6.8 خطي متغير زمنيا (LTV) معادلات فضاء الحالة (state-space equations) 

    خذ بعين الاعتبار $ n $ - الأبعاد $ p $ - مدخل (input) $ q $ - مخرج (output) معادلة فضاء الحالة (state-space equation)

    $$ \begin{array}{l} \dot {\mathbf {x}} (t) = \mathbf {A} (t) \mathbf {x} (t) + \mathbf {B} (t) \mathbf {u} (t) \\ \mathbf {y} (t) = \mathbf {C} (t) \mathbf {x} (t) \tag {6.75} \\ \end{array} $$

    يُقال أن معادلة فضاء الحالة (state-space equation) هو قابل للتحكم (controllable) عند $ t_0 $، إذا كان هناك $ t_1 > t_0 $ نهائي بحيث أنه بالنسبة لأي $ \mathbf{x}(t_0) = \mathbf{x}_0 $ وأي $ \mathbf{x}_1 $، يوجد مدخل (input) الذي ينقل $ \mathbf{x}_0 $ إلى $ \mathbf{x}_1 $ في الوقت $ t_1 $ . وإلا فإن معادلة فضاء الحالة (state-space equation) هو غير قابل للتحكم (uncontrollable) عند $ t_0 $ . في الحالة ثابت زمنيا (time-invariant)، إذا كان معادلة الحالة (state equation) هو قابل للتحكم (controllable)، فهو قابل للتحكم (controllable) عند كل $ t_0 $ ولكل $ t_1 > t_0 $؛ لذلك ليست هناك حاجة لتحديد $ t_0 $ و $ t_1 $ . في الحالة متغير زمنيا (time-varying)، تعد مواصفات $ t_0 $ و$ t_1 $ أمرًا بالغ الأهمية.

    نظرية 6.11 

    زوج الأبعاد $ n $ $ (\mathbf{A}(t), \mathbf{B}(t)) $ هو قابل للتحكم (controllable) في الوقت $ t_0 $ إذا وفقط إذا كان هناك $ t_1 > t_0 $ محدد بحيث تكون المصفوفة $ n \times n $

    $$ \mathbf {W} _ {c} \left(t _ {0}, t _ {1}\right) = \int_ {t _ {0}} ^ {t _ {1}} \left| \Phi \left(t _ {1}, \tau\right) \mathbf {B} (\tau) \mathbf {B} ^ {\prime} (\tau) \Phi^ {\prime} \left(t _ {1}, \tau\right) d \tau \right. \tag {6.76} $$

    حيث $ \Phi(t, \tau) $ هي مصفوفة الانتقال حالة (state) لـ $ \dot{\mathbf{x}} = \mathbf{A}(t)\mathbf{x} $، هي غير مفرد (nonsingular).

    الدليل: نوضح أولاً أنه إذا كانت $ \mathbf{W}_c(t_0, t_1) $ هي غير مفرد (nonsingular)، فإن (6.75) هي قابل للتحكم (controllable). تم حساب استجابة (6.75) عند $ t_1 $ في (4.65) كـ

    $$ \mathbf {x} \left(t _ {1}\right) = \boldsymbol {\Phi} \left(t _ {1}, t _ {0}\right) \mathbf {x} _ {0} + \int_ {t _ {0}} ^ {t _ {1}} \boldsymbol {\Phi} \left(t _ {1}, \tau\right) \mathbf {B} (\tau) \mathbf {u} (\tau) d \tau \tag {6.77} $$

    ندعي أن مدخل (input)

    $$ \mathbf {u} (t) = - \mathbf {B} ^ {\prime} (t) \boldsymbol {\Phi} ^ {\prime} \left(t _ {1}, t\right) \mathbf {W} _ {c} ^ {- 1} \left(t _ {0}, t _ {1}\right) [ \boldsymbol {\Phi} \left(t _ {1}, t _ {0}\right) \mathbf {x} _ {0} - \mathbf {x} _ {1} ] \tag {6.78} $$

