5 3 9 & 0. 0 0 5 9 \end{array} \right] $$

    من الواضح أن أول صفين يعتمدان خطيًا. وبالتالي فإن $ \mathcal{C}_d $ لا يحتوي على رتبة صفية كاملة (full row rank)، و(6.74) ليس قابل للتحكم (controllable) كما تنبأت النظرية 6.9. رتبة الكتابة (ctrb(ad, bd)) تنتج أيضًا 2. وبالتالي فإن معادلة الحالة (state equation) ليس قابل للتحكم (controllable).

    ما تمت مناقشته ينطبق أيضًا على الجزء قابلية الملاحظة (observability). بمعنى آخر، في ظل الشروط الواردة في النظرية 6.9، إذا كانت زمن مستمر (continuous-time) معادلة فضاء الحالة (state-space equation) هي قابل للملاحظة (observable)، فإن معادلتها المنفصلة هي أيضًا قابل للملاحظة (observable).