    سيتم نقل $ \mathbf{x}_0 $ في الوقت $ t_0 $ إلى $ \mathbf{x}_1 $ في الوقت $ t_1 $ . في الواقع، يؤدي استبدال (6.78) إلى (6.77) إلى الحصول على نتيجة

    $$ \begin{array}{l} \mathbf {x} (t _ {1}) = \boldsymbol {\Phi} (t _ {1}, t _ {0}) \mathbf {x} _ {0} - \int_ {t _ {0}} ^ {t _ {1}} \boldsymbol {\Phi} (t _ {1}, \tau) \mathbf {B} (\tau) \mathbf {B} ^ {\prime} (\tau) \boldsymbol {\Phi} ^ {\prime} (t _ {1}, \tau) d \tau \\ \cdot \mathbf {W} _ {c} ^ {- 1} \left(t _ {0}, t _ {1}\right) \left[ \boldsymbol {\Phi} \left(t _ {1}, t _ {0}\right) \mathbf {x} _ {0} - \mathbf {x} _ {1} \right] \\ = \Phi (t _ {1}, t _ {0}) \mathbf {x} _ {0} - \mathbf {W} _ {c} (t _ {0}, t _ {1}) \mathbf {W} _ {c} ^ {- 1} (t _ {0}, t _ {1}) [ \Phi (t _ {1}, t _ {0}) \mathbf {x} _ {0} - \mathbf {x} _ {1} ] = \mathbf {x} _ {1} \\ \end{array} $$

    وبالتالي فإن المعادلة هي قابل للتحكم (controllable) عند $ t_0 $ . ونبين العكس بالتناقض. لنفترض أن (6.75) هو قابل للتحكم (controllable) في $ t_0 $ لكن $ \mathbf{W}_c(t_0, t) $ هو مفرد (singular) أو شبه معرفة موجبة (positive semidefinite)، لجميع $ t_1 > t_0 $ . ثم يوجد متجه ثابت غير صفري $ n \times 1 $ $ \mathbf{v} $ بحيث

    $$ \begin{array}{l} \mathbf {v} ^ {\prime} \mathbf {W} _ {c} (t _ {0}, t _ {1}) \mathbf {v} = \int_ {t _ {0}} ^ {t _ {1}} \mathbf {v} ^ {\prime} \boldsymbol {\Phi} (t _ {1}, \tau) \mathbf {B} (\tau) \mathbf {B} ^ {\prime} (\tau) \boldsymbol {\Phi} ^ {\prime} (t _ {1}, \tau) \mathbf {v} d \tau \\ = \int_ {\sqrt {t _ {0}}} ^ {t _ {1}} | | \mathbf {B} ^ {\prime} (\tau) \boldsymbol {\Phi} ^ {\prime} (t _ {1}, \tau) \mathbf {v} | | ^ {2} d \tau = 0 \\ \end{array} $$

    مما يعني

    $$ \mathbf {B} ^ {\prime} (\tau) \boldsymbol {\Phi} ^ {\prime} (t _ {1}, \tau) \mathbf {v} \equiv \mathbf {0} \quad \text{or} \quad \mathbf {v} ^ {\prime} \boldsymbol {\Phi} (t _ {1}, \tau) \mathbf {B} (\tau) \equiv \mathbf {0} \tag {6.79} $$

    لجميع $ \tau $ في $ [t_0, t_1] $ . إذا كانت (6.75) هي قابل للتحكم (controllable)، يوجد مدخل (input) الذي ينقل الحالة الابتدائية (initial state) $ \mathbf{x}_0 = \boldsymbol{\Phi}(t_0, t_1)\mathbf{v} $ عند $ t_0 $ إلى $ \mathbf{x}(t_1) = \mathbf{0} $ . ثم يصبح (6.77)

    $$ \mathbf {0} = \boldsymbol {\Phi} (t _ {1}, t _ {0}) \boldsymbol {\Phi} (t _ {0}, t _ {1}) \mathbf {v} + \int_ {t _ {0}} ^ {t _ {1}} \boldsymbol {\Phi} (t _ {1}, \tau) \mathbf {B} (\tau) \mathbf {u} (\tau) d \tau \tag {6.80} $$

    ينتج عن النسخ الأولي خطي ثابت زمنيا (LTI) بواسطة $ \mathbf{v}' $

    $$ 0 = \mathbf {v} ^ {\prime} \mathbf {v} + \mathbf {v} ^ {\prime} \int_ {t _ {0}} ^ {t _ {1}} \Phi (t _ {1}, \tau) \mathbf {B} (\tau) \mathbf {u} (\tau) d \tau = | | \mathbf {v} | | ^ {2} + 0 $$

    وهذا يتناقض مع الفرضية $ \mathbf{v} \neq \mathbf{0} $ . وبالتالي إذا كان $ (\mathbf{A}(t), \mathbf{B}(t)) $ هو قابل للتحكم (controllable) عند $ t_0 $، يجب أن يكون $ \mathbf{W}_c(t_0, t_1) $ غير مفرد (nonsingular) لبعض $ t_1 > t_0 $ المحدود. يؤدي هذا إلى إنشاء النظرية 6.12. Q.E.D.

    من أجل تطبيق النظرية 6.11، نحتاج إلى معرفة مصفوفة الانتقال حالة (state) والتي قد لا تكون متاحة. لذلك، من المستحسن تطوير شرط قابلية التحكم (controllability) دون تضمين $ \Phi(t, \tau) $ . هذا ممكن إذا كانت لدينا شروط إضافية على $ \mathbf{A}(t) $ و $ \mathbf{B}(t) $ . تذكر أننا افترضنا أن $ \mathbf{A}(t) $ و$ \mathbf{B}(t) $ مستمران. الآن نطلب منهم أن يكونوا $ (n - 1) $ مرات قابلة للتمييز بشكل مستمر. تعريف $ \mathbf{M}_0(t) = \mathbf{B}(t) $ . نحدد بعد ذلك بشكل متكرر سلسلة من المصفوفات $ n \times p $ $ \mathbf{M}_m(t) $ كـ

    $$ \mathbf {M} _ {m + 1} (t) := - \mathbf {A} (t) \mathbf {M} _ {m} (t) + \frac {d}{d t} \mathbf {M} _ {m} (t) \tag {6.81} $$

    لـ $ m = 0,1,\ldots ,n - 1 $ . ومن الواضح أن لدينا

    $$ \boldsymbol {\Phi} (t _ {2}, t) \mathbf {B} (t) = \boldsymbol {\Phi} (t _ {2}, t) \mathbf {M} _ {0} (t) $$

    لأي ثابت $ t_2 $ . استخدام

    $$ \frac {\partial}{\partial t} \Phi (t _ {2}, t) = - \Phi (t _ {2}, t) \mathbf {A} (t) $$

    (مشكلة 4.26)، نقوم بالحساب

    $$ \begin{array}{l} \frac {\partial}{\partial t} [ \Phi (t _ {2}, t) \mathbf {B} (t) ] = \frac {\partial}{\partial t} [ \Phi (t _ {2}, t) ] \mathbf {B} (t) + \Phi (t _ {2}, t) \frac {d}{d t} \mathbf {B} (t) \\ = \Phi (t _ {2}, t) \left[ - \mathbf {A} (t) \mathbf {M} _ {0} (t) + \frac {d}{d t} \mathbf {M} _ {0} (t) \right] = \Phi (t _ {2}, t) \mathbf {M} _ {1} (t) \\ \end{array} $$

    المضي قدما، لدينا

    $$ \frac {\partial^ {m}}{\partial t ^ {m}} \boldsymbol {\Phi} (t _ {2}, t) \mathbf {B} (t) = \boldsymbol {\Phi} (t _ {2}, t) \mathbf {M} _ {m} (t) \tag {6.82} $$

    لـ $ m = 0,1,2,\ldots $ . النظرية التالية كافية ولكنها ليست ضرورية لكي تكون (6.75) قابل للتحكم (controllable).

    نظرية 6.12 

    اجعل $ \mathbf{A}(t) $ و$ \mathbf{B}(t) $ قابلين للتمييز بشكل مستمر $ (n - 1) $ مرة. إذن زوج الأبعاد $ n $ $ (\mathbf{A}(t), \mathbf{B}(t)) $ هو قابل للتحكم (controllable) عند $ t_0 $ إذا كان هناك $ t_1 > t_0 $ محدود بحيث

    $$ \operatorname {r a n k} \left[ \mathbf {M} _ {0} \left(t _ {1}\right) \mathbf {M} _ {1} \left(t _ {1}\right) \dots \mathbf {M} _ {n - 1} \left(t _ {1}\right) \right] = n \tag {6.83} $$

    الدليل: نبين أنه إذا كانت (6.83) صحيحة، فإن $ \mathbf{W}_c(t_0,t) $ هي غير مفرد (nonsingular) لجميع $ t\geq t_1 $ . لنفترض لا، أي أن $ \mathbf{W}_c(t_0,t) $ هو مفرد (singular) أو شبه معرفة موجبة (positive semidefinite) لبعض $ t_2\geq t_1 $ . ثم يوجد متجه ثابت غير صفري $ n\times 1 $ $ \mathbf{v} $ بحيث

    $$ \begin{array}{l} \mathbf {v} ^ {\prime} \mathbf {W} _ {c} (t _ {0}, t _ {2}) \mathbf {v} = \int_ {t _ {0}} ^ {t _ {2}} \mathbf {v} ^ {\prime} \boldsymbol {\Phi} (t _ {2}, \tau) \mathbf {B} (\tau) \mathbf {B} ^ {\prime} (\tau) \boldsymbol {\Phi} ^ {\prime} (t _ {2}, \tau) \mathbf {v} d \tau \\ = \int_ {t _ {0}} ^ {t _ {2}} | | \mathbf {B} ^ {\prime} (\tau) \boldsymbol {\Phi} ^ {\prime} (t _ {2}, \tau) \mathbf {v} | | ^ {2} d \tau = 0 \\ \end{array} $$

    مما يعني

    $$ \mathbf {B} ^ {\prime} (\tau) \boldsymbol {\Phi} ^ {\prime} (t _ {2}, \tau) \mathbf {v} \equiv \mathbf {0} \quad \text{or} \quad \mathbf {v} ^ {\prime} \boldsymbol {\Phi} (t _ {2}, \tau) \mathbf {B} (\tau) \equiv \mathbf {0} \tag {6.84} $$

    لجميع $ \tau $ في $ [t_0, t_2] $ . تمايزها فيما يتعلق بالعائد $ \tau $، كما هو مشتق في (6.82)،

    $$ \mathbf {v} ^ {\prime} \boldsymbol {\Phi} (t _ {2}, \tau) \mathbf {M} _ {m} (\tau) \equiv \mathbf {0} $$

    لـ $ m = 0,1,2,\ldots ,n - 1 $، وكل $ \tau $ في $ [t_0,t_2] $، على وجه الخصوص، في $ t_1 $ . يمكن ترتيبها على النحو

    $$ \mathbf {v} ^ {\prime} \boldsymbol {\Phi} (t _ {2}, t _ {1}) \left[ \mathbf {M} _ {0} (t _ {1}) \mathbf {M} _ {1} (t _ {1}) \dots \mathbf {M} _ {n - 1} (t _ {1}) \right] = \mathbf {0} \tag {6.85} $$

    نظرًا لأن $ \Phi(t_2, t_1) $ يساوي غير مفرد (nonsingular)، فإن $ \mathbf{v}'\Phi(t_2, t_1) $ ليس صفرًا. وهكذا (6.85) يتناقض مع (6.83). لذلك، في ظل الشرط في (6.83)، $ \mathbf{W}_c(t_0, t_2) $، لأي $ t_2 \geq t_1 $، هو غير مفرد (nonsingular) و$ (\mathbf{A}(t), \mathbf{B}(t)) $، بعد النظرية 6.11، قابل للتحكم (controllable) في $ t_0 $ . Q.E.D.

    مثال 6.8.1 خذ بعين الاعتبار

    $$ \dot {\mathbf {x}} (t) = \left[ \begin{array}{r r r} t & - 1 & 0 \\ 0 & - t & t \\ 0 & 0 & t \end{array} \right] \mathbf {x} (t) + \left[ \begin{array}{r} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right] u (t) \tag {6.86} $$

    لدينا $ \mathbf{M}_0(t) = [0 1 1]' $ ونقوم بالحساب

    $$ \mathbf {M} _ {1} (t) = - \mathbf {A} (t) \mathbf {M} _ {0} (t) + \frac {d}{d t} \mathbf {M} _ {0} (t) = \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - t \end{array} \right] $$
    $$ \mathbf {M} _ {2} (t) = - \mathbf {A} (t) \mathbf {M} _ {1} (t) + \frac {d}{d t} \mathbf {M} _ {1} (t) = \left[ \begin{array}{c} - t \\ t ^ {2} \\ t ^ {2} - 1 \end{array} \right] $$

    محدد المصفوفة

    $$ \left[ \begin{array}{l l l} \mathbf {M} _ {0} (t) & \mathbf {M} _ {1} (t) & \mathbf {M} _ {2} (t) \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c c c} 0 & 1 & - t \\ 1 & 0 & t ^ {2} \\ 1 & - t & t ^ {2} - 1 \end{array} \right] $$

    هو $ t^2 + 1 $ وهو غير صفر لجميع $ t $ . وبالتالي فإن معادلة الحالة (state equation) في (6.86) هو قابل للتحكم (controllable) عند كل $ t $ .

    مثال 6.8.2 تأمل 

    $$ \dot {\mathbf {x}} (t) = \left[ \begin{array}{l l} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{array} \right] \mathbf {x} (t) + \left[ \begin{array}{l} 1 \\ 1 \end{array} \right] u (t) \tag {6.87} $$
    $$ \dot {\mathbf {x}} (t) = \left[ \begin{array}{l l} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{array} \right] \mathbf {x} (t) + \left[ \begin{array}{l} e ^ {t} \\ e ^ {2 t} \end{array} \right] u (t) \tag {6.88} $$

    المعادلة (6.87) هي معادلة ثابت زمنيا (time-invariant) وهي قابل للتحكم (controllable) وفقًا للنتيجة الطبيعية 6.8. المعادلة (6.88) هي معادلة متغير زمنيا (time-varying)؛ الإدخالان في مصفوفة B الخاصة بها ليسا صفرًا لجميع $ t $ وقد يميل المرء إلى استنتاج أن (6.88) هو قابل للتحكم (controllable). دعونا نتحقق من ذلك باستخدام النظرية 6.11. مصفوفة الانتقال حالة (state) هي

    $$ \boldsymbol {\Phi} (t, \tau) = \left[ \begin{array}{c c} e ^ {t - \tau} & 0 \\ 0 & e ^ {2 (t - \tau)} \end{array} \right] $$

    و

    $$ \boldsymbol {\Phi} (t, \tau) \mathbf {B} (\tau) = \left[ \begin{array}{c c} e ^ {t - \tau} & 0 \\ 0 & e ^ {2 (t - \tau)} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{l} e ^ {\tau} \\ e ^ {2 \tau} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l} e ^ {t} \\ e ^ {2 t} \end{array} \right] $$

    نحن نحسب

    $$ \begin{array}{l} \mathbf {W} _ {c} (t _ {0}, t) = \int_ {t _ {0}} ^ {t} \left[ \begin{array}{l} e ^ {t} \\ e ^ {2 t} \end{array} \right] [ e ^ {t} e ^ {2 t} ] d \tau = \left[ \begin{array}{l l} \int_ {t _ {0}} ^ {t} e ^ {2 t} d \tau & \int_ {t _ {0}} ^ {t} e ^ {3 t} d \tau \\ \int_ {t _ {0}} ^ {t} e ^ {3 t} d \tau & \int_ {t _ {0}} ^ {t} e ^ {4 t} d \tau \end{array} \right] \\ = \left[ \begin{array}{l l} e ^ {2 t} (t - t _ {0}) & e ^ {3 t} (t - t _ {0}) \\ e ^ {3 t} (t - t _ {0}) & e ^ {4 t} (t - t _ {0}) \end{array} \right] \\ \end{array} $$

    محددها هو صفر مماثل لجميع $ t_0 $ و $ t $ . وبالتالي (6.88) ليس قابل للتحكم (controllable) في أي $ t_0 $ . من هذا المثال، نرى أنه عند تطبيق النظرية، يجب فحص كل شرط بعناية؛ وإلا فإننا قد نحصل على نتيجة خاطئة.

    نناقش الآن الجزء قابلية الملاحظة (observability). يكون خطي متغير زمنيا (linear time-varying) معادلة فضاء الحالة (state-space equation) في (6.75) قابل للملاحظة (observable) عند $ t_0 $ إذا كان هناك $ t_1 $ محددًا بحيث يكون لأي حالة (state) $ \mathbf{x}(t_0) = \mathbf{x}_0 $ فإن معرفة مدخل (input) ومخرج (output) خلال الفاصل الزمني $ [t_0, t_1] $ تكفي لتحديد الحالة الابتدائية (initial state) $ \mathbf{x}_0 $ بشكل فريد. بخلاف ذلك، يُقال أن معادلة فضاء الحالة (state-space equation) هو غير قابل للملاحظة (unobservable) عند $ t_0 $ .

    نظرية 6.011 

    الزوج $ (\mathbf{A}(t), \mathbf{C}(t)) $ هو قابل للملاحظة (observable) في الوقت $ t_0 $ إذا وفقط إذا كان هناك $ t_1 > t_0 $ محدود مثل المصفوفة $ n \times n $

    $$ \mathbf {W} _ {o} \left(t _ {0}, t _ {1}\right) = \int_ {t _ {0}} ^ {t _ {1}} \boldsymbol {\Phi} ^ {\prime} (\tau , t _ {0}) \mathbf {C} ^ {\prime} (\tau) \mathbf {C} (\tau) \boldsymbol {\Phi} (\tau , t _ {0}) d \tau \tag {6.89} $$

    حيث $ \Phi(t, \tau) $ هي مصفوفة الانتقال حالة (state) لـ $ \dot{\mathbf{x}} = \mathbf{A}(t)\mathbf{x} $، هي غير مفرد (nonsingular).

    نظرية 6.012 

    اجعل $ \mathbf{A}(t) $ و$ \mathbf{C}(t) $ قابلين للتمييز بشكل مستمر $ (n - 1) $ مرة. إذن فإن زوج الأبعاد $ n $ $ (\mathbf{A}(t), \mathbf{C}(t)) $ هو قابل للملاحظة (observable) عند $ t_0 $ إذا كان هناك $ t_1 > t_0 $ محدود بحيث

    $$ \operatorname {r a n k} \left[ \begin{array}{c} \mathbf {N} _ {0} (t _ {1}) \\ \mathbf {N} _ {1} (t _ {1}) \\ \vdots \\ \mathbf {N} _ {n - 1} (t _ {1}) \end{array} \right] = n \tag {6.90} $$

    أين

    $$ \mathbf {N} _ {m + 1} (t) = \mathbf {N} _ {m} (t) \mathbf {A} (t) + \frac {d}{d t} \mathbf {N} _ {m} (t), \quad m = 0, 1, \dots , n - 1 $$

    مع

    $$ \mathbf {N} _ {0} = \mathbf {C} (t) $$

    نذكر أن نظرية الازدواجية في النظرية 6.5 للأنظمة ثابت زمنيا (time-invariant) لا تنطبق على الأنظمة متغير زمنيا (time-varying). يجب تعديله. راجع المشكلات 6.28 و6.29.